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20.2《数据的集中趋势与离散程度-中位数与众数》导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.理解中位数与众数的概念，并会求出一组数据的中位数和众数；
2.理解平均数、中位数和众数从不同角度反映数据的集中趋势，对它们加以比较，并掌握它们之间的区别；
3.会用样本平均数来估计总体状况.
学习重难点
重点：选择何种统计量来反映一组数据的集中趋势，怎样用样本平均数来估计总体状况；
难点：区别平均数、中位数与众数，理解它们是怎样从不同角度来反映数据的集中趋势.
学法指导
通过实例来理解平均数、中位数和众数，感悟三种反映数据集中趋势的统计量的意义.
学习过程
一、导学探究
知识点一：中位数
定义：将一组数据按________________________________________________________
__________________________________________叫做这组数据的中位数.
知识二：众数
定义：一组数据中，______________________________________叫做这组数据的众数；
二、问题情境
问题1：某公司对外宣称员工的平均年薪为3万元，经过调查，发现该公司全体员工年薪的具体情况如下表：
年薪/万元 12 9 6 4 3 2.5 2 1.5 1
员工人数 1 1 1 1 2 2 5 6 2
看了这张调查表，你认为该公司的宣传是否失实？3万元能代表该公司员工年薪的一般水平吗？
三、课内探究，交流学习
同伴交流
问题：1.什么叫做中位数？
2.什么叫做众数？
小组交流，合作探究：
在问题1中是用平均数、中位数，还是用众数来代表公司员工的一般水平更为合适？说说你的理由.
自主学习，合作交流
例3：8位评委对选手甲的评分情况如下：
9.0，9.0，9.2，9.8，8.8，9.2，9.5，9.2
求这组数据的中位数和众数.
小组交流，合作探究：
问题2：巨星公司是以生产各种模具为主的大型企业，公司销售部有营销员15人，销售部为了制定下一年度每位营销员的销售额，统计了这15人本年度的销售情况：
销售额/万元 330 280 150 40 30 20
营销员人数 1 1 2 6 4 1
（1）如果公司销售部把每位营销员的下一年度销售额定为平均数86万元，你认为是否合理？为什么？
（2）你认为销售额定为多少元比较合理？试说出你的理由.
思考：平均数、中位数、众数分别从哪些方面反映了一组数据的特点？
交流：
问题3：10位学生的鞋号由小到大是20，20，21，21，22，22，22，23，23，23.这组数据的3个集中趋势的统计量中最令鞋厂关注的是哪一个？最不感兴趣的又是哪一个？
自主学习
问题4：某园艺场摘苹果，边采摘，边装箱，共装了2000箱.苹果的市场收购价为4元/kg，现在要估计出这2000箱苹果的销售收入，我们可以怎样去做？
交流：
用这两种方法估计销售收入各有什么优、缺点？
例4：某单位共有280位员工参加了社会公益捐款活动，从中任意抽取了12位员工的捐款数额，记录如下：
捐款数额/元 30 50 80 100
员工人数 12 5 3 2
估计该单位的捐款总额.
合作交流
问题5. 某班45名学生的体重（单位：kg）数据如下：
47，48，42，61，50，45，44，46，51，
46，45，51，48，53，55，42，47，51，
49，49，52，46，52，57，49，48，57，
49，51，41，52，58，50，54，55，48，
56，54，60，44，53，61，54，50，62.
选第9列的数据作为样本，计算它的平均数；再选取3，6，9列共三列的数据作为样本，计算它的平均数，与总体的平均数相比较，你有什么发现？
练一练：
1.数据、0、1、2、2的众数是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2.年体育中考在即，小杭同学将自己近7次体育模拟测试成绩（单位：分）统计如表，第次测试的成绩为分，若这8次成绩的众数不止一个，则的值可能为（　　）
次数 第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次
成绩
A． B． C． D．或
3．一组数据1、2、4、4、3的众数为4，则这组数据的中位数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．某学习小组7位同学，为玉树地震灾区捐款，捐款金额分别为5元、6元、6元、6元、7元、8元、9元，则这组数据的中位数与众数分别为（ ）
A．6，6 B．7，6 C．7，8 D．6，8
5.若一组数据4，6，6，5，6，8，x的众数与平均数相等，则x的值为 ．
6．学校组织科技知识大赛，8名参赛同学的得分（单位：分）如下：91，89，92，94，92，96，95，92，这组数据的众数是 分．
7．已知一组数据8，，5，5，7，1的众数是5和7，则这组数据的中位数是 ．
8.深圳市某中学对八年级学生进行了体育综合测试（满分50分），下表是某小组10名学生的测试成绩，则这组学生体育成绩的中位数是 ．
得分 45 48 50
人数 2 5 3
9.某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，请回答问题：
环数 6 7 8 9
人数 1 5 3
(1)填空：10名学生的射击成绩的众数是__________，中位数是__________，__________；
(2)求这10名学生的平均成绩．
10.为了倡导“节约用水，从我做起”，市政府决定对某小区户家庭的用水情况进行调查，调查小组随机抽查了其中户家庭一年的月平均用水量（单位：吨），并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．
(1)这次调查结果的中位数为______吨，众数为______吨；
(2)求这次调查结果的平均数；
(3)根据上述调查结果，估计该小区户家庭中月平均用水量超过12吨的约有多少户？
（四）小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
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20.2《数据的集中趋势与离散程度-中位数与众数》导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.理解中位数与众数的概念，并会求出一组数据的中位数和众数；
2.理解平均数、中位数和众数从不同角度反映数据的集中趋势，对它们加以比较，并掌握它们之间的区别；
3.会用样本平均数来估计总体状况.
