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1.2 课时2 函数的和差积商求导法则
【学习目标】
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.(数学运算)
2.理解求导法则的证明过程,能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.(逻辑推理、数学运算)
3.利用导数的运算法则解决有关问题.(数学抽象、数学运算)
【自主预习】
1.默写基本初等函数的导数公式表.
2.利用定义求函数的导数的一般步骤是什么
3.如何求两函数和、差、积、商的导数
4.[f(x)·g(x)]'与f'(x)·g'(x)相等吗 '与相等吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)f'(x0)与[f(x0)]'表示的意义相同. (　　)
(2)函数f(x)=xln x的导数是f'(x)=x. (　　)
2.函数f(x)=xex的导数f'(x)=(　　).
A.ex(x+1) B.1+ex
C.x(1+ex) D.ex(x-1)
3.若函数f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,则a=　　　　.
4.若y=,则y'=　　　　.
【合作探究】
探究1 函数和（差）的求导法则
问题1:F(x)=cf(x)的导数是不是f'(x)和实数c的乘积
问题2:如果f'(x),g'(x)分别为f(x),g(x)的导函数,证明:[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x).
问题3:导数和(差)的运算法则可以推广到有限个函数的和(差)的情形吗 如果可以,写出推广形式.
新知生成
1.两函数和与差的求导法则
一般地,对于两个函数f(x)和g(x)的和(差)的导数,有下列法则:[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x).
特别地,[f(x)±c]'=f'(x).
2.两函数和与差的导数的拓展
[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±f'3(x)±…±f'n(x).
新知运用
例1　求下列函数的导数.
(1)y=x2+log3x;(2)y=sin x-2x2.
【方法总结】　　根据基本初等函数的导数公式以及函数和与差的求导法则进行求解.
求下列函数的导数.
(1)y=5-4x3;
(2)y=lg x-.
探究2 函数乘积的求导法则
问题:你能利用定义求y=f(x)g(x)的导数吗
新知生成
函数乘积的求导法则
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
新知运用
例2　求下列函数的导数.
(1)y=(2x2+3)(3x-2);
(2)y=2xcos x-3xln x.
求函数y=2xcos x-3xlog2020x的导数.
探究3 函数的倒数与商的求导法则
问题1:如何求函数F(x)=(f(x)≠0)的导数
问题2:根据函数的乘积和倒数的求导法则,能推出(f(x)≠0)的求导法则吗
问题3:若f(x),g(x)都是可导函数,且f(x)≠0,那么关系式'=-(a为常数)成立吗
新知生成
1.函数的倒数的求导法则
'=-(f(x)≠0).
2.两函数的商的求导法则
'=(g(x)≠0).
新知运用
例3　求下列函数的导数.
(1)y=;
(2)y=+;
(3)y=.
【方法总结】　　1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数,其关键是牢记和运用好导数公式.解题时,能认真观察函数的结构特征,积极地进行联想化归.
2.有些函数可先化简再应用公式求导,如例3(2).
3.对于正弦、余弦函数的导数,一是注意函数名称的变化,二是注意函数符号的变化.
求下列函数的导数.
(1)y=;
(2)y=.
探究4 导数运算法则的应用
例4　已知函数f(x)=ax2+ln x的导数为f'(x).
(1)求f(1)+f'(1);
(2)若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线,求实数a的取值范围.
【方法总结】　　1.此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素,可以将其他的条件转化为这三个要素间的关系.
2.准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确.
3.分清“在某点”和“过某点”切线的不同.
1.已知曲线f(x)=在点(1,f(1))处切线的倾斜角为,则实数a等于(　　).
A.1 B.-1 C.7 D.-7
2.曲线y=-在点M,0处的切线的斜率为　　　　.
【随堂检测】
1.(多选题)下列运算中正确的是(　　).
A.(ax2+bx+c)'=a(x2)'+b(x)'+(c)'(a,b,c∈R)
B.(sin x-2x2)'=(sin x)'-2'(x2)'
C.'=
D.(cos x·sin x)'=(sin x)'cos x+(cos x)'sin x
2.已知f(x)=x2+2xf'(1),则f'(0)=(　　).
A.0 B.-2 C.-4 D.2
3.某物体做直线运动时,其运动方程为s=t2+(t的单位:s,s的单位:m),则它在第4 s末的瞬时速度应该为　　　　 m/s.
4.已知函数f(x)=x2+xln x.
(1)求函数f(x)的导数f'(x);
(2)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程.
21.2 课时2 函数的和差积商求导法则
【学习目标】
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.(数学运算)
2.理解求导法则的证明过程,能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.(逻辑推理、数学运算)
3.利用导数的运算法则解决有关问题.(数学抽象、数学运算)
【自主预习】
1.默写基本初等函数的导数公式表.
