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1.2 课时1 几个基本函数的导数
【学习目标】
1.能根据定义求常见幂函数的导数.(数学抽象、数学运算)
2.掌握一些基本函数的导数公式,并能进行简单的应用.(数学抽象、数学运算)
【自主预习】
1.导数的定义是什么
2.定义法求函数y=f(x)的导数的一般步骤是什么
3.如何求f(x)=的导数
4.由几个常见函数的导数能否得出y=xn的导数公式
5.正、余弦函数的导数公式,指数函数与对数函数的导数公式分别是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数在一点处的导数f'(x0)是一个常数. (　　)
(2)若y=,则y'=×2=1. (　　)
(3)若f'(x)=sin x,则f(x)=cos x. (　　)
(4)若y=,则y'=. (　　)
2.给出下列结论:
①若y=ln 2,则y'=;②若y=,则y'=-;
③若y=2x,则y'=2xln 2;④若y=log2x,则y'=.
其中正确结论的个数为(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
3.若函数f(x)=10x,则f'(1)等于(　　).
A. B.10
C.10ln 10 D.
4.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线方程为　　　　.
【合作探究】
探究1 常见幂函数的导数
问题1:函数y=f(x)=c的导数是什么 如何从几何、物理的角度理解
问题2:函数f(x)=x的导数是什么 并说明其导数的几何意义.
问题3:函数y=f(x)=x3 的导数是什么
新知生成
常见幂函数的导数
(1)常函数的导数为0,即c'=0;
(2)恒等函数导数为1,即x'=1;
(3)(x2)'=2x;
(4)(x3)'=3x2;
(5)'=-;
(6)()'=.
新知运用
例1　写出过点A(-5,3)并且和曲线xy=1相切的两条直线的方程.
【方法总结】　　(1)若点(x0,y0)在已知曲线上,求在点(x0,y0)处的切线方程,先求出函数y=f(x)在点x0处的导数,然后根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).(2)若点(x0,y0)不在曲线上,求过点(x0,y0)的切线方程,首先应设出切点坐标,然后根据导数的几何意义列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程.
试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.
探究2 一些基本初等函数的导数
已知函数:①y=x,②y=x2,③y=x3,④y=,⑤y=.
问题1:这些函数是哪类初等函数
问题2:写出这五个函数的导数,其导数有什么规律
问题3:这些导数的几何意义是什么
问题4:这些导数的物理意义是什么
新知生成
基本初等函数的导数公式
(公式对函数定义域内的自变量x有效,其中(7)(8)(9)中的自变量x的单位是弧度)
(1)c'=0;
(2)(xα)'=αxα-1(α≠0);
(3)(ex)'=ex;
(4)(ax)'=axln a(a>0,且a≠1);
(5)(ln x)'=(x>0);
(6)(loga x)'=(a>0,且a≠1,x>0);
(7)(sin x)'=cos x;
(8)(cos x)'=-sin x;
(9)(tan x)'=.
新知运用
例2　求下列函数的导数.
(1)y=;(2)y=log3x;(3)y=;
(4)y=-2sin;(5)y=3ln x+ln.
【方法总结】　　求简单函数的导函数的基本方法
(1)用导数的定义求导,但运算比较烦琐.
(2)用导数公式求导,可以简化运算过程,降低运算难度.解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式.
求下列函数的导数.
(1)y=x14;(2)y=;(3)y=x-2;
(4)y=cos +sin cos -sin ;
(5)y=e0.
探究3 导数公式的综合应用
例3　已知在一次降雨过程中,某地降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可表示为y=,则在时刻t=400 min时的降雨强度为　　　.
【方法总结】　　利用导数的定义解决问题,要注意观察定义式的结构特征,导数是瞬时变化率,所以求某个量的变化强度就是求相关函数在某点处的导数.
1.假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系:p(t)=p0(1+5%)t,其中p0为t=0时的物价,假定某种商品的p0=1,那么当t=10时,这种商品的价格上涨的速度大约是多少 (精确到0.01元/年)(1.0510≈1.63,ln 1.05≈0.05)
2.已知曲线y=ln x的一条切线方程为x-y+c=0,则c的值为　　　　.
【随堂检测】
1.(多选题)下列函数求导运算正确的是(　　).
A.sin '=cos B.(log2x)'=
C.()'= D.(3x)'=3xlog3e
2.曲线y=在点,2处的切线的斜率为(　　).
A.2 B.-4 C.3 D.
3.一质点的运动方程为s=cos t,则当t=1时质点的瞬时速度为(　　).
A.2cos 1 B.-sin 1 C.sin 1 D.2sin 1
4.已知f(x)=x2,g(x)=ln x,若f'(x)-g'(x)=1,则x=　　　　.
