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3.4 课时1 复数的三角表示
【学习目标】
1.了解i2=-1的几何意义.(数学抽象)
2.了解cos α+isin α乘复数z的几何意义.(数学抽象)
【自主预习】
1.cos α+isin α乘复数z的几何意义是什么
【答案】　将复数z在复平面内对应的向量旋转角α.
2.什么是复数的三角形式
【答案】　z=r(cos θ+isin θ)叫作复数z=a+bi的三角形式,其中a=rcos θ,b=rsin θ.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)虚数单位i乘任意复数z的几何意义应是将复数z在复平面内对应的向量旋转90°. (　　)
(2)cos +isin z的几何意义是将复数z对应的平面向量旋转角. (　　)
(3)z=-2(cos θ+isin θ)是复数的三角形式. (　　)
(4)复数z=cos π+isin π的模是1,辐角的主值是π. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.复数sin 40°-icos 40°的辐角的主值是(　　).
A.-40° B.310° C.50° D.130°
【答案】　B
【解析】　因为复数sin 40°-icos 40°=cos 310°+isin 310°,所以该复数的辐角的主值是310°.故选B.
3.复数z=-+i的三角形式为(　　).
A.2cos +isin B.2cos -isin
C.2cos +isin D.2cos +isin
【答案】　C
【解析】　复数z=-+i在复平面内所对应的点为(-,1),位于第二象限,
则r==2,cos θ=,所以θ=,即arg(-+i)=.
所以z=-+i=2cos +isin .故选C.
4.将复数z=cos-+isin-化为代数形式为　　　　.
【答案】　1-i
【解析】　z=cos-+isin-=cos -isin =-i=1-i.
【合作探究】
探究1　i2=-1的几何意义
问题1:设平面向量=(x,y)对应复数z=x+yi,则=(-x,-y)对应的复数是什么
【答案】　对应的复数为-z=(-1)z.
问题2:设复数z对应的向量在第一象限,画出问题1中的图形.
【答案】　
新知生成
复数乘法的几何意义
1.-1乘复数z的几何意义是将复数z对应的平面向量绕起点旋转180°变成.
2.虚数i乘任意复数z的几何意义是将复数z对应的平面向量绕原点逆时针旋转90°.
新知运用
例1　复数i·z1,-z1,(-i)·z1的几何意义分别是什么
方法指导　根据复数乘法的几何意义求解.
【解析】　i·z1的几何意义是将向量(Z1是复数z1在复平面内对应的点)绕原点逆时针旋转90°,
-z1的几何意义是将向量(Z1是复数z1在复平面内对应的点)绕原点旋转180°,
(-i)·z1的几何意义是将向量(Z1是复数z1在复平面内对应的点)绕原点顺时针旋转90°.
【方法总结】　　复数乘法几何意义解决问题,要注意旋转量和旋转方向.
将复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转90°,求所得向量对应的复数.
【解析】　复数3-i对应的点为Z,将向量按顺时针方向旋转90°,所得复数为(3-i)(-i)=-3i-.
探究2　旋转任意角
如图,把复数z对应的向量旋转角α得到',把旋转90°得到.
问题1:如何用,表示出
【答案】　=cos α·+sin α·.
问题2:在复平面内对应的复数为z,在复平面内对应的复数是什么 在复平面内对应的复数是什么
【答案】　对应的复数为iz,对应的复数为cos α·z+sin α·iz.
新知生成
用cos α+isin α乘任意复数z,其几何意义是将复数z对应的平面向量旋转角α.
新知运用
例2　根据cos α+isin α乘任意复数z的几何意义计算:
(1)(cos 45°+isin 45°)2;(2)(cos 120°+isin 120°)3.
【解析】　(1)设ω=cos 45°+isin 45°,则用ω乘任意复数z,其几何意义是将z对应的向量旋转45°.于是,用ω2乘z的几何意义是将z对应的向量连续旋转两个45°,也就是将z对应的向量旋转90°.又由虚数单位i乘任意复数z的几何意义可知,ω2=i,即(cos 45°+isin 45°)2=i.
