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3.3 复数的几何表示
【学习目标】
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间一一对应的关系.(直观想象)
2.掌握实轴、虚轴、复数的模、共轭复数等概念.(数学抽象)
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.(数学运算)
【自主预习】
1.平面直角坐标系中的点Z与向量有怎样的对应关系
【答案】　一一对应.
2.复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合一一对应吗
【答案】　一一对应.
3.实轴上的点都表示实数,那么虚轴上的点都表示纯虚数吗
【答案】　虚轴上除了坐标原点以外的点才表示纯虚数.
4.若z1,z2是共轭复数,在复平面内它们所对应的点有怎样的关系
【答案】　它们所对应的点关于实轴对称.
5.我们知道,复数1+2i与复数2+2i是不能比较大小的,这两个复数的模分别是多少 能比较大小吗
【答案】　∵|1+2i|=,|2+2i|=2,∴|1+2i|<|2+2i|,即两个复数的模能比较大小.
6.怎样定义复数z的模 它有什么意义
【答案】　向量的模r叫作复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,且r=(r≥0,且r∈R),表示点Z(a,b)到原点的距离.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)复平面内的点与复数是一一对应的. (　　)
(2)复数的模一定是正实数. (　　)
(3)若|z1|=|z2|,则z1=z2. (　　)
(4)若两个复数互为共轭复数,则它们的模相等. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.已知i为虚数单位,若(x-2)+yi和3x-i互为共轭复数,则实数x,y的值分别是(　　).
A.3,3 B.5,1 C.-1,-1 D.-1,1
【答案】　D
【解析】　∵(x-2)+yi和3x-i互为共轭复数,
∴解得
3.若复数a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是(　　).
A.(-∞,1) B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
【答案】　B
【解析】　因为z=a+1+(1-a)i,所以它在复平面内对应的点为(a+1,1-a),
又因为此点在第二象限,所以解得a<-1.故选B.
4.已知复数z=,则|z|=　　　　.
【答案】　
【解析】　依题意,z===-+i,所以|z|==.
【合作探究】
探究1　复数的几何意义
问题1:在什么条件下,复数z=x+yi(x,y∈R)唯一确定
【答案】　实部x和虚部y唯一确定.
问题2:设复数z=x+yi(x,y∈R),以z的实部和虚部组成一个有序实数对(x,y),那么复数z与有序实数对(x,y)之间是一个怎样的对应关系
【答案】　一一对应关系,即复数z=x+yi 点Z(x,y).
问题3:实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示虚数,这句话对吗
【答案】　不正确.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.
新知生成
1.复平面的定义
在平面上建立直角坐标系,这个与全体复数建立一一对应关系的平面叫作复平面.
x轴叫作　实轴　,y轴叫作　虚轴　,实轴上的点都表示　实数　.除　原点　外,虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)一一对应复平面内的点　Z(a,b)　.
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)一一对应平面向量=(a,b).
新知运用
例1　求实数a分别取何值时,复数z=+(a2-2a-15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件:
(1)在复平面的第二象限内;
(2)在复平面内的x轴上方.
【解析】　(1)点Z在复平面的第二象限内,
则无解,∴a∈ .
(2)点Z在x轴上方,
则
即(a+3)(a-5)>0,解得a>5或a<-3.
【方法总结】　　利用复数与点的对应关系解题的步骤:(1)确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的横、纵坐标;(2)根据已知条件,确定实部与虚部满足的关系.
在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应的点:(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在直线y=x上,分别求实数m的取值范围.
【解析】　复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为m2-m-2,虚部为m2-3m+2.
(1)由题意得m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.
(2)由题意得解得
∴-1(3)由已知得m2-m-2=m2-3m+2,解得m=2.
探究2　复数的模与共轭复数
我们知道向量的长度叫向量的模,z=a+bi(a,b∈R)与向量一一对应,下面我们探讨|z|如何表示.
问题1:|z|与向量的模之间也是一一对应的吗
【答案】　是.
问题2:联系复数的几何意义,你能说出复数的模在复平面内的几何意义吗
【答案】　复数z=a+bi的模|z|就是复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.
问题3: 若z1与z2互为共轭复数,则|z1|与|z2|之间有什么关系
【答案】　设z1=a+bi,则z2=a-bi,故|z1|=|z2|.
问题4:什么数的共轭复数是它本身
【答案】　实数的共轭复数是它本身.
新知生成
1.复数的模
对任意复数z=a+bi(a,b∈R),将它在复平面上对应的向量的模称为复数z的模,也称为z的绝对值,记作|z|,即|a+bi|=,|z|=表示点(a,b)到原点的距离.
2.共轭复数
(1)定义:对于任意复数z=a+bi(a,b∈R),如果保持它的实部a不变,将虚部b变成它的相反数-b,得到的复数a-bi称为原复数z的共轭复数,记作,即=a-bi.
