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1.1 课时1 函数的平均变化率
【学习目标】
1.理解函数平均变化率的概念.(数学抽象、逻辑推理)
2.会求函数的平均变化率.(数学运算)
3.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题.(数学建模、数学运算)
【自主预习】
1.设数轴上的动点P在任意时刻t的位置均可用函数f(t)=0.5t+1表示,如何求点P在时间段[a,b]内的平均速度v[a,b] 若y=f(t)是曲线,如何求点P在时间段[a,b]内的平均速度v[a,b]
2.在正弦曲线f(x)=sin x上取两点A,f,B(π,f(π)),如何求直线AB的斜率
3.如何用语言叙述函数f(x)的平均变化率
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)b-a是相对于a的一个增量,它可正可负,但不可为零. (　　)
(2)f(b)-f(a)的值可正可负,也可以为零. (　　)
(3)表示曲线y=f(x)上两点(a,f(a)),(b,f(b))连线的斜率. (　　)
(4)物体在某段时间内的平均速度为0,则物体始终处于静止状态. (　　)
2.若一质点按规律s=8+t2运动,则它在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是(　　).
A.4 B.4.1 C.0.41 D.-1.1
3.如图,函数y=f(x)在[1,3]上的平均变化率为　　　　.
4.某质点沿直线运动,位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为y=5t2+6,则质点在2≤t≤3这段时间内的平均速度为　　　m/s.
【合作探究】
探究1 平均速度
小蒙骑自行车从静止状态沿直线运动,他在第1 s内、第2 s内、第3 s内、第4 s内的位移分别为1 m、2 m、3 m、4 m.
问题:你能求出小蒙骑自行车在这4 s内的平均速度吗
新知生成
若在一条直线上运动的动点P在任何时刻 t 的位置均可用f(t)表示,则从时刻a到时刻b的位移为f(b)-f(a).因为所花时间为b-a,所以在时间段[a,b]内动点P的平均速度为v[a,b]=.
新知运用
例1　小球在光滑斜面上向下滚动,从开始滚动算起,在时间t内所经过的距离s(t)=at2+2t+1,求小球在时间段[3,3+h]内的平均速度.
【方法总结】　　若非匀速直线运动物体的位移随时间变化的函数为f(t),则求物体在[a,b]内的平均速度的步骤如下:
(1)写出时间改变量b-a,位移改变量f(b)-f(a);
(2)求平均速度v[a,b]=.
若一物体的运动方程为s=f(t)=(位移s的单位:m,时间t的单位:s),求物体在时间段[3,5]内的平均速度.
探究2 函数的平均变化率
问题:函数y=f(x)的自变量有可能不是时刻,此时因变量是否表示位置 是否表示平均速度
新知生成
我们把称为函数f(x)在区间[a,b]内的平均变化率.
注意:
(1)函数f(x)在区间[a,b]上有意义.
(2)在式子中,b-a>0,而f(b)-f(a)的值可正、可负、可为0.
(3)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比.
(4)作用:刻画函数值在区间[a,b]上变化的快慢.
新知运用
例2　已知函数f(x)=-x2+1,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率.
(1)[1,1.01];(2)[0.9,1];(3)[0.99,1];(4)[1,1.001].
【方法总结】　　求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数值的增量f(b)-f(a);
(2)求自变量的增量b-a;
(3)求出函数的平均变化率.
(1)求函数f(x)=3x2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率;
(2)求函数g(x)=3x-2在区间[-2,-1]上的平均变化率.
【随堂检测】
1.若一物体的运动方程是s=3+2t,则该物体在[2,2.1]这段时间内的平均速度是(　　).
A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2
2.某质点沿曲线运动的方程为f(x)=-x2+3(x表示时间,f(x)表示位移),则该质点从x=2到x=3的平均速度为(　　).
3.函数f(x)=x2-7x在区间[1,2]上的平均变化率为(　　).
A.-4 B.4 C.-6 D.6
4.已知某变量变化的折线图如图所示,则该变量在区间[0,2]上的平均变化率为　　　　.
21.1 课时1 函数的平均变化率
【学习目标】
1.理解函数平均变化率的概念.(数学抽象、逻辑推理)
2.会求函数的平均变化率.(数学运算)
3.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题.(数学建模、数学运算)
【自主预习】
1.设数轴上的动点P在任意时刻t的位置均可用函数f(t)=0.5t+1表示,如何求点P在时间段[a,b]内的平均速度v[a,b] 若y=f(t)是曲线,如何求点P在时间段[a,b]内的平均速度v[a,b]
【答案】　v[a,b]===0.5.如图,曲线上区间端点A(a,f(a)),B(b,f(b))之间的线段AB的斜率仍然等于动点P在[a,b]内的平均速度v[a,b].
2.在正弦曲线f(x)=sin x上取两点A,f,B(π,f(π)),如何求直线AB的斜率
【答案】　根据斜率公式kAB==-.
