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3.4 课时2 复数三角形式的运算
【学习目标】
1.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.(直观想象)
2.会进行复数三角形式的乘、除运算.(数学运算)
【自主预习】
1.复数三角形式的乘、除运算公式是什么
2.复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个复数相乘,积的模等于两个复数的模的积,积的辐角等于两个复数的辐角的积. (　　)
(2)两个复数相除(除数不为0),就是把模相除作为商的模,辐角相减作为商的辐角. (　　)
(3)两个非零复数相乘(除),积(商)还是一个复数. (　　)
(4)若复数z1,z2对应的向量分别为,,辐角分别为θ1,θ2,当θ2>0时,把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2,得到积z1z2的辐角. (　　)
2.若z=cos 30°+isin 30°,则arg z2=(　　).
A.30° B.60°
C.90° D.120°
3.计算:(cos π+isin π)÷cos +isin =　　　　.
【合作探究】
探究1　复数三角形式的乘法
设z=1-i对应的向量为,将绕原点按逆时针方向旋转30°.
问题1:上述旋转所得向量对应的复数是什么
问题2:上述问题如何求解 将(1-i)化为三角函数能求解吗
问题3:若复数z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),你能根据复数的乘法运算法则计算z1z2,并将结果表示成三角形式吗
新知生成
1.设z1,z2的三角形式分别是
z1=r1(cos θ1+isin θ1),
z2=r2(cos θ2+isin θ2),
则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],
这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.
几何意义:两个复数z1,z2相乘,可以先分别画出与z1,z2对应的向量,,然后把向量绕点O按逆时针方向旋转θ2(如果θ2<0,就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的r2倍,得到向量,表示的复数就是z1z2.
2.棣莫弗公式:[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),其中n∈N+.
新知运用
例1　计算下列各式:
(1)16×4;
(2)3(cos 20°+isin 20° )[2(cos 50°+isin 50°)][10(cos 80°+isin 80° )];
(3)(-1+i) .
【方法总结】　　复数三角形式的乘法运算:(1)直接利用复数三角形式的乘法法则:模相乘,辐角相加;(2)若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时,需将相混的复数统一成代数形式或三角形式,然后进行复数的代数形式相乘或三角形式相乘.
计算下列各式:
(1)·;
(2)3·7;
(3).
探究2　复数三角形式的除法
我们知道复数除法是乘法的逆运算,除以一个数等于乘这个数的倒数,复数三角形式的除法如何由复数三角形式的乘法运算得到呢
问题:设z1,z2的三角形式分别是z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z1≠z2,类比复数三角形式的乘法,能得出吗
新知生成
设z1,z2的三角形式分别是z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z1≠z2,则==·[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].
这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
几何意义:两个复数z1,z2相除,可以先画出z1,z2对应的向量,,将向量按顺时针方向旋转θ2(若θ2<0,则按逆时针方向旋转|θ2|),再把模变为原来的,所得向量就表示商.
复数除法的实质即向量的旋转和伸缩.
新知运用
例2　计算(1+i)÷.
【方法总结】　　(1)商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角.
(2)结果一般保留代数形式.
(3)商的辐角的主值不一定等于被除数的辐角的主值减去除数的辐角的主值所得的差.实际上,arg与arg z1,arg z2的关系是arg=arg z1-arg z2+2kπ(k∈Z).
计算:=　　　　.
【随堂检测】
1.已知复数z1=,z2=cos+isin,则z1z2的代数形式是(　　).
A. B.cos+isin
C.-i D.+i
2.计算:3cos +isin 5=　　　　.
3.计算:3×2cos +isin =　　　　.
4.计算:(cos 40°+isin 40°)÷(cos 10°+isin 10°)=　　　　.
23.4 课时2 复数三角形式的运算
【学习目标】
1.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.(直观想象)
2.会进行复数三角形式的乘、除运算.(数学运算)
【自主预习】
1.复数三角形式的乘、除运算公式是什么
【答案】　设z1,z2的三角形式分别是
z1=r1(cos θ1+isin θ1),
z2=r2(cos θ2+isin θ2),
则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],
=[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)](z2≠0).
2.复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么
【答案】　复数三角形式乘、除运算的几何意义即向量的旋转与伸缩.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个复数相乘,积的模等于两个复数的模的积,积的辐角等于两个复数的辐角的积. (　　)
(2)两个复数相除(除数不为0),就是把模相除作为商的模,辐角相减作为商的辐角. (　　)
(3)两个非零复数相乘(除),积(商)还是一个复数. (　　)
(4)若复数z1,z2对应的向量分别为,,辐角分别为θ1,θ2,当θ2>0时,把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2,得到积z1z2的辐角. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.若z=cos 30°+isin 30°,则arg z2=(　　).
