资源简介

1.1 课时3 导数的几何意义
【学习目标】
1.理解导数的几何意义并会求曲线在某点处的切线方程.(数学抽象、直观想象、数学运算)
2.通过导数的几何意义,了解微积分中以直代曲的数学思想.(数学抽象)
【自主预习】
1.当B点向A点无限逼近时,割线AB与曲线的位置关系是什么
【答案】　当B点无限逼近A点时,此时直线AT就是A点处的切线.
2.如果设曲线的方程为y=f(x),点A的坐标为(x0,f(x0)),那么曲线在点A处的切线的斜率是什么
【答案】　k=f'(x0).
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率. (　　)
(2)若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×
2.已知曲线y=f(x)=2x2上一点A(2,8),则点A处的切线斜率为(　　).
A.4 B.16 C.8 D.2
【答案】　C
【解析】　==8+2d,
当d→0时,8+2d→8,
即k=8.
3.函数y=f(x)的图象如图所示,下列描述错误的是(　　).
A.函数f(x)在x=-5处比x=-2处变化快
B.函数f(x)的图象在x=-4处呈上升趋势
C.函数f(x)在x=1和x=2处增减趋势相反
D.函数f(x)的图象在x=0处呈上升趋势
【答案】　D
【解析】　根据导数的几何意义知f'(-5)>0,f'(-4)>0,f'(-2)=0,f'(0)<0,f'(1)f'(2)<0,故A,B,C正确,D错误.故选D.
【合作探究】
探究1 导数的几何意义
设函数y=f(x),在y=f(x)上取两点P(x0,y0),Pn(xn,yn)(x0≠xn).
问题1:割线PPn的斜率kn是什么
【答案】　割线PPn的斜率kn=.
问题2:当Pn无限趋近于点P时,kn与切线PT的斜率k有什么关系
【答案】　kn趋近于切线PT的斜率k.
问题3:如何求得过点P的切线PT的斜率
【答案】　函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k=f'(x0).
问题4:曲线的切线是不是一定和曲线只有一个公共点
【答案】　不一定.曲线的切线和曲线不一定只有一个公共点,和曲线只有一个公共点的直线和曲线也不一定相切.如图,曲线的切线是通过逼近将割线趋近于确定位置的直线.
问题5:曲线f(x)在点(x0,y0)处的切线与曲线过某点(x0,y0)的切线有何不同
【答案】　曲线f(x)在点(x0,y0)处的切线,点(x0,y0)一定是切点,只要求出k=f'(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是切点.
新知生成
1.切线的概念:如图,对于割线PPn,当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.
2.导数的几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k=f'(x0).
新知运用
一、求曲线的切线
例1　已知曲线y=x3+.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
【解析】　(1)∵点P(2,4)在曲线y=x3+上,
=4+2d+d2.
当d→0时,4+2d+d2→4,
∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为4,
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
(2)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0,+,
当d→0时,→,则切线的斜率k=,
∴切线方程为y-+=(x-x0),
即y=·x-+.
∵点P(2,4)在切线上,
∴4=2-+,即-3+4=0.
∴+-4+4=0,
∴(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,
解得x0=-1或x0=2.
故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.
【方法总结】　　求曲线在点P(x0,y0)处的切线方程,即给出了切点P(x0,y0)的坐标,求切线方程的步骤
(1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0);
(2)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).
要注意“过点P的切线”与“曲线在点P处的切线”的区别,若题中所给点(x0,y0)不一定是切点,首先应设出切点坐标,然后根据导数的几何意义列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程.
二、求切点坐标或参数值
例2　(1)已知抛物线y=f(x)=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°,则该切点的坐标为　　　　.
(2)若直线y=3x+b与曲线y=x3相切,则b=　　　　.
【答案】　(1),　(2)2或-2
【解析】　(1)设切点的坐标为(x0,y0),
则===4x0+2d.
当d→0时,→4x0.
又∵切线的斜率为k=tan 45°=1,
∴4x0=1,得x0=,∴y0=2×2+1=,
∴切点的坐标为,.
(2)设直线y=3x+b与曲线y=x3相切的切点为P(x0,y0),设f(x)=x3,
则=3+3x0d+d2,
当d→0时,→3,
∴曲线y=x3在点P(x0,y0)处的切线斜率k=3,
又∵直线y=3x+b与曲线y=x3相切于点P,
∴3=3,解得x0=1或x0=-1,∴P(1,1)或P(-1,-1).
∵点P在直线y=3x+b上,∴b=2或b=-2.
【方法总结】　　解答此类题目时,所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键,由这些信息得知函数在某点处的导数,进而可求此点的横坐标.解题时要注意【解析】几何知识的应用,如直线的倾斜角与斜率的关系,平行、垂直直线斜率间的关系等.
1.求函数y=f(x)=3x2的图象在点(1,3)处的切线方程.