(2)性质:①=z;②复平面上两点P,Q关于x轴对称 它们所代表的复数相互共轭.
新知运用
例2　已知复数z1=(1+i)2,设z2=.
(1)求复数;
(2)若复数z满足=,z+z2=,求|z|.
方法指导　(1)根据已知计算出z1,把z1带入已知计算出z2,再求其共轭复数;
(2)设复数z=x+yi,根据已知建立方程求出x,y,从而得出|z|.
【解析】　(1)z1=(1+i)2=2i,z2===-i,所以=+i.
(2)设复数z=x+yi(其中x,y∈R).
由=,得-i=+i,
所以-=,解得x=-1.
由z+z2=,得x++i=x+-i,
所以y-=-,解得y=.
所以z=-1+i,==.
【方法总结】　　计算复数的模时,应先找出复数的实部和虚部,然后再利用模的公式进行计算,两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小.
已知复数z=cos θ+isin θ.
(1)若θ=,求||;
(2)当θ为何值时,取得最大值与最小值,并求出最大值与最小值.
【解析】　(1)由θ=,=-,得||==1.
(2)由题意得1-i+z=1+cos θ+i(sin θ-1),
则=(1+cos θ)2+(sin θ-1)2
=1+2cos θ+cos2θ+sin2θ-2sin θ+1
=3+2cos θ-2sin θ
=3-2sin,
又因为θ∈,则θ-∈,所以sinθ-∈,
所以当θ=0时,=;
当θ=时 ,=1.
探究3　复数加减法的几何意义
我们知道向量加、减运算的几何意义是三角形法则、平行四边形法则.你能说出复数加、减的几何意义吗
问题1:类比绝对值|x-x0|的几何意义,|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是什么
【答案】　|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离.
问题2:复数与复平面内的向量一一对应,你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗
【答案】　设,分别与复数a+bi,c+di对应,
则=(a,b),=(c,d).
由平面向量的坐标运算,
得+=(a+c,b+d),
所以+与复数(a+c)+(b+d)i对应,复数的加法可以按照向量的加法来进行.
新知生成
如图所示,设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为,,四边形OZ1ZZ2为平行四边形,则与z1+z2对应的向量是,与z1-z2对应的向量是.
新知运用
例3　已知复平面内平行四边形OABC的三个顶点O,A,C对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i.
(1)求表示的复数;
(2)求表示的复数.
【解析】　(1)因为=-,所以表示的复数为-(3+2i),即-3-2i.
(2)因为=-,所以表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
【方法总结】　　复数加、减运算的几何意义的应用:(1)复数的加、减运算可以转化为点的坐标或向量运算;(2)复数的加、减运算转化为向量运算时,同样满足平行四边形法则和三角形法则.
已知复平面内平行四边形ABCD,点A对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求:
(1)点C,D对应的复数;
(2)平行四边形ABCD的面积.
【解析】　(1)因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,
所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.
又=+,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.
因为=,所以向量对应的复数为3-i,即=(3,-1),
设D(x,y),则=(x-2,y-1)=(3,-1),
所以解得
所以点D对应的复数为5.
(2)因为·=||||cos B,
所以cos B====.
所以sin B==,
所以S=||||sin B=××=7.
所以平行四边形ABCD的面积为7.
【随堂检测】
1.z=(-i)2023在复平面内对应的点的坐标为(　　).
A.(1,0) B.(0,1)
C.(0,-1) D.(-1,0)
【答案】　B
【解析】　z=(-i)2023=(-i)4×505+3=(-i)3=i,对应的点的坐标为(0,1).
2.已知复数z=1+2i(i是虚数单位),则|z|=　　　　.
【答案】　
【解析】　因为z=1+2i,所以|z|==.
3.在复平面内,复数i,1,4+2i对应的点分别是A,B,C,则平行四边形ABCD的点D对应的复数为　　　　.
【答案】　3+3i
【解析】　由已知条件得点A(0,1),B(1,0),C(4,2),则边AC的中点为E,
由平行四边形的性质知,E也是边BD的中点.
设D(x,y),则解得即D(3,3),
∴点D对应的复数为3+3i.
4.若复数z满足|z-i|=3,则复数z在复平面内对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为　　　　.
【答案】　9π
【解析】　由条件知|z-i|=3,所以点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心,3为半径的圆,故其面积S=9π.
23.3 复数的几何表示
【学习目标】
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间一一对应的关系.(直观想象)
2.掌握实轴、虚轴、复数的模、共轭复数等概念.(数学抽象)
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.(数学运算)
【自主预习】
1.平面直角坐标系中的点Z与向量有怎样的对应关系
2.复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合一一对应吗
3.实轴上的点都表示实数,那么虚轴上的点都表示纯虚数吗
4.若z1,z2是共轭复数,在复平面内它们所对应的点有怎样的关系
5.我们知道,复数1+2i与复数2+2i是不能比较大小的,这两个复数的模分别是多少 能比较大小吗
6.怎样定义复数z的模 它有什么意义
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)复平面内的点与复数是一一对应的. (　　)
(2)复数的模一定是正实数. (　　)
(3)若|z1|=|z2|,则z1=z2. (　　)
(4)若两个复数互为共轭复数,则它们的模相等. (　　)
2.已知i为虚数单位,若(x-2)+yi和3x-i互为共轭复数,则实数x,y的值分别是(　　).
