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3.1 回转壳体的应力分析 ——— 薄膜理论
3.2 薄膜理论的应用
3.3 内压圆筒的边缘应力
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回转壳体的应力分析 —— 薄膜理论
回转壳体的应力分析———薄膜理论
　　压力容器按厚度可以分为薄壁容器和厚壁容器 。 通常是将容器的厚度与其最大截面圆的内径之比小于等于 0 . 1, 即δ/D I ≤0 . 1, 亦即K=D o /D I ≤1 . 2(D o 为容器的外径 , D I 为容器的内径 ,δ为容器的厚度 ) 的容器称为薄壁容器 , 否则称为厚壁容器 。 化学工业中应用最多的是薄壁容器 。
3.1.1 薄壁容器及其应力特点
　　对压力容器各部分进行应力分析 , 是强度设计中首先需要解决的问题 。 如图 3 - 1 所示为一钢制压力容器 , 由圆筒形壳体及凸形封头和平底盖组成 。 这个容器上的各部分应力分布是不同的 ,对于离凸形封头和平底盖稍远的圆筒中段 ① 处 ,受压前后经线仍近似保持直线 ( 图中虚线 ), 故这部分只承受拉应力 , 没有显著的弯曲应力 。 这里可以忽略薄壁圆筒变形前后圆周方向曲率半径变大所引起的弯曲应力 。
3.1.1 薄壁容器及其应力特点
　　前后圆周方向曲率半径变大所引起的弯曲应力 。 但在凸形封头 、 平底盖与筒体连接处 ② 和 ③, 则因封头与平底盖的变形小于筒体部分的变形 , 边缘连接处由于变形协调形成一种机械约束 , 从而在边缘附近产生附加的弯曲应力 。 在任何一个压力容器中 , 总是存在这样两类不同性质的应力 。 前者称为薄膜应力 , 可用简单的无力矩理论来计算 ; 后者称为边缘应力 , 要用比较复杂的有力矩理论及变形协调条件才能计算 。 本章对薄膜应力作较详细的讨论 , 对边缘应力只作简要介绍 。
3.1.1 薄壁容器及其应力特点
　　如图 3 - 2 所示的圆筒形容器 , 当其受到内压力p作用以后 , 其直径要略微增大 , 故筒壁内的 “ 环向纤维 ” 要伸长 , 因此在筒体的纵向截面上必定有应力产生 , 此应力称为环向应力 , 以σ θ 表示 。 由于筒壁很薄 , 可以认为环向应力沿厚度均匀分布 。 鉴于容器两端是封闭的 , 在受到内压力p作用后 , 筒体的 “ 纵向纤维 ” 也要伸长 , 则在筒体的横向截面上也必定应力产生 , 此应力称为经向 ( 轴向 ) 应力 , 以σ m 表示 。 本节将通过对回转壳体的应力分析推导出任意轴对称回转壳体的应力计算公式 。
3.1.1 薄壁容器及其应力特点
3.1.2 基本概念与基本假设
1 . 基本概念
　　 (1) 回转壳体
　　回转壳体指壳体的中间面是直线或平面曲线绕其同平面内的回转轴旋转 360° 而成的壳体 。 平面曲线形状不同 , 所得到的回转壳体形状便不同 。 例如 , 与回转轴平行的直线绕该轴旋转一周形成圆柱壳 ; 半圆形曲线绕该轴旋转一周形成球壳 ; 与回转轴相交的直线绕该轴旋转一周形成圆锥壳等 , 如图 3 - 3 所示 。
3.1.2 基本概念与基本假设
3.1.2 基本概念与基本假设
　　(2) 轴对称
　　所谓轴对称问题 , 是指壳体的几何形状 、 约束条件和所受外力均对称于回转轴 。 化工用的压力容器通常均是轴对称结构 。 本章讨论的是满足轴对称条件的薄壁壳体 。
　　(3) 中间面
　　如图 3 - 4 所示为一般回转壳体的中间面 。 所谓中间面 , 是与壳体内外表面等距离的中曲面 , 内外表面间的法向距离即为壳体厚度 。 对于薄壁壳体 , 可以用中间面来表示它的几何特性 。
3.1.2 基本概念与基本假设
　　(4) 母线
　　如图 3 - 4 所示回转壳体的中间面 , 是由平面曲线AB绕回转轴OA旋转一周而成的 , 形成中间面的平面曲线AB称为母线 。
3.1.2 基本概念与基本假设
　　(5) 经线
　　通过回转轴作一纵截面与壳体曲面相交所得的交线 ( 如图 3 - 4 中AB'和AB″) 称为经线 。显然 , 经线与母线的形状是完全相同的 。
　　(6) 法线
　　通过经线上任意一点M且垂直于中间面的直线 , 称为中间面在该点的法线 (n), 法线的延长线必与回转轴相交 。
