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1.2 课时3 简单复合函数的求导
【学习目标】
1.了解复合函数的概念.(数学抽象)
2.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数.(逻辑推理、数学运算)
3.能运用复合函数求导及导数运算法则解决综合问题.(数学抽象、数学运算)
【自主预习】
1.(1)现有方法能求函数y=ln(2x-1)的导数吗 为什么
【答案】　现有方法无法求出它的导数.主要原因如下:用定义不能求出极限;该函数不是基本初等函数,没有求导公式;该函数不是基本初等函数的和、差、积、商形式,不能用导数的四则运算法则解决这个问题.
(2)函数y=ln(2x-1)可以用基本初等函数表示吗 它的结构特点是什么
【答案】　可以,函数y=ln(2x-1)是由函数y=ln u和函数u=2x-1复合而成的复合函数.
(3)函数y=ln(2x-1)的导数是什么
【答案】　y'=·(2x-1)'=.
2.对于函数y=cos 2x,其导函数是y=-sin 2x吗
【答案】　不是.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=sin πx是由函数y=sin u和函数u=πx复合而成的. (　　)
(2)若f(x)=ln(3x-1),则f'(x)=. (　　)
(3)若f(x)=x2cos 2x,则f'(x)=2xcos 2x+2x2sin 2x. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
2.函数y=(2x-1)n(n∈R)的复合过程正确的是(　　).
A.y=un,u=2x-1 B.y=(u-1)n,u=2x
C.y=tn,t=(2x-1)n D.y=(t-1)n,t=2x-1
【答案】　A
3.函数y=的导数是(　　).
A. B.
C.- D.-
【答案】　C
【解析】　∵y=,∴y'=-2··(3x-1)'=-.
4.下列对函数的求导正确的是(　　).
A.若y=(1-2x)3,则y'=3(1-2x)2
B.若y=log2(2x+1),则y'=
C.若y=cos ,则y'=sin
D.若y=22x-1,则y'=22xln 2
【答案】　D
【解析】　对于A,y'=-6(1-2x)2,故A错误;对于B,y'=,故B错误;对于C,y'=-sin ,故C错误;对于D,y'=22x-1ln 2×(2x-1)'=22xln 2,故D正确.
【合作探究】
探究1 复合函数的概念
问题1:函数y=log2(x+1)是由哪些函数复合而成的
【答案】　函数y=log2(x+1)是由y=log2u及u=x+1两个函数复合而成的,即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
问题2:如何分析一个复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的
【答案】　复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程.在分析时可以从外向里出发,先根据最外层的主体函数结构找出y=f(u),再根据内层的主体函数结构找出函数u=g(x),函数y=f(u)和u=g(x)复合而成函数y=f(g(x)).
新知生成
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).
新知运用
例1　下列函数是怎样复合而成的
(1)y=;
(2)y=cos 3x.
【解析】　(1)令u=1-3x,则y==u-4,
所以函数y=是由函数y==u-4和函数u=1-3x复合而成的.
(2)令u=3x,则y=cos u,所以函数y=cos 3x是由函数y=cos u和函数u=3x复合而成的.
【方法总结】　　若f(x)与g(x)均为基本初等函数,则函数y=f(g(x))或函数y=g(f(x))均为复合函数.
函数y=是怎样复合而成的
【解析】　函数y=是由函数y=和函数u=x+1复合而成的.
探究2 复合函数的导数
问题1:如何求函数y=sin 2x的导数 试写出复合函数求导的过程.
【答案】　y=sin 2x=2sin xcos x,由两个函数相乘的求导法则可知y'=2cos2x-2sin2x=2cos 2x,从整体上来看,函数y=sin 2x的外层函数是基本初等函数y=sin u,它的导数y'=cos u,内层函数是u=2x,它的导数是u'=2.可发现y'x=y'u·u'x.
求复合函数的导数一般分以下四步:
问题2:利用复合函数的求导法则求函数的导数,需注意什么
【答案】　(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,选定适当的中间变量.(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,其中要特别注意的是中间变量的系数.如(sin 2x)'=2cos 2x,而不能错误地认为“(sin 2x)'=cos 2x”.(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量换成关于自变量的函数.