A.3,3 B.5,1 C.-1,-1 D.-1,1
3.若复数a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是(　　).
A.(-∞,1) B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
4.已知复数z=,则|z|=　　　　.
【合作探究】
探究1　复数的几何意义
问题1:在什么条件下,复数z=x+yi(x,y∈R)唯一确定
问题2:设复数z=x+yi(x,y∈R),以z的实部和虚部组成一个有序实数对(x,y),那么复数z与有序实数对(x,y)之间是一个怎样的对应关系
问题3:实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示虚数,这句话对吗
新知生成
1.复平面的定义
在平面上建立直角坐标系,这个与全体复数建立一一对应关系的平面叫作复平面.
x轴叫作　实轴　,y轴叫作　虚轴　,实轴上的点都表示　实数　.除　原点　外,虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)一一对应复平面内的点　Z(a,b)　.
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)一一对应平面向量=(a,b).
新知运用
例1　求实数a分别取何值时,复数z=+(a2-2a-15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件:
(1)在复平面的第二象限内;
(2)在复平面内的x轴上方.
【方法总结】　　利用复数与点的对应关系解题的步骤:(1)确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的横、纵坐标;(2)根据已知条件,确定实部与虚部满足的关系.
在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应的点:(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在直线y=x上,分别求实数m的取值范围.
探究2　复数的模与共轭复数
我们知道向量的长度叫向量的模,z=a+bi(a,b∈R)与向量一一对应,下面我们探讨|z|如何表示.
问题1:|z|与向量的模之间也是一一对应的吗
问题2:联系复数的几何意义,你能说出复数的模在复平面内的几何意义吗
问题3: 若z1与z2互为共轭复数,则|z1|与|z2|之间有什么关系
问题4:什么数的共轭复数是它本身
新知生成
1.复数的模
对任意复数z=a+bi(a,b∈R),将它在复平面上对应的向量的模称为复数z的模,也称为z的绝对值,记作|z|,即|a+bi|=,|z|=表示点(a,b)到原点的距离.
2.共轭复数
(1)定义:对于任意复数z=a+bi(a,b∈R),如果保持它的实部a不变,将虚部b变成它的相反数-b,得到的复数a-bi称为原复数z的共轭复数,记作,即=a-bi.
(2)性质:①=z;②复平面上两点P,Q关于x轴对称 它们所代表的复数相互共轭.
新知运用
例2　已知复数z1=(1+i)2,设z2=.
(1)求复数;
(2)若复数z满足=,z+z2=,求|z|.
方法指导　(1)根据已知计算出z1,把z1带入已知计算出z2,再求其共轭复数;
(2)设复数z=x+yi,根据已知建立方程求出x,y,从而得出|z|.
【方法总结】　　计算复数的模时,应先找出复数的实部和虚部,然后再利用模的公式进行计算,两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小.
已知复数z=cos θ+isin θ.
(1)若θ=,求||;
(2)当θ为何值时,取得最大值与最小值,并求出最大值与最小值.
探究3　复数加减法的几何意义
我们知道向量加、减运算的几何意义是三角形法则、平行四边形法则.你能说出复数加、减的几何意义吗
问题1:类比绝对值|x-x0|的几何意义,|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是什么
问题2:复数与复平面内的向量一一对应,你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗
新知生成
如图所示,设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为,,四边形OZ1ZZ2为平行四边形,则与z1+z2对应的向量是,与z1-z2对应的向量是.
新知运用
例3　已知复平面内平行四边形OABC的三个顶点O,A,C对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i.
(1)求表示的复数;
(2)求表示的复数.
【方法总结】　　复数加、减运算的几何意义的应用:(1)复数的加、减运算可以转化为点的坐标或向量运算;(2)复数的加、减运算转化为向量运算时,同样满足平行四边形法则和三角形法则.
已知复平面内平行四边形ABCD,点A对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求:
(1)点C,D对应的复数;
(2)平行四边形ABCD的面积.
【随堂检测】
1.z=(-i)2023在复平面内对应的点的坐标为(　　).
A.(1,0) B.(0,1)
C.(0,-1) D.(-1,0)
2.已知复数z=1+2i(i是虚数单位),则|z|=　　　　.
3.在复平面内,复数i,1,4+2i对应的点分别是A,B,C,则平行四边形ABCD的点D对应的复数为　　　　.
4.若复数z满足|z-i|=3,则复数z在复平面内对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为　　　　.
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