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1.1 课时2 瞬时变化率与导数
【学习目标】
1.通过实例领悟瞬时速度、瞬时变化率(导数)的概念,会求简单函数的瞬时变化率.(数学抽象、数学运算)
2.了解导数的实际背景,体会导数的内涵与思想.(数学抽象)
【自主预习】
1.瞬时速度的概念和计算方法是哪位科学家给出的
2.瞬时速度与平均速度有什么关系
3.根据瞬时速度的定义,想一想瞬时变化率是如何定义的
4.函数的瞬时变化率与函数的导数有什么关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)瞬时变化率是刻画某函数在区间(v,d)上函数值的变化快慢的物理量. (　　)
(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与d的正、负无关. (　　)
(3)设x=x0+d,当d→0时,x→x0,因此,→f'(x0). (　　)
2.当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数(　　).
A.在区间[x0,x1]上的平均变化率
B.在x0处的变化率
C.在x1处的变化量
D.在区间[x0,x1]上的导数
3.已知f'(1)=1,则当d→0时,→　　　.
【合作探究】
探究1 瞬时速度
跳水运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
问题1:求运动员在0,这段时间内的平均速度.
问题2:运动员在0,这段时间内是静止的吗
问题3:你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题
问题4:在高台跳水运动中,平均速度不能反映运动员在这段时间内的运动状态,需要用瞬时速度描述运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.如何求瞬时速度呢
新知生成
若物体的运动方程为s=f(t),则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t),就是平均速度v(t,d)=在d趋近于0时的极限,这个极限记为.
应注意的是,这里用“趋近于0”来表述,是因为我们研究的是平均速度趋近于某一时刻的变化过程,在这个过程中,时间间隔d虽然越来越短,但始终不能为0.
新知运用
例1　若一物体的运动方程为s(t)=求此物体在t=1和t=3时的瞬时速度.
【方法总结】　　求瞬时速度的三个步骤:(1)求时间改变量d和位移改变量s(t+d)-s(t);(2)求平均速度v(t,d);(3)求瞬时速度,当d无限趋近于0时,v(t,d)无限趋近于常数v,即得瞬时速度.
某汽车启动阶段的位移函数为s(t)=2t3-5t2(s的单位:米,t的单位:秒),则当t=2秒时,汽车的瞬时速度是　　　　　　　　.
探究2 函数的瞬时变化率——导数
问题1:函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系
问题2:f'(x0)与f'(x)的区别是什么
新知生成
1.瞬时变化率
一般地,若函数y=f(x)的平均变化率在d趋近于0时,有确定的极限值,则称这个值为该函数在 x=u处的瞬时变化率.函数的瞬时变化率,数学上叫作函数的导数或微商.
2.在某点处的导数
定义:设函数y=f(x)在包含x0的某个区间上有定义,在d趋近于0时,如果比值 趋近于一个确定的极限值,那么称此极限值为函数y=f(x)在x=x0处的导数或微商,记作f'(x0).这时我们就说f(x)在点x0处的导数存在,或者说f(x)在点x0处可导或可微.
上述定义可以简单地描述为:→f'(x0)(d→0),读作“d趋近于0时,趋近于f'(x0)”.可以简记为f'(x0)=.
3.导函数
若y=f(x)在定义区间中任一点的导数都存在,则f'(x)(或y')也是x的函数,我们把f'(x)(或y')叫作y=f(x)的导函数或一阶导数.
既然导函数f'(x)也是函数,若f'(x)在定义区间中任一点处都可导,则它的导数叫作f(x)的二阶导数,记作f″(x).类似地,可以定义三阶导数f (x)等.
新知运用
例2　求函数f(x)=2x2+4x在x=3处的导数.
【方法总结】　　根据导数的定义,求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤
(1)求函数值的差f(x0+d)-f(x0);
(2)求差商;
(3)取极限,d→0得导数f'(x0).
求函数f(x)=x-在x=1处的导数.
探究3 导数的实际意义
例3　高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)之间的关系式为h(t)=-4.9t2+6.5t+10,求运动员在t0=时的瞬时速度,并解释此时运动员的状况.
一条水管中流过的水量y(单位:m3)是关于时间t(单位:s)的函数,且y=f(t)=3t,求函数y=f(t)在t=2处的导数f'(2),并解释它的实际意义.
【随堂检测】
1.已知一做直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s=s(t)=3t-t2,则此物体在t=2时的瞬时速度为(　　).