【解析】　因为 ==6+3d,当d→0时,6+3d→6,
所以所求切线的斜率为6,
因此,所求的切线方程为y-3=6(x-1),即6x-y-3=0.
2.已知曲线f(x)=x2-1在x=x0处的切线与曲线g(x)=1-x3在x=x0处的切线互相平行,求x0的值.
【解析】　对于曲线f(x)=x2-1,
有==2x0+d,
当d→0时,→2x0,
所以曲线f(x)在x=x0处的切线斜率k1=2x0.
对于曲线g(x)=1-x3,
有==-3-3x0d-d2,
当d→0时,→-3,
所以曲线g(x)在x=x0处的切线的斜率k2=-3.
由k1=k2,得2x0=-3,
解得x0=0或x0=-.
探究2 利用图象理解导数的几何意义
观察函数h(t)的图象,思考下列问题.
问题1:函数的图象在t=t0处的切线l0与t轴有什么关系 h'(t0)的值与0的大小关系是什么 图象在t=t0附近的变化情况如何
【答案】　函数的图象在t=t0处的切线l0平行于t轴,即h'(t0)=0,这时,在t=t0附近曲线比较平坦,几乎没有升降.
问题2:函数的图象在t=t1处的切线l1的斜率h'(t1)与0的大小关系是什么 图象在t=t1附近的变化情况如何
【答案】　函数的图象在t=t1处的切线l1的斜率h'(t1)<0,这时,在t=t1附近曲线下降,即函数在t=t1附近单调递减.
问题3:函数的图象在t=t2处的切线l2的斜率h'(t2)的值与0的大小关系是什么 图象在t=t2附近的变化情况如何
【答案】　函数的图象在t=t2处的切线l2的斜率h'(t2)<0,这时,在t=t2附近曲线下降,即函数在t=t2附近单调递减.
问题4:通过对比直线l1与直线l2的倾斜程度,说明函数在t=t1附近与在t=t2附近的变化趋势对比情况.
【答案】　直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度,这说明函数在t=t1附近比在t=t2附近下降得慢.
新知生成
若f'(x0)=0,则函数图象在x=x0处切线斜率k=0;
若f'(x0)>0,则函数图象在x=x0处切线斜率k>0,函数在x=x0附近单调递增,f'(x0)越大,说明函数图象变化得越快;
若f'(x0)<0,则函数图象在x=x0处切线斜率k<0,函数在x=x0附近单调递减,|f'(x0)|越大,说明函数图象变化得越快.
新知运用
例3　已知y=f(x)的图象如图所示,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是(　　).
A.f'(xA)>f'(xB)
B.f'(xA)C.f'(xA)=f'(xB)
D.不能确定
【答案】　B
【解析】　由导数的几何意义可知f'(xA),f'(xB)分别是曲线在点A,B处切线的斜率,由图象可知f'(xA)【方法总结】 　　导数与函数图象升降的关系
若函数y=f(x)在x=x0处的导数存在且f'(x0)>0(即切线的斜率大于零),则函数y=f(x)在x=x0附近的图象是上升的;若f'(x0)<0(即切线的斜率小于零),则函数y=f(x)在x=x0附近的图象是下降的.导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.
已知函数f(x)的图象如图所示,则下列不等关系中正确的是(　　).
A.0B.0C.0D.0【答案】　C
【解析】　 kAB==f(3)-f(2),
f'(2)为函数f(x)的图象在点B(2,f(2))处的切线的斜率,
f'(3)为函数f(x)的图象在点A(3,f(3))处的切线的斜率,
根据图象可知0【随堂检测】
1.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x-y+2=0,则f'(1)等于(　　).
A.4 B.-4 C.-2 D.2
【答案】　D
【解析】　由导数的几何意义知f'(1)=2.
2.已知曲线f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则点P的坐标为　　　　.
【答案】　(3,30)
【解析】　设点P(x0,2+4x0),
则
==2d+4x0+4,
当d→0时,2d+4x0+4→4x0+4,
令4x0+4=16得x0=3,∴点P的坐标为(3,30).
3.曲线y=在点(3,3)处的切线的倾斜角等于　　　　.
【答案】　135°
【解析】　令y=f(x)=,则
=
=,
当d→0时,→-,
∴f'(3)=-=-1,
又∵直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°,
∴倾斜角为135°.
4.已知二次函数y=f(x)的图象(如图),则y=f(x)在A,B两点处的导数f'(a)与f'(b)的大小关系为f'(a)　　　　f'(b).(填“<”或“>”)
【答案】　>
【解析】　观察图象可知函数图象在点A处的切线斜率要大于在点B处的切线斜率,所以f'(a)>f'(b).