【答案】　基本初等函数的导数公式表:
原函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f'(x)=0
f(x)=xα(α≠0) f'(x)=αxα-1
f(x)=sin x f'(x)=cos x
f(x)=cos x f'(x)=-sin x
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=axln a
f(x)=ex f'(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=
f(x)=ln x f'(x)=
f(x)=tan x f'(x)=
2.利用定义求函数的导数的一般步骤是什么
【答案】　第一步:求函数的改变量f(x+d)-f(x);第二步:求平均变化率;第三步:取极限,得导数y'=f'(x).
3.如何求两函数和、差、积、商的导数
【答案】　利用导数的四则运算法则.
4.[f(x)·g(x)]'与f'(x)·g'(x)相等吗 '与相等吗
【答案】　一般情况下都不相等.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)f'(x0)与[f(x0)]'表示的意义相同. (　　)
(2)函数f(x)=xln x的导数是f'(x)=x. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×
2.函数f(x)=xex的导数f'(x)=(　　).
A.ex(x+1) B.1+ex
C.x(1+ex) D.ex(x-1)
【答案】　A
【解析】　f'(x)=x'ex+x(ex)'=ex+xex=ex(x+1).故选A.
3.若函数f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,则a=　　　　.
【答案】　1
【解析】　∵f(x)=ax2+c,∴f'(x)=2ax,∴f'(1)=2a=2,解得a=1.
4.若y=,则y'=　　　　.
【答案】　
【解析】　∵y=ln x,∴y'=·=.
【合作探究】
探究1 函数和（差）的求导法则
问题1:F(x)=cf(x)的导数是不是f'(x)和实数c的乘积
【答案】　是.由于=c·,且当d→0时,→f'(x),因而c·→cf'(x),即[cf(x)]'=cf'(x).
问题2:如果f'(x),g'(x)分别为f(x),g(x)的导函数,证明:[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x).
【答案】　令h(x)=f(x)+g(x),
则=
=
=+,
当d→0时,→f'(x),
→g'(x),
即h'(x)=f'(x)+g'(x),
所以[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x).
问题3:导数和(差)的运算法则可以推广到有限个函数的和(差)的情形吗 如果可以,写出推广形式.
【答案】　可以,若y=f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x),
则y'=f'1(x)±f'2(x)±f'3(x)±…±f'n(x).
新知生成
1.两函数和与差的求导法则
一般地,对于两个函数f(x)和g(x)的和(差)的导数,有下列法则:[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x).
特别地,[f(x)±c]'=f'(x).
2.两函数和与差的导数的拓展
[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±f'3(x)±…±f'n(x).
新知运用
例1　求下列函数的导数.
(1)y=x2+log3x;(2)y=sin x-2x2.
【解析】　(1)y'=(x2+log3x)'=(x2)'+(log3x)'=2x+.
(2)y'=(sin x-2x2)'=(sin x)'-(2x2)'=cos x-4x.
【方法总结】　　根据基本初等函数的导数公式以及函数和与差的求导法则进行求解.
求下列函数的导数.
(1)y=5-4x3;
(2)y=lg x-.
【解析】　(1)y'=-12x2.
(2)y'=+.
探究2 函数乘积的求导法则
问题:你能利用定义求y=f(x)g(x)的导数吗
【答案】　因为
=
=
+
=f(x+d)·+·g(x),
当d→0时,f(x+d)→f(x),→g'(x),→f'(x),
所以[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),
所以两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数加上第一个函数乘第二个函数的导数.
新知生成
函数乘积的求导法则
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
新知运用
例2　求下列函数的导数.
(1)y=(2x2+3)(3x-2);
(2)y=2xcos x-3xln x.
【解析】　(1)(法一)y'=(2x2+3)'(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)'=4x(3x-2)+(2x2+3)×3=18x2-8x+9.
(法二)∵y=(2x2+3)(3x-2)=6x3-4x2+9x-6,∴y'=18x2-8x+9.
(2)y'=(2xcos x-3xln x)'
=(2x)'cos x+2x(cos x)'-3[x'ln x+x(ln x)']
=2xln 2·cos x-2xsin x-3ln x+x·
=2xln 2·cos x-2xsin x-3ln x-3.
求函数y=2xcos x-3xlog2020x的导数.
【解析】　y'=(2x)'cos x+(cos x)'2x-3[x'log2020x+(log2020x)'x]
=2xln 2·cos x-sin x·2x-3log2020x+log2020ex
=2xln 2·cos x-2xsin x-3log2020x-3log2020e.