A.1 B.-1 C.2 D.-2
2.函数y=f(x)=x2在x=1处的导数为(　　).
A.2x B.2+d C.2 D.1
3.设f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a=　　　　.
4.一物体的运动方程为s=7t2-13t+8,且在t=t0时的瞬时速度为1,求t0的值.
21.1 课时2 瞬时变化率与导数
【学习目标】
1.通过实例领悟瞬时速度、瞬时变化率(导数)的概念,会求简单函数的瞬时变化率.(数学抽象、数学运算)
2.了解导数的实际背景,体会导数的内涵与思想.(数学抽象)
【自主预习】
1.瞬时速度的概念和计算方法是哪位科学家给出的
【答案】　牛顿.
2.瞬时速度与平均速度有什么关系
【答案】　平均速度只能粗略地描述物体的运动状态,并不能反映物体在某一时刻的瞬时速度.当时间间隔趋近于0时,平均速度就无限趋近于某一时刻的瞬时速度.
3.根据瞬时速度的定义,想一想瞬时变化率是如何定义的
【答案】　若函数y=f(x)的平均变化率在d趋近于0时有确定的极限值,则称这个值为该函数在x=u处的瞬时变化率.
4.函数的瞬时变化率与函数的导数有什么关系
【答案】　函数的瞬时变化率就是函数的导数.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)瞬时变化率是刻画某函数在区间(v,d)上函数值的变化快慢的物理量. (　　)
(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与d的正、负无关. (　　)
(3)设x=x0+d,当d→0时,x→x0,因此,→f'(x0). (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√
2.当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数(　　).
A.在区间[x0,x1]上的平均变化率
B.在x0处的变化率
C.在x1处的变化量
D.在区间[x0,x1]上的导数
【答案】　A
3.已知f'(1)=1,则当d→0时,→　　　.
【答案】　1
【解析】　当d→0时,→f'(1)=1.
【合作探究】
探究1 瞬时速度
跳水运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
问题1:求运动员在0,这段时间内的平均速度.
【答案】　==0(m/s),
即运动员在0,这段时间内的平均速度是0 m/s.
问题2:运动员在0,这段时间内是静止的吗
【答案】　运动员在这段时间里显然不是静止的.
问题3:你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题
【答案】　由上面的计算结果可以看出,平均速度并不能反映出运动员的运动状态,特别是当运动的方向改变时.
问题4:在高台跳水运动中,平均速度不能反映运动员在这段时间内的运动状态,需要用瞬时速度描述运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.如何求瞬时速度呢
【答案】　时间长度趋近于0时的平均速度即瞬时速度.
新知生成
若物体的运动方程为s=f(t),则物体在任意时刻t的瞬时速度v(t),就是平均速度v(t,d)=在d趋近于0时的极限,这个极限记为.
应注意的是,这里用“趋近于0”来表述,是因为我们研究的是平均速度趋近于某一时刻的变化过程,在这个过程中,时间间隔d虽然越来越短,但始终不能为0.
新知运用
例1　若一物体的运动方程为s(t)=求此物体在t=1和t=3时的瞬时速度.
【解析】　当t=1时,s(t)=3t2+2,
所以v(1,d)===6+3d,
当d趋近于0时,上式趋近于6;
当t=3时,s(t)=29+3(t-3)2,
所以v(3,d)===3d,
当d趋近于0时,上式趋近于0.
所以物体在t=1和t=3时的瞬时速度分别是6和0.
【方法总结】　　求瞬时速度的三个步骤:(1)求时间改变量d和位移改变量s(t+d)-s(t);(2)求平均速度v(t,d);(3)求瞬时速度,当d无限趋近于0时,v(t,d)无限趋近于常数v,即得瞬时速度.
某汽车启动阶段的位移函数为s(t)=2t3-5t2(s的单位:米,t的单位:秒),则当t=2秒时,汽车的瞬时速度是　　　　　　　　.
【答案】　4米/秒
【解析】　因为s(2+d)-s(2)=2d3+7d2+4d,所以v(2,d)=2d2+7d+4,
当d趋近于0时,上式趋近于4,所以汽车的瞬时速度是4米/秒.
探究2 函数的瞬时变化率——导数
问题1:函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系
【答案】　(1)平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在x=x0处变化的快慢.
(2)平均变化率与瞬时变化率的联系:当d趋近于0时,平均变化率趋近于一个常数,这个常数为函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率,它是一个固定值.