新知生成
一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
新知运用
例2　求下列函数的导数.
(1)y=(x-1)4;(2)y=;
(3)y=sin2x+;(4)y=x.
【解析】　(1)y'=[(x-1)4]'=4(x-1)3(x-1)'=4(x-1)3.
(2)y'='=(1-2x'
=-(1-2x·(1-2x)'
=(1-2x.
(3)y'=sin2x+'
=cos2x+·2x+'
=2cos2x+.
(4)y'=(x)'
=x'+x()'
=+.
【方法总结】　　对于复合函数的求导,要注意分析函数的具体特征,灵活恰当地选择中间变量,中间变量的选择应是基本函数的结构,切不可机械照搬某种固定的模式,否则会使确定的复合关系不准确,不能有效地进行求导运算.注意:复合函数在求导时,一般是从最外层开始,由外及里,一层一层地求导.不要忘记中间变量对自变量的求导.
求下列函数的导数.
(1)y=(4-3x)2;(2)y=cos2x-;
(3)y=ln(4x-1);(4)y=e2x.
【解析】　(1)y'=[(4-3x)2]'=2(4-3x)·(4-3x)'=2(4-3x)·(-3)=18x-24.
(2)y'=cos2x-'=-sin2x-·2x-'=-2sin2x-.
(3)y'=[ln(4x-1)]'=·(4x-1)'=.
(4)y'=(e2x)'=e2x·(2x)'=2e2x.
探究3 复合函数求导法则的应用
例3　(1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(　　).
A. B.2
C.3 D.0
(2)若曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=　　　　.
【答案】　(1)A　(2)2
【解析】　(1)设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行.
∵y'=,∴切线斜率k==2,解得x0=1,
∴y0=ln(2-1)=0,即切点坐标为(1,0).
∴切点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离d==,
即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.
(2)令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,∴f'(0)=2.∵f(x)=eax,∴f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,∴f'(0)=ae0=a=2,故a=2.
【方法总结】　　1.利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法,它适用于任何可导函数.求曲线的切线方程时,一定要注意已知点是否为切点.求过点P与曲线相切的直线方程时,一般先设出切点坐标(x0,y0),写出切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0),再代入点P的坐标,求出(x0,y0).
2.利用导数求参数问题,能比较全面地考查导数的应用,突出了导数的工具性作用.
若函数f(x)=-eax(a>0,b>0)的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,求a+b的最大值.
【解析】　因为f'(x)=-eax·a,所以f'(0)=-e0·a=-,即在x=0处的切线斜率k=-.
又f(0)=-e0=-,所以切点坐标为0,-,
所以切线方程为y+=-x,即ax+by+1=0.
因为圆心到直线ax+by+1=0的距离d==1,即a2+b2=1,所以a2+b2=1≥2ab当且仅当a=b=时,等号成立.
又a2+b2=(a+b)2-2ab=1,
所以(a+b)2=2ab+1≤1+1=2,即0探究4 导函数的奇偶性及周期性
新知生成
1.可导的奇函数的导函数是偶函数.
2.可导的偶函数的导函数是奇函数.
3.可导的周期函数的导函数还是周期函数.
新知运用
例4　证明下面的命题.
(1)若函数f(x)可导且为周期函数,则f'(x)也为周期函数;
(2)可导的奇函数的导函数是偶函数.
【解析】　(1)设函数f(x)的周期为T,则f(x)=f(x+T).因为f'(x)=[f(x+T)]'=f'(x+T)·(x+T)'=f'(x+T),所以f'(x)也为周期函数且周期与f(x)的周期相同.
(2)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以[f(-x)]'=[-f(x)]',即f'(-x)·(-x)'=-f'(x),所以f'(-x)=f'(x),故f'(x)为偶函数.
【方法总结】　　利用函数的性质和复合函数的求导法则证明.