探究3 函数的倒数与商的求导法则
问题1:如何求函数F(x)=(f(x)≠0)的导数
【答案】　因为=
=·,
当d→0时,→,
→-f'(x),
所以F'(x)=-,
即'=-.
问题2:根据函数的乘积和倒数的求导法则,能推出(f(x)≠0)的求导法则吗
【答案】　能.'=g(x)·'
=g'(x)·+g(x)·'
=.
问题3:若f(x),g(x)都是可导函数,且f(x)≠0,那么关系式'=-(a为常数)成立吗
【答案】　由导数的运算法则可知,这个关系式成立.
新知生成
1.函数的倒数的求导法则
'=-(f(x)≠0).
2.两函数的商的求导法则
'=(g(x)≠0).
新知运用
例3　求下列函数的导数.
(1)y=;
(2)y=+;
(3)y=.
【解析】　(1)y'===.
(2)∵y=+==-2,
∴y'=-2'==.
(3)y'===.　
【方法总结】　　1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数,其关键是牢记和运用好导数公式.解题时,能认真观察函数的结构特征,积极地进行联想化归.
2.有些函数可先化简再应用公式求导,如例3(2).
3.对于正弦、余弦函数的导数,一是注意函数名称的变化,二是注意函数符号的变化.
求下列函数的导数.
(1)y=;
(2)y=.
【解析】　(1)y'='=
==.
(2)y'==.
探究4 导数运算法则的应用
例4　已知函数f(x)=ax2+ln x的导数为f'(x).
(1)求f(1)+f'(1);
(2)若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线,求实数a的取值范围.
【解析】　(1)由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),
由f(x)=ax2+ln x,得f'(x)=2ax+,
所以f(1)+f'(1)=3a+1.
(2)因为曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线,所以此时切线的斜率为0,
将问题转化为当x∈(0,+∞)时,导函数f'(x)=2ax+的零点存在性问题,等价于当f'(x)=0,即2ax+=0时有正实数解,
即2ax2=-1有正实数解,解得a<0,
所以实数a的取值范围是(-∞,0).
【方法总结】　　1.此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素,可以将其他的条件转化为这三个要素间的关系.
2.准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确.
3.分清“在某点”和“过某点”切线的不同.
1.已知曲线f(x)=在点(1,f(1))处切线的倾斜角为,则实数a等于(　　).
A.1 B.-1 C.7 D.-7
【答案】　C
【解析】　∵f'(x)==,
∴f'(1)==tan =-1,∴a=7.
2.曲线y=-在点M,0处的切线的斜率为　　　　.
【答案】　
【解析】　因为y'=
=,
所以当x=时,y'=,
故曲线在点M,0处的切线的斜率为.
【随堂检测】
1.(多选题)下列运算中正确的是(　　).
A.(ax2+bx+c)'=a(x2)'+b(x)'+(c)'(a,b,c∈R)
B.(sin x-2x2)'=(sin x)'-2'(x2)'
C.'=
D.(cos x·sin x)'=(sin x)'cos x+(cos x)'sin x
【答案】　AD
【解析】　对于A,(ax2+bx+c)'=a(x2)'+b(x)'+(c)',故A正确;
对于B,(sin x-2x2)'=(sin x)'-2(x2)',故B错误;
对于C,'=,故C错误;
对于D,(cos x·sin x)'=(cos x)'sin x+cos x(sin x)',故D正确.故选AD.
2.已知f(x)=x2+2xf'(1),则f'(0)=(　　).
A.0 B.-2 C.-4 D.2
【答案】　C
【解析】　∵f(x)=x2+2xf'(1),∴f'(x)=2x+2f'(1),
取x=1,得f'(1)=2×1+2f'(1),
解得f'(1)=-2,∴f'(x)=2x-4,
∴f'(0)=2×0-4=-4.
3.某物体做直线运动时,其运动方程为s=t2+(t的单位:s,s的单位:m),则它在第4 s末的瞬时速度应该为　　　　 m/s.
【答案】　
【解析】　由题意得s=t2+(t>0),可得在第t s末的瞬时速度v=s'=2t-,
故它在第4 s末的瞬时速度应该为2×4-= (m/s).
4.已知函数f(x)=x2+xln x.
(1)求函数f(x)的导数f'(x);
(2)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程.
【解析】　(1)因为f(x)=x2+xln x,所以f'(x)=2x+ln x+1.
(2)由题意可知,切点的横坐标为1,所以切线的斜率k=f'(1)=2+1=3,
又f(1)=1,所以切线方程为y-1=3(x-1),整理得3x-y-2=0.
2

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