问题2:f'(x0)与f'(x)的区别是什么
【答案】　f'(x)是函数f(x)的导函数,简称导数,是对一个区间而言的,它是一个确定的函数,依赖于函数本身,而与x0,d无关;f'(x0)表示的是函数f(x)在x=x0处的导数,是对一个点而言的,它是一个确定的值,与给定的函数及x0的位置有关,而与d无关.
新知生成
1.瞬时变化率
一般地,若函数y=f(x)的平均变化率在d趋近于0时,有确定的极限值,则称这个值为该函数在 x=u处的瞬时变化率.函数的瞬时变化率,数学上叫作函数的导数或微商.
2.在某点处的导数
定义:设函数y=f(x)在包含x0的某个区间上有定义,在d趋近于0时,如果比值 趋近于一个确定的极限值,那么称此极限值为函数y=f(x)在x=x0处的导数或微商,记作f'(x0).这时我们就说f(x)在点x0处的导数存在,或者说f(x)在点x0处可导或可微.
上述定义可以简单地描述为:→f'(x0)(d→0),读作“d趋近于0时,趋近于f'(x0)”.可以简记为f'(x0)=.
3.导函数
若y=f(x)在定义区间中任一点的导数都存在,则f'(x)(或y')也是x的函数,我们把f'(x)(或y')叫作y=f(x)的导函数或一阶导数.
既然导函数f'(x)也是函数,若f'(x)在定义区间中任一点处都可导,则它的导数叫作f(x)的二阶导数,记作f″(x).类似地,可以定义三阶导数f (x)等.
新知运用
例2　求函数f(x)=2x2+4x在x=3处的导数.
【解析】　(法一)f(3+d)-f(3)=2(3+d)2+4(3+d)-(2×32+4×3)=12d+2d2+4d=2d2+16d,
∴==2d+16,
∴当d→0时,f'(3)=16.
(法二)
=
=4x+2d+4→4x+4(d→0),
即f'(x)=4x+4,
∴f'(3)=4×3+4=16.
【方法总结】　　根据导数的定义,求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤
(1)求函数值的差f(x0+d)-f(x0);
(2)求差商;
(3)取极限,d→0得导数f'(x0).
求函数f(x)=x-在x=1处的导数.
【解析】　f(1+d)-f(1)=(1+d)--1-=d+,　
==1+,
∴当d→0时,f'(1)=1+1=2.
探究3 导数的实际意义
例3　高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)之间的关系式为h(t)=-4.9t2+6.5t+10,求运动员在t0=时的瞬时速度,并解释此时运动员的状况.
【解析】　令t0=,d为增量,
则
=
=
=-4.9+d+6.5,
当d→0时,-4.9+d+6.5→0,
即运动员在t0=时的瞬时速度为0 m/s.
说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高点处.
一条水管中流过的水量y(单位:m3)是关于时间t(单位:s)的函数,且y=f(t)=3t,求函数y=f(t)在t=2处的导数f'(2),并解释它的实际意义.
【解析】　根据导数的定义,得==3,
∴f'(2)=3.
f'(2)的意义是水流在2 s时的瞬时流量为3 m3/s,即如果保持这一速度,每经过1 s,水管中的水流量为3 m3.
【随堂检测】
1.已知一做直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s=s(t)=3t-t2,则此物体在t=2时的瞬时速度为(　　).
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【答案】　B
【解析】　因为s(2+d)-s(2)
=3(2+d)-(2+d)2-3×2+22
=3d-4d-d2=-d-d2,
所以v(2,d)==-1-d,
所以当d趋近于0时,瞬时速度v=-1,所以物体在t=2时的瞬时速度为-1.
2.函数y=f(x)=x2在x=1处的导数为(　　).
A.2x B.2+d C.2 D.1
【答案】　C
【解析】　y=x2在x=1处的导数为f'(1),则=2+d→2(d→0),∴f'(1)=2.
3.设f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a=　　　　.
【答案】　2
【解析】　∵f(x)=ax+4,
∴→f'(1)=a(d→0).
又∵f'(1)=2,∴a=2.
4.一物体的运动方程为s=7t2-13t+8,且在t=t0时的瞬时速度为1,求t0的值.
【解析】　因为Δs=7(t0+d)2-13(t0+d)+8-7+13t0-8=14t0d-13d+7d2,
所以=14t0-13+7d.
当d→0时,14t0-13+7d→14t0-13,
又14t0-13=1,所以t0=1.
2

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