3.1.2 基本概念与基本假设
　　(7) 纬线
　　作圆锥面与壳体中间面正交 , 得到的交线叫作纬线 。 过N点作垂直于回转轴的平面与中间面相割形成的圆称为平行圆 , 即是纬线 , 显然平行圆即是纬线 , 如图 3 - 4 中CND的圆 。
3.1.2 基本概念与基本假设
　　(8) 第一曲率半径
　　中间面上任一点M处经线的曲率半径为该点的第一曲率半径R1 ,R1 =MK1 。
　　(9) 第二曲率半径
　　通过经线上任一点M的法线作垂直于经线的平面与中间面相割形成的曲线 EMF , 此曲线在 M 点处的曲率半径称为该点的第二曲率半径 R2 。 第二曲率半径的中心 K2 落在回转轴上 , 其长度等于法线段 MK2 的长度 , 即 R2 =MK2 。
3.1.2 基本概念与基本假设
2 . 基本假设
　　在这里讨论的内容均假定壳体完全弹性 , 同时 , 材料具有连续性 、 均匀性和各向同性 。 此外 , 对于薄壁壳体 , 通常采用以下几点假设使问题简化 。
3.1.3 经向应力计算公式——区域平衡方程式
　　求经向应力时 , 所采用的假想截面不是垂直于轴线的横截面 ( 因为横截面截得壳体的厚度不是其真正的厚度 , 而且各处厚度也不同 。 此外 , 这样的截面上不仅有正应力 , 还有剪应力 ), 而是与壳体正交的圆锥面 。 为了求得任一纬线上的经向应力 , 必须以该纬线为锥底作一圆锥面 ( 纬线截面 ), 其顶点在壳体轴线上 , 圆锥面的母线长度即回转壳体曲面在该纬线上的第二曲率半径R2 , 如图 3 - 5 所示 。
3.1.3 经向应力计算公式——区域平衡方程式
3.1.3 经向应力计算公式——区域平衡方程式
　　圆锥面将壳体分成两部分 , 现取其下部分 ( 图 3 - 6) 作脱离体 , 建立静力平衡方程式 。
3.1.3 经向应力计算公式——区域平衡方程式
3.1.3 经向应力计算公式——区域平衡方程式
3.1.4 环向应力计算公式——微体平衡方程式
　　从壳体中截取一个微小单元体 , 考察其平衡 , 即可求得环向应力的计算表达式 。 由于单元体足够小 , 可以近似地认为其上的应力是均匀的 。 微小单元体的取法如图 3 - 7 及图 3 - 8 所示 ,它由三对曲面截得 : 一是壳体的内外表面 ; 二是两个相邻的 、 通过壳体轴线的经线平面 ; 三是两个相邻的 、 与壳体正交的纬线截面 。
3.1.4 环向应力计算公式——微体平衡方程式
3.1.4 环向应力计算公式——微体平衡方程式
3.1.4 环向应力计算公式——微体平衡方程式
3.1.4 环向应力计算公式——微体平衡方程式
3.1.4 环向应力计算公式——微体平衡方程式
3.1.4 环向应力计算公式——微体平衡方程式
　　以上我们对承受气体内压的回转壳体进行了应力分析 , 导出了计算回转壳体经向应力和环向应力的一般公式 。 这些分析和计算都以应力沿厚度方向均匀分布为前提 , 这种情况只有当器壁较薄以及离两部分连接区域稍远时才是正确的 。 这种应力与承受内压的薄膜非常相似 , 因此称为薄膜理论 。
3.1.5 轴对称回转壳体薄膜理论的适用范围
　　薄膜应力是只有拉压正应力 , 没有弯曲正应力的一种两向应力状态 , 因而薄膜理论又称为无力矩理论 。 只有在没有 ( 或不大的 ) 弯曲变形情况下的轴对称回转壳体 , 薄膜理论的结果才是正确的 。
3.1.5 轴对称回转壳体薄膜理论的适用范围
　　在工程上 , 薄膜理论的适用范围除壳体较薄这一条件外 , 还应满足下列条件 :
　　(1) 回转壳体曲面在几何上轴对称 , 壳壁厚度无突变 , 曲率半径连续变化 , 材料为各向同性的 , 且物理性能 ( 主要是 E 和 μ ) 相同 。
　　(2) 载荷在壳体曲面上的分布轴对称且连续 , 没有突变情况 。 因为 , 壳体上任何有集中力作用处或壳体边缘处存在边缘力和边缘力矩时 , 都将不可避免地有弯曲变形发生 , 薄膜理论在这些情况下就不能应用 。
　　(3) 壳体边界的固定形式应该是自由支承 , 否则壳体边界上的变形将受到约束 , 在载荷作用下势必引起弯曲变形和弯曲应力 , 不再保持无力矩状态 。
　　(4) 壳体的边界力应当在壳体曲面的切平面内 , 要求在边界上无横剪力和弯矩 。

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