21.1 课时3 导数的几何意义
【学习目标】
1.理解导数的几何意义并会求曲线在某点处的切线方程.(数学抽象、直观想象、数学运算)
2.通过导数的几何意义,了解微积分中以直代曲的数学思想.(数学抽象)
【自主预习】
1.当B点向A点无限逼近时,割线AB与曲线的位置关系是什么
2.如果设曲线的方程为y=f(x),点A的坐标为(x0,f(x0)),那么曲线在点A处的切线的斜率是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率. (　　)
(2)若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线. (　　)
2.已知曲线y=f(x)=2x2上一点A(2,8),则点A处的切线斜率为(　　).
A.4 B.16 C.8 D.2
3.函数y=f(x)的图象如图所示,下列描述错误的是(　　).
A.函数f(x)在x=-5处比x=-2处变化快
B.函数f(x)的图象在x=-4处呈上升趋势
C.函数f(x)在x=1和x=2处增减趋势相反
D.函数f(x)的图象在x=0处呈上升趋势
【合作探究】
探究1 导数的几何意义
设函数y=f(x),在y=f(x)上取两点P(x0,y0),Pn(xn,yn)(x0≠xn).
问题1:割线PPn的斜率kn是什么
问题2:当Pn无限趋近于点P时,kn与切线PT的斜率k有什么关系
问题3:如何求得过点P的切线PT的斜率
问题4:曲线的切线是不是一定和曲线只有一个公共点
问题5:曲线f(x)在点(x0,y0)处的切线与曲线过某点(x0,y0)的切线有何不同
新知生成
1.切线的概念:如图,对于割线PPn,当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.
2.导数的几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k=f'(x0).
新知运用
一、求曲线的切线
例1　已知曲线y=x3+.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
【方法总结】　　求曲线在点P(x0,y0)处的切线方程,即给出了切点P(x0,y0)的坐标,求切线方程的步骤
(1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0);
(2)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).
要注意“过点P的切线”与“曲线在点P处的切线”的区别,若题中所给点(x0,y0)不一定是切点,首先应设出切点坐标,然后根据导数的几何意义列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程.
二、求切点坐标或参数值
例2　(1)已知抛物线y=f(x)=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°,则该切点的坐标为　　　　.
(2)若直线y=3x+b与曲线y=x3相切,则b=　　　　.
【方法总结】　　解答此类题目时,所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键,由这些信息得知函数在某点处的导数,进而可求此点的横坐标.解题时要注意【解析】几何知识的应用,如直线的倾斜角与斜率的关系,平行、垂直直线斜率间的关系等.
1.求函数y=f(x)=3x2的图象在点(1,3)处的切线方程.
2.已知曲线f(x)=x2-1在x=x0处的切线与曲线g(x)=1-x3在x=x0处的切线互相平行,求x0的值.
探究2 利用图象理解导数的几何意义
观察函数h(t)的图象,思考下列问题.
问题1:函数的图象在t=t0处的切线l0与t轴有什么关系 h'(t0)的值与0的大小关系是什么 图象在t=t0附近的变化情况如何
问题2:函数的图象在t=t1处的切线l1的斜率h'(t1)与0的大小关系是什么 图象在t=t1附近的变化情况如何
问题3:函数的图象在t=t2处的切线l2的斜率h'(t2)的值与0的大小关系是什么 图象在t=t2附近的变化情况如何
问题4:通过对比直线l1与直线l2的倾斜程度,说明函数在t=t1附近与在t=t2附近的变化趋势对比情况.
新知生成
若f'(x0)=0,则函数图象在x=x0处切线斜率k=0;
若f'(x0)>0,则函数图象在x=x0处切线斜率k>0,函数在x=x0附近单调递增,f'(x0)越大,说明函数图象变化得越快;
若f'(x0)<0,则函数图象在x=x0处切线斜率k<0,函数在x=x0附近单调递减,|f'(x0)|越大,说明函数图象变化得越快.
新知运用
例3　已知y=f(x)的图象如图所示,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是(　　).
A.f'(xA)>f'(xB)
B.f'(xA)C.f'(xA)=f'(xB)
D.不能确定
【方法总结】 　　导数与函数图象升降的关系
若函数y=f(x)在x=x0处的导数存在且f'(x0)>0(即切线的斜率大于零),则函数y=f(x)在x=x0附近的图象是上升的;若f'(x0)<0(即切线的斜率小于零),则函数y=f(x)在x=x0附近的图象是下降的.导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.
已知函数f(x)的图象如图所示,则下列不等关系中正确的是(　　).
A.0B.0C.0D.0【随堂检测】
1.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x-y+2=0,则f'(1)等于(　　).
A.4 B.-4 C.-2 D.2
2.已知曲线f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则点P的坐标为　　　　.
3.曲线y=在点(3,3)处的切线的倾斜角等于　　　　.
4.已知二次函数y=f(x)的图象(如图),则y=f(x)在A,B两点处的导数f'(a)与f'(b)的大小关系为f'(a)　　　　f'(b).(填“<”或“>”)
2

展开更多......

收起↑