学习重难点
重点：选择何种统计量来反映一组数据的集中趋势，怎样用样本平均数来估计总体状况；
难点：区别平均数、中位数与众数，理解它们是怎样从不同角度来反映数据的集中趋势.
学法指导
通过实例来理解平均数、中位数和众数，感悟三种反映数据集中趋势的统计量的意义.
学习过程
一、导学探究
知识点一：中位数
定义：将一组数据按________________________________________________________
__________________________________________叫做这组数据的中位数.
【答案】大小顺序排列后，位于正中间的一个数据（当数据的个数是奇数时）或正中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）
知识二：众数
定义：一组数据中，______________________________________叫做这组数据的众数；
【答案】出现次数最多的数据
二、问题情境
问题1：某公司对外宣称员工的平均年薪为3万元，经过调查，发现该公司全体员工年薪的具体情况如下表：
年薪/万元 12 9 6 4 3 2.5 2 1.5 1
员工人数 1 1 1 1 2 2 5 6 2
看了这张调查表，你认为该公司的宣传是否失实？3万元能代表该公司员工年薪的一般水平吗？
在公司的21名员工中,年薪不低于3万元的只有6人，而低于3万元的却有15人,并且其中有13人不超过2万元,8人不超过1.5万元,年薪1.5万元的人数最多,为6人如果我们将上面的21个数据按大小顺序排列,不难发现数据2万元处于中间位置，也就是说:
(1)年薪不低于2万元的人数不少于一半(13人);
(2)年薪不高于2万元的人数也不少于一半(13人).
三、课内探究，交流学习
同伴交流
问题：1.什么叫做中位数？
【答案】一般地，当将一组数据按大小顺序排列后，位于正中间的一个数据(当数据的个数是奇数时)或正中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数
2.什么叫做众数？
【答案】一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
小组交流，合作探究：
在问题1中是用平均数、中位数，还是用众数来代表公司员工的一般水平更为合适？说说你的理由.
【答案】平均数容易受极端值(较大或较小的数 )的影响,所以不能代表员工的工资水平;中中位数和众数都可以代表员工的工资水平,但众数更能代表一般工资水平,因为众数是指一组数据中出现次数最多的数,具有一般性。
自主学习，合作交流
例3：8位评委对选手甲的评分情况如下：
9.0，9.0，9.2，9.8，8.8，9.2，9.5，9.2
求这组数据的中位数和众数.
解：将这8个数据按从小到大顺序排列，得：
8.8，9.0，9.0，9.2，9.2，9.2，9.5，9.8
其中正中间的两个数据是9.2，9.2，它们的平均数也是9.2，即这组数据的中位数是9.2分.数据9.2出现的次数最多，所以这组数据的众数也是9.2分.
小组交流，合作探究：
问题2：巨星公司是以生产各种模具为主的大型企业，公司销售部有营销员15人，销售部为了制定下一年度每位营销员的销售额，统计了这15人本年度的销售情况：
销售额/万元 330 280 150 40 30 20
营销员人数 1 1 2 6 4 1
（1）如果公司销售部把每位营销员的下一年度销售额定为平均数86万元，你认为是否合理？为什么？
（2）你认为销售额定为多少元比较合理？试说出你的理由.