3.如何用语言叙述函数f(x)的平均变化率
【答案】　函数f(x)的平均变化率即函数值之差与对应的自变量之差的比.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)b-a是相对于a的一个增量,它可正可负,但不可为零. (　　)
(2)f(b)-f(a)的值可正可负,也可以为零. (　　)
(3)表示曲线y=f(x)上两点(a,f(a)),(b,f(b))连线的斜率. (　　)
(4)物体在某段时间内的平均速度为0,则物体始终处于静止状态. (　　)
【答案】　(1)√　(2)√ 　(3)√　(4)×
2.若一质点按规律s=8+t2运动,则它在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是(　　).
A.4 B.4.1 C.0.41 D.-1.1
【答案】　B
【解析】　===4.1.故选B.
3.如图,函数y=f(x)在[1,3]上的平均变化率为　　　　.
【答案】　-1
【解析】　依题意可得f(1)=3,f(3)=1,
所以f(x)在[1,3]上的平均变化率===-1.
4.某质点沿直线运动,位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为y=5t2+6,则质点在2≤t≤3这段时间内的平均速度为　　　m/s.
【答案】　25
【解析】　当t=2时,y=5×22+6=26;当t=3时,y=5×32+6=51.
故质点在2≤t≤3这段时间内的平均速度==25(m/s).
【合作探究】
探究1 平均速度
小蒙骑自行车从静止状态沿直线运动,他在第1 s内、第2 s内、第3 s内、第4 s内的位移分别为1 m、2 m、3 m、4 m.
问题:你能求出小蒙骑自行车在这4 s内的平均速度吗
【答案】　小蒙骑自行车在这4 s内的平均速度==2.5(m/s).
新知生成
若在一条直线上运动的动点P在任何时刻 t 的位置均可用f(t)表示,则从时刻a到时刻b的位移为f(b)-f(a).因为所花时间为b-a,所以在时间段[a,b]内动点P的平均速度为v[a,b]=.
新知运用
例1　小球在光滑斜面上向下滚动,从开始滚动算起,在时间t内所经过的距离s(t)=at2+2t+1,求小球在时间段[3,3+h]内的平均速度.
【解析】　因为小球在t内所经过的距离s(t)=at2+2t+1,
所以在时间段[3,3+h]内的平均速度为==6a+ah+2.
【方法总结】　　若非匀速直线运动物体的位移随时间变化的函数为f(t),则求物体在[a,b]内的平均速度的步骤如下:
(1)写出时间改变量b-a,位移改变量f(b)-f(a);
(2)求平均速度v[a,b]=.
若一物体的运动方程为s=f(t)=(位移s的单位:m,时间t的单位:s),求物体在时间段[3,5]内的平均速度.
【解析】　由题意,函数s=f(t)=
则物体在t∈[3,5]内的位移变化量为f(5)-f(3)=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,
所以物体在t∈[3,5]内的平均速度v[3,5]===24(m/s).
探究2 函数的平均变化率
问题:函数y=f(x)的自变量有可能不是时刻,此时因变量是否表示位置 是否表示平均速度
【答案】　不一定,也不一定是平均速度.
新知生成
我们把称为函数f(x)在区间[a,b]内的平均变化率.
注意:
(1)函数f(x)在区间[a,b]上有意义.
(2)在式子中,b-a>0,而f(b)-f(a)的值可正、可负、可为0.
(3)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比.
(4)作用:刻画函数值在区间[a,b]上变化的快慢.
新知运用
例2　已知函数f(x)=-x2+1,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率.
(1)[1,1.01];(2)[0.9,1];(3)[0.99,1];(4)[1,1.001].
【解析】　(1)f(x)在[1,1.01]上的平均变化率为==-2.01.
(2)f(x)在[0.9,1]上的平均变化率为==-1.9.
(3)f(x)在[0.99,1]上的平均变化率为==-1.99.
(4)f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为==-2.001.
【方法总结】　　求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数值的增量f(b)-f(a);
(2)求自变量的增量b-a;
(3)求出函数的平均变化率.
(1)求函数f(x)=3x2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率;
(2)求函数g(x)=3x-2在区间[-2,-1]上的平均变化率.
【解析】　(1)函数f(x)=3x2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率为==12.3.
(2)函数g(x)=3x-2在区间[-2,-1]上的平均变化率为===3.
【随堂检测】
1.若一物体的运动方程是s=3+2t,则该物体在[2,2.1]这段时间内的平均速度是(　　).
A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2
【答案】　B
【解析】　===2.
2.某质点沿曲线运动的方程为f(x)=-x2+3(x表示时间,f(x)表示位移),则该质点从x=2到x=3的平均速度为(　　).
A.-5 B.5 C.-6 D.6
【答案】　A
【解析】　由题意得,该质点从x=2到x=3的平均速度为=-5.
3.函数f(x)=x2-7x在区间[1,2]上的平均变化率为(　　).
A.-4 B.4 C.-6 D.6
【答案】　A
【解析】　===-4.
4.已知某变量变化的折线图如图所示,则该变量在区间[0,2]上的平均变化率为　　　　.
【答案】　
【解析】　由折线图知,f(x)=
所以该变量在区间[0,2]上的平均变化率为==.
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