1.证明:“可导函数y=f(x)的图象关于点(a,f(a))中心对称”的充要条件是“导函数y=f'(x)的图象关于直线x=a对称”.
【解析】　必要性:由可导函数y=f(x)的图象关于点(a,f(a))中心对称,得f(x)+f(2a-x)=2f(a),所以[f(x)+f(2a-x)]'=[2f(a)]',又[f(2a-x)]'=f'(2a-x)×(-1)=-f'(2a-x),
所以f'(x)-f'(2a-x)=0,即f'(x)=f'(2a-x).
因此导函数y=f'(x)的图象关于直线x=a对称.
充分性:导函数y=f'(x)的图象关于直线x=a对称,则f'(x)=f'(2a-x),
即[f(x)+f(2a-x)]'=0,于是f(x)+f(2a-x)=C(C为常数).
令x=a,则有2f(a)=C.所以f(x)+f(2a-x)=2f(a).
因此可导函数y=f(x)的图象关于点(a,f(a))中心对称.
2.证明:“可导函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称”的充要条件是“导函数y=f'(x)的图象关于点(a,0)中心对称”.
【解析】　必要性:由可导函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,得f(x)=f(2a-x),所以f'(x)=[f(2a-x)]',即f'(x)=-f'(2a-x),
所以f'(x)+f'(2a-x)=0.
因此导函数y=f'(x)的图象关于点(a,0)中心对称.
充分性:导函数y=f'(x)的图象关于点(a,0)中心对称,则f'(x)+f'(2a-x)=0,即[f(x)-f(2a-x)]'=0,
所以f(x)-f(2a-x)=C(C为常数).
令x=a,得C=0,所以f(x)=f(2a-x).
因此可导函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
【随堂检测】
1.(多选题)下列结论中正确的是(　　).
A.若y=cos ,则y'=-sin
B.若y=sin x2,则y'=2xcos x2
C.若y=cos 2024x,则y'=-2024sin 2024x
D.若y=xsin 2x,则y'=xsin 2x
【答案】　BC
【解析】　对于A,y'=sin ,故A错误;
对于B,y'=2xcos x2,故B正确;
对于C,y'=-2024sin 2024x,故C正确;
对于D,y'=sin 2x+xcos 2x,故D错误.
2.已知f(x)=ln(3x+2)-3x2,则f'(0)=(　　).
A.1 B. C.-1 D.-2
【答案】　B
【解析】　∵f'(x)=-6x,∴f'(0)=-0=.
3.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M0,其中M0为t=0时铯137的含量.已知当t=30时,铯137含量的变化率是-10ln 2太贝克/年,则M(60)=(　　).
A.5太贝克 B.75ln 2太贝克
C.150ln 2太贝克 D.150太贝克
【答案】　D
【解析】　M'(t)=-ln 2×M0,由M'(30)=-ln 2×M02-1=-10ln 2,解得M0=600,所以M(t)=600×,所以当t=60时,铯137的含量为M(60)=600×2-2=600×=150(太贝克).故选D.
4.已知直线y=2x-1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为　　　　　.
【答案】　
【解析】　∵y=ln(x+a),∴y'=.设切点为(x0,y0),则y0=2x0-1,y0=ln(x0+a),且=2,解得a= .
21.2 课时3 简单复合函数的求导
【学习目标】
1.了解复合函数的概念.(数学抽象)
2.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数.(逻辑推理、数学运算)
3.能运用复合函数求导及导数运算法则解决综合问题.(数学抽象、数学运算)
【自主预习】
1.(1)现有方法能求函数y=ln(2x-1)的导数吗 为什么
(2)函数y=ln(2x-1)可以用基本初等函数表示吗 它的结构特点是什么
(3)函数y=ln(2x-1)的导数是什么
2.对于函数y=cos 2x,其导函数是y=-sin 2x吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=sin πx是由函数y=sin u和函数u=πx复合而成的. (　　)
(2)若f(x)=ln(3x-1),则f'(x)=. (　　)
(3)若f(x)=x2cos 2x,则f'(x)=2xcos 2x+2x2sin 2x. (　　)
2.函数y=(2x-1)n(n∈R)的复合过程正确的是(　　).