21.2 课时1 几个基本函数的导数
【学习目标】
1.能根据定义求常见幂函数的导数.(数学抽象、数学运算)
2.掌握一些基本函数的导数公式,并能进行简单的应用.(数学抽象、数学运算)
【自主预习】
1.导数的定义是什么
【答案】　设函数y=f(x)在包含x0的某个区间上有定义,在d趋近于0时,若比值趋近于一个确定的极限值,则称此极限值为函数y=f(x)在x=x0处的导数或微商.
可简述为当d→0时,→ f'(x0)或 f'(x0)=.
2.定义法求函数y=f(x)的导数的一般步骤是什么
【答案】　(1)求函数的改变量f(x+d)-f(x);(2)求平均变化率;(3)取极限,得导数y'=f'(x)=.简称:一差、二商、三极限.
3.如何求f(x)=的导数
【答案】　若f(x)=,则=-÷d=-,
当d→0时,-→-,所以'=-.
4.由几个常见函数的导数能否得出y=xn的导数公式
【答案】　能.
5.正、余弦函数的导数公式,指数函数与对数函数的导数公式分别是什么
【答案】 (1)(sinx)'=cosx;(2)(cosx)'=-sinx;(3)(ax)'=axlna(a>0,a≠1);(4)(logax)'=(a>0,a≠1,x>0).
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数在一点处的导数f'(x0)是一个常数. (　　)
(2)若y=,则y'=×2=1. (　　)
(3)若f'(x)=sin x,则f(x)=cos x. (　　)
(4)若y=,则y'=. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.给出下列结论:
①若y=ln 2,则y'=;②若y=,则y'=-;
③若y=2x,则y'=2xln 2;④若y=log2x,则y'=.
其中正确结论的个数为(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】　C
【解析】　对于①,y'=0,故①错误;显然②③④正确.故选C.
3.若函数f(x)=10x,则f'(1)等于(　　).
A. B.10
C.10ln 10 D.
【答案】　C
【解析】　∵f'(x)=10xln 10,∴f'(1)=10ln 10.
4.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线方程为　　　　.
【答案】　y=e2(x-1)
【解析】　∵y'=ex,∴当x=2时,y'=e2,
∴在点(2,e2)处的切线方程为y-e2=e2(x-2),即y=e2(x-1).
【合作探究】
探究1 常见幂函数的导数
问题1:函数y=f(x)=c的导数是什么 如何从几何、物理的角度理解
【答案】　∵==0,∴y'=0,∴c'=0.
从几何角度理解:y'=0表示函数y=f(x)=c图象上每一点处的切线的斜率都为0.
从物理角度理解:若y=c表示路程关于时间的函数,则y'=0表示某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.
问题2:函数f(x)=x的导数是什么 并说明其导数的几何意义.
【答案】　∵==1,∴y'=1,∴x'=1.
它的几何意义:y'=1表示函数y=x图象上每一点处的切线斜率都为1.
问题3:函数y=f(x)=x3 的导数是什么
【答案】　∵==3x2+3xd+d2,
∴当d→0时,3x2+3xd+d2→3x2,∴(x3)'=3x2.
新知生成
常见幂函数的导数
(1)常函数的导数为0,即c'=0;
(2)恒等函数导数为1,即x'=1;
(3)(x2)'=2x;
(4)(x3)'=3x2;
(5)'=-;
(6)()'=.
新知运用
例1　写出过点A(-5,3)并且和曲线xy=1相切的两条直线的方程.
【解析】　曲线xy=1化为y=,其导函数为y'=-,
设过点A(-5,3)的直线与曲线xy=1相切于点x0,,则切线的斜率k=-,
所以切线方程为y-=-(x-x0).
因为切线过点A(-5,3),所以3-=-(-5-x0),解得x0=-1或x0=.
当x0=-1时,切线方程为x+y+2=0;
当x0=时,切线方程为9x+25y-30=0.
【方法总结】　　(1)若点(x0,y0)在已知曲线上,求在点(x0,y0)处的切线方程,先求出函数y=f(x)在点x0处的导数,然后根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).(2)若点(x0,y0)不在曲线上,求过点(x0,y0)的切线方程,首先应设出切点坐标,然后根据导数的几何意义列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程.
试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.
【解析】　设所求切线的切点坐标为(x0,),
因为函数y=x2的导数为y'=2x,
所以曲线在切点处的切线的斜率为2x0,
即所求切线方程为y-=2x0(x-x0).
因为切线过点P(3,5),
所以5-=2x0(3-x0),解得x0=1或x0=5,
即所求的切线有两条,方程分别是y=2x-1和y=10x-25,即2x-y-1=0和10x-y-25=0.
探究2 一些基本初等函数的导数
已知函数:①y=x,②y=x2,③y=x3,④y=,⑤y=.