(2)设ω=cos 120°+isin 120°,则用ω乘任意复数z,其几何意义是将z对应的向量旋转120°.同理可得,用ω3乘任意复数z就是将z对应的向量连续旋转三个120°,其结果就是将z对应的向量旋转360°后回到原处,所以(cos 120°+isin 120°)3=1.
【方法总结】　　解决此类问题要明确旋转角的几何意义,准确计算.
复数1+2i对应的平面向量逆时针旋转30°所得向量所对应的复数是　　　　　.
【答案】　+i
【解析】　(1+2i)(cos 30°+isin 30°)=(1+2i)+i=+i.
探究3　复数的三角表示
我们知道asin x+bcos x=sin(x+φ),而复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R),由此联想z的三角表示式.
问题1:你能类比上述三角变换,推出复数的三角形式吗
【答案】　能.a+bi=,
令=cos θ,=sin θ,r=,则a+bi=r(cos θ+isin θ).
问题2:若角θ的顶点在坐标原点,始边在x轴非负半轴上,已知终边上一点P(x,y),如何表示角θ的三角函数
【答案】　设r=|OP|=,则cos θ=,sin θ=,tan θ=.
新知生成
1.定义:r(cos θ+isin θ)叫作复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式,即z=r(cos θ+isin θ),其中|z|=r,θ为复数z的辐角.
2.我们将r(cos θ+isin θ)称为复数a+bi的三角形式.如果z=0,则|z|=0,辐角θ可以取任意值,对每个值仍有z=r(cos θ+isin θ).因此,两个复数z1=|z1|(cos θ1+isin θ1),z2=|z2|(cos θ2+isin θ2)相等的充要条件是|z1|=|z2|=0,或|z1|=|z2|>0且θ2=θ1+2kπ,k∈Z.
新知运用
例3　把下列复数的代数形式化成三角形式:
(1)+i;(2)1-i.
【解析】　(1)r==2,
∵+i在复平面内对应的点在第一象限,
∴tan θ==,即θ=,
∴+i=2.
(2)r==.
∵1-i在复平面内对应的点在第四象限,
且tan θ==-1,∴θ=,
∴1-i=.
【方法总结】　　复数的代数形式化三角形式的步骤:(1)先求复数的模;(2)确定辐角所在的象限;(3)根据象限求出辐角;(4)求出复数的三角形式.
下列复数是不是复数的三角形式 如果不是,把它们表示成三角形式.
(1);
(2)-;
(3);
(4)cos+isin;
(5).
【解析】　根据复数三角形式的定义可知(1)(2)(3)(5)不是,(4)是复数的三角形式.
(1)原式=;
(2)原式=
=;
(3)原式=
=;
(5)原式=.
【随堂检测】
1.cos-+isin-3=(　　).
A.-1 B.1 C.i D.-i
【答案】　A
【解析】　根据旋转角的几何意义知,cos-+isin-3=-1.
2.下列复数中已用三角形式表示的是(　　).
A.2(cos α-isin α)
B.2(sin α+icos α)
C.-2(cos α+isin α)
D.2[cos(-α)+isin(-α)]
【答案】　D
【解析】　复数的三角形式为z=r(cos α+isin α),其满足的条件:①r≥0;②加号连接;③cos α在前,sin α在后;④α前后一致,可取任意值.故选D.
3.复数1+i的三角形式为　　　　.
【答案】　
【解析】　r=,cos θ==,
又因为1+i在复平面内对应的点位于第一象限,
所以arg(1+i)=.
所以1+i=.
4.设复数z满足z-3的辐角的主值为,z+1的模为,求复数z.
【解析】　设z=x+yi(x,y∈R).
由|z+1|=,得|(x+1)+yi|=,
∴(x+1)2+y2=10.　①
又z-3=(x+yi)-3(x-yi)=-2x+4yi,
∴arg(z-3)= 　②
由①②可得x=2,y=-1.
∴z=2-i.