我们看到，在上面的问题中,虽然86万元是这15个人销售额的平均值，但是销售额超过86万元的只有4人,还不到总人数的一,绝大多数人的销售额不到其一半(不超过40万元).可见,如果以平均值86万元作为下一年度每位营销员的销售定额,将会大大超过绝大多数人的承受能力,不利于调动多数营销员的积极性。
但是如果我们注意到40万元这个数据，就会发现:
(1)它是众数;
(2)它是中位数，销售额不小于它的人数为10人,小于它的仅有5人。
因此,若将40万元定为下年度的销售额，则更加符合大多数人的承受能力,有利于调动营销员的积极性。
思考：平均数、中位数、众数分别从哪些方面反映了一组数据的特点？
【答案】平均数.中位数和众数都是反映数据集中趋势的统计量，能从不同的角度提供信息.
平均数能充分利用数据提供的信息,它的使用最为广泛，能刻画一组数据整体的平均状态,但不能反映个体性质,易受极端值(即一组数据中与其余数据差异很大的数据)的影响中位数代表了这组数据数值大小的“中点”,不易受极端值影响,但不能充分利用所有数据的信息。
众数反映--组数据中出现次数最多的数据.--组数据中,众数可能不止--个,也可能没有.
我们已经看到,有时是平均数更能反映问题,有时则是中位数或众数更能反映问题.总之，要根据具体问题来选择刻画一组数据的集中趋势的统计量,选择的统计量要能够更客观地反映实际背景.
交流：
问题3：10位学生的鞋号由小到大是20，20，21，21，22，22，22，23，23，23.这组数据的3个集中趋势的统计量中最令鞋厂关注的是哪一个？最不感兴趣的又是哪一个？
【答案】最关注的是众数，最不感兴趣的是平均数
自主学习
问题4：某园艺场摘苹果，边采摘，边装箱，共装了2000箱.苹果的市场收购价为4元/kg，现在要估计出这2000箱苹果的销售收入，我们可以怎样去做？
方法一：全面调查，就是一箱箱地称，再根据苹果的总质量估计这2000箱苹果的销售收入.
方法二：采用抽样的方法，该园艺场从中任意抽出了10箱苹果，称出它们的质量，得到如下数据:(单位：kg)
16， 15， 16.5， 16.5， 15.5，
14.5， 14， 14， 14.5， 15.
算出它们的平均数：
把作为每箱的平均质量，由此估计这2000箱苹果的销售收入约为：
4×15.15×2000＝121200(元)
交流：
用这两种方法估计销售收入各有什么优、缺点？
【答案】全面调查的优点是：所得资料较为全面可靠； 缺点是：调查花费的人力、物力、财力较多,
且调查时间较长,全面调查只在样本很少的情况下适合采用。
抽样调查:
抽样调查可以把调查对象集中在少数样本上,并获得与全面调查相近的结果。这是一种较经济的
调查方法,因而被广泛采用。抽样调查是从研究对象的总体中抽取一部分个体作为样本进行调查,
据此推断有关总体的数字特征。
抽样调查的好处与特点:
好处:耗费的人力,物力,财力少,大量节约调查时间。
缺点是：资料没有全面调查全面可靠
例4：某单位共有280位员工参加了社会公益捐款活动，从中任意抽取了12位员工的捐款数额，记录如下：
捐款数额/元 30 50 80 100
员工人数 12 5 3 2
估计该单位的捐款总额.
解：这12位员工的捐款数额的平均数为：
62.5×280＝17500(元)
答：估计该单位的捐款总额约为17500元.
合作交流
问题5. 某班45名学生的体重（单位：kg）数据如下：
47，48，42，61，50，45，44，46，51，
46，45，51，48，53，55，42，47，51，
49，49，52，46，52，57，49，48，57，
49，51，41，52，58，50，54，55，48，
56，54，60，44，53，61，54，50，62.