问题1:这些函数是哪类初等函数
【答案】　幂函数.
问题2:写出这五个函数的导数,其导数有什么规律
【答案】　x'=1,(x2)'=2x,(x3)'=3x2,'=-,()'=.
其规律是(xα)'=αxα-1.
问题3:这些导数的几何意义是什么
【答案】　这些导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率.
问题4:这些导数的物理意义是什么
【答案】　这些导数的物理意义是运动的物体在某一时刻的瞬时速度.
新知生成
基本初等函数的导数公式
(公式对函数定义域内的自变量x有效,其中(7)(8)(9)中的自变量x的单位是弧度)
(1)c'=0;
(2)(xα)'=αxα-1(α≠0);
(3)(ex)'=ex;
(4)(ax)'=axln a(a>0,且a≠1);
(5)(ln x)'=(x>0);
(6)(loga x)'=(a>0,且a≠1,x>0);
(7)(sin x)'=cos x;
(8)(cos x)'=-sin x;
(9)(tan x)'=.
新知运用
例2　求下列函数的导数.
(1)y=;(2)y=log3x;(3)y=;
(4)y=-2sin;(5)y=3ln x+ln.
【解析】　(1)y'='=(x-4)'=-4x-5=-.
(2)y'=(log3x)'=.
(3)y'=()'=()'=.
(4)因为y=-2sin
=2sin=2sin cos =sin x,
所以y'=(sin x)'=cos x.
(5)因为y=3ln x+ln =ln x3+ln =ln x,
所以y'=(ln x)'=.
【方法总结】　　求简单函数的导函数的基本方法
(1)用导数的定义求导,但运算比较烦琐.
(2)用导数公式求导,可以简化运算过程,降低运算难度.解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式.
求下列函数的导数.
(1)y=x14;(2)y=;(3)y=x-2;
(4)y=cos +sin cos -sin ;
(5)y=e0.
【解析】　(1)y'=(x14)'=14x13.
(2)y'='=ln=-ln 3.
(3)y'=(x-2)'=-2x-3=-.
(4)∵y==cos x,∴y'=-sin x.
(5)∵y=e0=1,∴y'=0.
探究3 导数公式的综合应用
例3　已知在一次降雨过程中,某地降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可表示为y=,则在时刻t=400 min时的降雨强度为　　　.
【答案】　 mm/min
【解析】　令y=f(t)=,则f'(t)=()'=,
∴f'(400)==,即在时刻t=400 min时的降雨强度为 mm/min.
【方法总结】　　利用导数的定义解决问题,要注意观察定义式的结构特征,导数是瞬时变化率,所以求某个量的变化强度就是求相关函数在某点处的导数.
1.假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系:p(t)=p0(1+5%)t,其中p0为t=0时的物价,假定某种商品的p0=1,那么当t=10时,这种商品的价格上涨的速度大约是多少 (精确到0.01元/年)(1.0510≈1.63,ln 1.05≈0.05)
【解析】　根据基本初等函数的导数公式表,有p'(t)=1.05tln 1.05,
所以p'(10)=1.0510ln 1.05≈0.08.
所以当t=10时,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.
2.已知曲线y=ln x的一条切线方程为x-y+c=0,则c的值为　　　　.
【答案】　-1
【解析】　设切点坐标为(x0,ln x0),由y=ln x得y'=,
因为曲线y=ln x在x=x0处的切线方程为x-y+c=0,且切线斜率为1,
所以=1,即x0=1,所以切点为(1,0).
则1-0+c=0,解得c=-1.
【随堂检测】
1.(多选题)下列函数求导运算正确的是(　　).
A.sin '=cos B.(log2x)'=
C.()'= D.(3x)'=3xlog3e
【答案】　BC
【解析】　sin '=0,A错误;(log2x)'=,B正确;
()'=,C正确;(3x)'=3xln 3,D错误.故选BC.
2.曲线y=在点,2处的切线的斜率为(　　).
A.2 B.-4 C.3 D.
【答案】　B
【解析】　因为y=,所以y'=-,所以当x=时,y'=-4.故选B.
3.一质点的运动方程为s=cos t,则当t=1时质点的瞬时速度为(　　).
A.2cos 1 B.-sin 1 C.sin 1 D.2sin 1
【答案】　B
【解析】　s'=-sin t,当t=1时,s'=-sin 1,
所以当t=1时,质点的瞬时速度为-sin 1.
4.已知f(x)=x2,g(x)=ln x,若f'(x)-g'(x)=1,则x=　　　　.
【答案】　1
【解析】　因为f(x)=x2,g(x)=ln x,所以f'(x)=2x,g'(x)=且x>0,
f'(x)-g'(x)=2x-=1,即2x2-x-1=0,解得x=1或x=-(舍去).故x=1.
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