23.4 课时1 复数的三角表示
【学习目标】
1.了解i2=-1的几何意义.(数学抽象)
2.了解cos α+isin α乘复数z的几何意义.(数学抽象)
【自主预习】
1.cos α+isin α乘复数z的几何意义是什么
2.什么是复数的三角形式
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)虚数单位i乘任意复数z的几何意义应是将复数z在复平面内对应的向量旋转90°. (　　)
(2)cos +isin z的几何意义是将复数z对应的平面向量旋转角. (　　)
(3)z=-2(cos θ+isin θ)是复数的三角形式. (　　)
(4)复数z=cos π+isin π的模是1,辐角的主值是π. (　　)
2.复数sin 40°-icos 40°的辐角的主值是(　　).
A.-40° B.310° C.50° D.130°
3.复数z=-+i的三角形式为(　　).
A.2cos +isin B.2cos -isin
C.2cos +isin D.2cos +isin
4.将复数z=cos-+isin-化为代数形式为　　　　.
【合作探究】
探究1　i2=-1的几何意义
问题1:设平面向量=(x,y)对应复数z=x+yi,则=(-x,-y)对应的复数是什么
问题2:设复数z对应的向量在第一象限,画出问题1中的图形.
新知生成
复数乘法的几何意义
1.-1乘复数z的几何意义是将复数z对应的平面向量绕起点旋转180°变成.
2.虚数i乘任意复数z的几何意义是将复数z对应的平面向量绕原点逆时针旋转90°.
新知运用
例1　复数i·z1,-z1,(-i)·z1的几何意义分别是什么
方法指导　根据复数乘法的几何意义求解.
【方法总结】　　复数乘法几何意义解决问题,要注意旋转量和旋转方向.
将复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转90°,求所得向量对应的复数.
探究2　旋转任意角
如图,把复数z对应的向量旋转角α得到',把旋转90°得到.
问题1:如何用,表示出
问题2:在复平面内对应的复数为z,在复平面内对应的复数是什么 在复平面内对应的复数是什么
新知生成
用cos α+isin α乘任意复数z,其几何意义是将复数z对应的平面向量旋转角α.
新知运用
例2　根据cos α+isin α乘任意复数z的几何意义计算:
(1)(cos 45°+isin 45°)2;(2)(cos 120°+isin 120°)3.
【方法总结】　　解决此类问题要明确旋转角的几何意义,准确计算.
复数1+2i对应的平面向量逆时针旋转30°所得向量所对应的复数是　　　　　.
探究3　复数的三角表示
我们知道asin x+bcos x=sin(x+φ),而复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R),由此联想z的三角表示式.
问题1:你能类比上述三角变换,推出复数的三角形式吗
问题2:若角θ的顶点在坐标原点,始边在x轴非负半轴上,已知终边上一点P(x,y),如何表示角θ的三角函数
新知生成
1.定义:r(cos θ+isin θ)叫作复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式,即z=r(cos θ+isin θ),其中|z|=r,θ为复数z的辐角.
2.我们将r(cos θ+isin θ)称为复数a+bi的三角形式.如果z=0,则|z|=0,辐角θ可以取任意值,对每个值仍有z=r(cos θ+isin θ).因此,两个复数z1=|z1|(cos θ1+isin θ1),z2=|z2|(cos θ2+isin θ2)相等的充要条件是|z1|=|z2|=0,或|z1|=|z2|>0且θ2=θ1+2kπ,k∈Z.
新知运用
例3　把下列复数的代数形式化成三角形式:
(1)+i;(2)1-i.
【方法总结】　　复数的代数形式化三角形式的步骤:(1)先求复数的模;(2)确定辐角所在的象限;(3)根据象限求出辐角;(4)求出复数的三角形式.
下列复数是不是复数的三角形式 如果不是,把它们表示成三角形式.
(1);
(2)-;
(3);
(4)cos+isin;
(5).
【随堂检测】
1.cos-+isin-3=(　　).
A.-1 B.1 C.i D.-i
2.下列复数中已用三角形式表示的是(　　).
A.2(cos α-isin α)
B.2(sin α+icos α)
C.-2(cos α+isin α)
D.2[cos(-α)+isin(-α)]
3.复数1+i的三角形式为　　　　.
4.设复数z满足z-3的辐角的主值为,z+1的模为,求复数z.
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