选第9列的数据作为样本，计算它的平均数；再选取3，6，9列共三列的数据作为样本，计算它的平均数，与总体的平均数相比较，你有什么发现？
【答案】用样本的平均数估计总体的平均数，如果样本容量太小，往往差异较大。
练一练：
1.数据、0、1、2、2的众数是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数，根据众数的定义求解即可．
【详解】解：∵2出现的次数最多，
∴众数是2．
故选D．
2.．年体育中考在即，小杭同学将自己近7次体育模拟测试成绩（单位：分）统计如表，第次测试的成绩为分，若这8次成绩的众数不止一个，则的值可能为（　　）
次数 第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次
成绩
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了众数的定义．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．一组数据的众数可以不止一个．根据众数的定义作答即可．
【详解】解：将这组数据重新排列为、、、、、、，
数据出现次，、各次，
由于这次成绩的众数不止一个，
∴第次测试的成绩或，
故选：D．
3．一组数据1、2、4、4、3的众数为4，则这组数据的中位数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查中位数，将所给数据按大小顺序排列，最中间的数即为中位数．
【详解】解：把这组数据从小到大排列为：1、2、3、4、4，最中间的数是3，
故中位数是3，
故选C．
4．某学习小组7位同学，为玉树地震灾区捐款，捐款金额分别为5元、6元、6元、6元、7元、8元、9元，则这组数据的中位数与众数分别为（ ）
A．6，6 B．7，6 C．7，8 D．6，8
【答案】A
【分析】本题考查了求一组数据的中位数与众数,首先把所给数据按从小到大的顺序重新排序，然后利用中位数和众数的定义就可以求出结果．
【详解】解：把已知数据按从小到大的顺序排序后为5元，6元，6元，6元，7元，8元，9元，
∴中位数为6
∵6这个数据出现次数最多，
∴众数为6．
故选A．
5.若一组数据4，6，6，5，6，8，x的众数与平均数相等，则x的值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数．
根据众数的概念得到这组数据的众数只可能为6，然后根据众数与平均数相等列方程，即可得到的值．
【详解】解：这组数据的众数只可能为6，
∴平均数，
故答案为：7．
6．学校组织科技知识大赛，8名参赛同学的得分（单位：分）如下：91，89，92，94，92，96，95，92，这组数据的众数是 分．
【答案】92
【分析】本题主要考查众数的定义，熟练掌握众数的定义是解题的关键．根据众数的定义即可得到答案．
【详解】解：众数是出现次数最多的一个数据，
故答案为：．
7．已知一组数据8，，5，5，7，1的众数是5和7，则这组数据的中位数是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了众数和中位数，根据众数为5和7求得的值，再由求中位数的方法即可求出这组数据的中位数，解题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义．
【详解】解：∵一组数据：8，，5，5，7，1的众数为5和7，
∴，
∴这组数据从小到大排列顺序为：1，5，5，7，7，8，
∴这组数据的中位数是．
故答案为：6．
8.深圳市某中学对八年级学生进行了体育综合测试（满分50分），下表是某小组10名学生的测试成绩，则这组学生体育成绩的中位数是 ．
得分 45 48 50
人数 2 5 3
【答案】48
【分析】本题主要考查了中位数的知识，理解中位数的定义是解题关键．将该小组10名学生的测试成绩从小到大排列，然后结合中位数的定义，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，该小组10名学生的测试成绩从小到大排列为：
45、45、48、48、48、48、48、50、50、50，
其中第5、6位成绩分别为48、48，
所以，这组学生体育成绩的中位数是．
9.某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，请回答问题：
环数 6 7 8 9
人数 1 5 3
(1)填空：10名学生的射击成绩的众数是__________，中位数是__________，__________；
(2)求这10名学生的平均成绩．
【答案】(1)7，7，1
(2)
【分析】本题考查求平均数，众数和中位数．
（1）根据众数：“一组数据中出现次数最多的数据”，中位数：“将数据进行排序后，位于中间的一个数据或者两个数据的平均数”，进行求解即可；
（2）利用加权平均数的计算公式，进行求解即可．
掌握相关计算公式和方法，是解题的关键．
【详解】（1）解：，
击中环的人数最多，故众数为7，位于第5和第6个数据均为7，故中位数为7．
故答案为：7，7，1．
（2）．
10.为了倡导“节约用水，从我做起”，市政府决定对某小区户家庭的用水情况进行调查，调查小组随机抽查了其中户家庭一年的月平均用水量（单位：吨），并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．
(1)这次调查结果的中位数为______吨，众数为______吨；
(2)求这次调查结果的平均数；
(3)根据上述调查结果，估计该小区户家庭中月平均用水量超过12吨的约有多少户？
【答案】(1)；
(2)
(3)户
【分析】（1）根据中位数和众数定义即可求解；
（2）根据平均数的定义求解即可；
（3）根据条形统计图可知样本中超过吨的有户，样本总量为户， 由此即可求解．
【详解】（1）解∶个数据的最中间为第和第个数据，按大小排列后第，个数据是，故中位数为．
因为吨出现次数最多，故众数为；
（2）平均数为(吨)．
（3）样本中超过吨的有（户），
该户家庭中月平均用水量超过过的约有（户）．
答∶户家庭中月平均用水量超过吨的约有户．
【点睛】本题考查了条形统计图，用样本估计总体，加权平均数，中位数，众数．解题关键是通过条形统计图获取已知信息，难度不大，为中考常考题型．
（四）小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
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