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章末复习课
1.多边形的内角和与外角和
【例1】　已知一个多边形的内角和与外角和之比为11∶2.
(1)求这个多边形的内角和；
(2)求这个多边形的边数．
【变式1】一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是__________．
【变式2】　过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
2.平行四边形的性质及其判定
【例2】　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的有(　　)
①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC；
②图乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC；
③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点；
④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB.
A．3个 B．4个 C．1个 D．2个
【变式1】　如图所示， ABCD的面积是12，点E，F在AC上，且AE＝EF＝FC，则△BEF的面积为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式2】　如图所示， ABCD的周长是26 cm，对角线AC与BD交于点O，
AC⊥AB，点E是BC的中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，则AE的
长度为 _．
【变式3】　如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF.
(1)求证：四边形BEFD是平行四边形；
(2)若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．
3.中心对此与中心对称图形
【例3】　如图所示是4×4正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂上阴影，使图中阴影部分成中心对称图形．
【变式1】　2020·绍兴将如图的七巧板的其中几块拼成一个多边形，下面为中心对称图形的是(　　)
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【变式2】　在平面直角坐标系中，以O，A，B，C为顶点的平行四边形的顶点为O(0，0)，A(6，0)，B(2，2)，C(－4，2)，直线y＝kx＋2平分平行四边形的周长，则k的值为 ．
4.三角形的中位线
【例4】　如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，若AB＝10，求EF的长．
【变式】　如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝84°，则∠FEG等于(　　)
A．32°　　 B．38° C．64°　　 D．30°
5.反证法
【例5】　用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角．
【变式】　选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设(　　)
∠A＞45°，∠B＞45° B．∠A≥45°，∠B≥45°
C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A≤45°，∠B≤45°
跟踪训练
1．若一个多边形的内角和为1 440°，则这个多边形的边数是(　 　)
A．8　　　B．9　　　C．10　　　D．12
2．若多边形的每一个外角的度数都为72°，则这个多边形的边数为(　 　)
A．4 B．5 C．6 D．7
3．2020·浙江丽水如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 °.
INCLUDEPICTURE "D:\\Q61.EPS" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\Q61.EPS" \* MERGEFORMATINET
4．在 ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝28°，则∠A的度数为__ __．
5．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF．
求证：（1）△ADE≌△CBF；
（2）ED∥BF．
6．点P(1，2)关于点Q(－1，1)对称的点的坐标为 ．
7．如图所示，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6.
(1)画出△BCD关于点D的中心对称图形；
(2)根据图形说明线段CD的取值范围．
8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝3，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连结DF，EF，则EF的长为 ．
9．如图所示，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是高．
求证：∠DHF＝∠DEF.
10．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不大于60°”时，首先应假设这个三角形中(　 　)
A．有一个内角大于60°
B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60°
D．每一个内角都小于60°
11．定义新运算：a★b＝a(1－b)，a，b是实数，如－2★3＝－2×(1－3)＝4.
已知a≠b，试用反证法证明：a★b≠b★a.
章末复习课答案
【例1】解：(1)这个多边形的内角和为1 980°.
(2)这个多边形的边数为13.
【变式1】6或7 【变式2】C
【例2】A 【变式1】A 【变式2】_4__cm__
【变式3】
解：(1)证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DF∥BC，EF∥AB，∴DF∥BE，EF∥BD，
∴四边形BEFD是平行四边形．
(2)∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6，
∴DF＝DB＝DA＝AB＝3.
∴DB＝DF＝BE＝EF＝3，
∴四边形BEFD的周长为12.
【例3】解：如图所示．
INCLUDEPICTURE "D:\\8-8.EPS" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\8-8.EPS" \* MERGEFORMATINET
【变式1】D 【变式2】－1_
【例4】解：如图，连结CD，
∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝10，
∴CD＝AB＝5.
又∵E是AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC.
∵CF＝BC，∴DE∥CF，DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF＝CD＝5.
【变式】A
【例5】证明：假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，
则∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，
∴∠A＝∠B＝90°不成立，
∴一个三角形中不能有两个直角．
【变式】A
跟踪训练答案
1.C 2.B 3.30°_4.59°或31°_
5.【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DA＝BC，DA∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠DAC+∠EAD＝180°，∠BCA+∠FCB＝180°，
∴∠EAD＝∠FCB，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）由（1）知，△ADE≌△CBF，
∴∠E＝∠F，
∴ED∥BF．
6._(－3，0)_
7.解：(1)所画图形如图所示，
△AED就是所作的图形．
(2)由(1)知，△ADE≌△BDC，
则CD＝DE，AE＝BC，
∴AE－AC＜2CD＜AE＋AC，
即BC－AC＜2CD＜BC＋AC，
∴2＜2CD＜10，
解得1＜CD＜5.
8..
9.证明：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE，EF都是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，DE∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF＝∠BAC.
∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，
∴DH＝AD，FH＝AF，
∴∠DAH＝∠DHA，∠FAH＝∠FHA.
∵∠DAH＋∠FAH＝∠BAC，∠DHA＋∠FHA＝∠DHF，
∴∠DHF＝∠BAC，
∴∠DHF＝∠DEF.
10.C
11.证明：假设a★b＝b★a.
∵a★b＝a(1－b)＝a－ab，
b★a＝b(1－a)＝b－ab，
∴a－ab＝b－ab，∴a＝b，
这与条件a≠b矛盾，∴a★b≠b★a.
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