A.30° B.60°
C.90° D.120°
【答案】　B
【解析】　因为z2=(cos 30°+isin 30°)2=cos 60°+isin 60°,
所以arg z2=60°.故选B.
3.计算:(cos π+isin π)÷cos +isin =　　　　.
【答案】　-+i
【解析】　(cos π+isin π)÷cos +isin =cosπ-+isinπ-=-+i.
【合作探究】
探究1　复数三角形式的乘法
设z=1-i对应的向量为,将绕原点按逆时针方向旋转30°.
问题1:上述旋转所得向量对应的复数是什么
【答案】　由题意所得向量对应的复数为(1-i)·(cos 30°+isin 30°).
问题2:上述问题如何求解 将(1-i)化为三角函数能求解吗
【答案】　把cos 30°+isin 30°化为+i,然后根据复数代数形式的运算法则求解.能.
问题3:若复数z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),你能根据复数的乘法运算法则计算z1z2,并将结果表示成三角形式吗
【答案】　z1z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)
=r1r2(cos θ1+isin θ1)·(cos θ2+isin θ2)
=r1r2[(cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2)+i(sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2)
=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
新知生成
1.设z1,z2的三角形式分别是
z1=r1(cos θ1+isin θ1),
z2=r2(cos θ2+isin θ2),
则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],
这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.
几何意义:两个复数z1,z2相乘,可以先分别画出与z1,z2对应的向量,,然后把向量绕点O按逆时针方向旋转θ2(如果θ2<0,就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的r2倍,得到向量,表示的复数就是z1z2.
2.棣莫弗公式:[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),其中n∈N+.
新知运用
例1　计算下列各式:
(1)16×4;
(2)3(cos 20°+isin 20° )[2(cos 50°+isin 50°)][10(cos 80°+isin 80° )];
(3)(-1+i) .
【解析】　(1)原式=16×4
=64
=64
=64=32+32i.
(2)原式=6(cos 70°+isin 70°)[10(cos 80°+isin 80° )]
=60(cos 150°+isin 150°)
=60=-30+30i.
(3)(法一)∵复数-1+i的模r=,cos θ=-,sin θ=,∴θ=.
原式=
=
===i.
(法二)
==-i,
原式=(-1+i)
=+i=i.
【方法总结】　　复数三角形式的乘法运算:(1)直接利用复数三角形式的乘法法则:模相乘,辐角相加;(2)若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时,需将相混的复数统一成代数形式或三角形式,然后进行复数的代数形式相乘或三角形式相乘.
计算下列各式:
(1)·;
(2)3·7;
(3).
【解析】　(1)原式=
==(+)+(-)i=-(+1)+(-1)i.
(2)原式=21
=21=-(+)+(-)i.
(3)原式=
==
==-+i.
探究2　复数三角形式的除法
我们知道复数除法是乘法的逆运算,除以一个数等于乘这个数的倒数,复数三角形式的除法如何由复数三角形式的乘法运算得到呢
问题:设z1,z2的三角形式分别是z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z1≠z2,类比复数三角形式的乘法,能得出吗
【答案】　能,==(cos θ1+isin θ1)·[cos(-θ2)+isin(-θ2)]=[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].
新知生成
设z1,z2的三角形式分别是z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z1≠z2,则==·[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].
这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
几何意义:两个复数z1,z2相除,可以先画出z1,z2对应的向量,,将向量按顺时针方向旋转θ2(若θ2<0,则按逆时针方向旋转|θ2|),再把模变为原来的,所得向量就表示商.
复数除法的实质即向量的旋转和伸缩.
新知运用
例2　计算(1+i)÷.
【解析】　因为1+i=,
所以原式=
=
=
=(0-i)
=-i.
【方法总结】　　(1)商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角.
(2)结果一般保留代数形式.
(3)商的辐角的主值不一定等于被除数的辐角的主值减去除数的辐角的主值所得的差.实际上,arg与arg z1,arg z2的关系是arg=arg z1-arg z2+2kπ(k∈Z).
计算:=　　　　.
【答案】　i
【解析】　=
==i.
【随堂检测】
1.已知复数z1=,z2=cos+isin,则z1z2的代数形式是(　　).
A. B.cos+isin
C.-i D.+i
【答案】　D
【解析】　z1z2=×
===+i.
2.计算:3cos +isin 5=　　　　.
【答案】　-243
【解析】　原式=35cos5×+isin5×=243(cos π+isin π)=-243.
3.计算:3×2cos +isin =　　　　.
【答案】　3+3i
【解析】　原式=6
=6×=3+3i.
4.计算:(cos 40°+isin 40°)÷(cos 10°+isin 10°)=　　　　.
【答案】　+i
【解析】　(cos 40°+isin 40°)÷(cos 10°+isin 10°)=cos 30°+isin 30°=+i.
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