A.y=un,u=2x-1 B.y=(u-1)n,u=2x
C.y=tn,t=(2x-1)n D.y=(t-1)n,t=2x-1
3.函数y=的导数是(　　).
A. B.
C.- D.-
4.下列对函数的求导正确的是(　　).
A.若y=(1-2x)3,则y'=3(1-2x)2
B.若y=log2(2x+1),则y'=
C.若y=cos ,则y'=sin
D.若y=22x-1,则y'=22xln 2
【合作探究】
探究1 复合函数的概念
问题1:函数y=log2(x+1)是由哪些函数复合而成的
问题2:如何分析一个复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的
新知生成
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).
新知运用
例1　下列函数是怎样复合而成的
(1)y=;
(2)y=cos 3x.
【方法总结】　　若f(x)与g(x)均为基本初等函数,则函数y=f(g(x))或函数y=g(f(x))均为复合函数.
函数y=是怎样复合而成的
探究2 复合函数的导数
问题1:如何求函数y=sin 2x的导数 试写出复合函数求导的过程.
问题2:利用复合函数的求导法则求函数的导数,需注意什么
新知生成
一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
新知运用
例2　求下列函数的导数.
(1)y=(x-1)4;(2)y=;
(3)y=sin2x+;(4)y=x.
【方法总结】　　对于复合函数的求导,要注意分析函数的具体特征,灵活恰当地选择中间变量,中间变量的选择应是基本函数的结构,切不可机械照搬某种固定的模式,否则会使确定的复合关系不准确,不能有效地进行求导运算.注意:复合函数在求导时,一般是从最外层开始,由外及里,一层一层地求导.不要忘记中间变量对自变量的求导.
求下列函数的导数.
(1)y=(4-3x)2;(2)y=cos2x-;
(3)y=ln(4x-1);(4)y=e2x.
探究3 复合函数求导法则的应用
例3　(1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(　　).
A. B.2
C.3 D.0
(2)若曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=　　　　.
【方法总结】　　1.利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法,它适用于任何可导函数.求曲线的切线方程时,一定要注意已知点是否为切点.求过点P与曲线相切的直线方程时,一般先设出切点坐标(x0,y0),写出切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0),再代入点P的坐标,求出(x0,y0).
2.利用导数求参数问题,能比较全面地考查导数的应用,突出了导数的工具性作用.
若函数f(x)=-eax(a>0,b>0)的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,求a+b的最大值.
探究4 导函数的奇偶性及周期性
新知生成
1.可导的奇函数的导函数是偶函数.
2.可导的偶函数的导函数是奇函数.
3.可导的周期函数的导函数还是周期函数.
新知运用
例4　证明下面的命题.
(1)若函数f(x)可导且为周期函数,则f'(x)也为周期函数;
(2)可导的奇函数的导函数是偶函数.
【方法总结】　　利用函数的性质和复合函数的求导法则证明.
1.证明:“可导函数y=f(x)的图象关于点(a,f(a))中心对称”的充要条件是“导函数y=f'(x)的图象关于直线x=a对称”.
2.证明:“可导函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称”的充要条件是“导函数y=f'(x)的图象关于点(a,0)中心对称”.
【随堂检测】
1.(多选题)下列结论中正确的是(　　).
A.若y=cos ,则y'=-sin
B.若y=sin x2,则y'=2xcos x2
C.若y=cos 2024x,则y'=-2024sin 2024x
D.若y=xsin 2x,则y'=xsin 2x
2.已知f(x)=ln(3x+2)-3x2,则f'(0)=(　　).
A.1 B. C.-1 D.-2
3.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M0,其中M0为t=0时铯137的含量.已知当t=30时,铯137含量的变化率是-10ln 2太贝克/年,则M(60)=(　　).
A.5太贝克 B.75ln 2太贝克
C.150ln 2太贝克 D.150太贝克
4.已知直线y=2x-1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为　　　　　.
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