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1.3 课时1 函数的单调性与导数
【学习目标】
1.理解导数与函数的单调性的关系.(数学抽象、逻辑推理、直观想象)
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.(数学抽象、逻辑推理)
3.会用导数求函数的单调区间.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.我们知道判断函数y=x2的单调性可以用定义法、图象法,对于函数y=x3-3x,如何判断它的单调性呢
【答案】　定义法是解决问题的根本方法,但是定义法较烦琐,根据现有的知识又不能画出它的图象.通过前面的学习,我们可以通过研究函数的导数来判断它的单调性.
2.函数f(x)的单调性与它的导数有什么关系
【答案】　在区间(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.
3.如何利用导数求函数f(x)的单调区间
【答案】　先求定义域,令f'(x)>0,结合定义域得单调递增区间;令f'(x)<0,结合定义域得单调递减区间.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则一定有f'(x)>0. (　　)
(2)若对于 x∈(a,b),f'(x)>0,则函数f(x)在(a,b)上单调递增. (　　)
(3)若 x∈(a,b),f'(x)=0,则函数f(x)在(a,b)上不单调. (　　)
(4)已知f(x)是定义在R上的可导函数,若对于 x≥a,f(x)≥f(a),则f'(a)≥0. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的是(　　).
A.y=sin x B.y=xex
C.y=x3-x D.y=ln x-x
【答案】　B
【解析】　(sin x)'=cos x,(xex)'=ex+xex=(1+x)ex,(x3-x)'=3x2-1,(ln x-x)'=-1,当x∈(0,+∞)时,只有(xex)'=(1+x)ex>0恒成立.故选B.
3.已知函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间为　　　　.
【答案】　(-1,0)和(2,+∞)
【解析】　∵当-12时,f'(x)>0,
∴函数f(x)的单调递增区间为(-1,0)和(2,+∞).
4.证明函数f(x)=x+在(0,1)上单调递减.
【解析】　f'(x)=1-=,∵x∈(0,1),∴x2-1<0,
∴f'(x)<0,∴f(x)=x+在(0,1)上单调递减.
【合作探究】
探究1 函数的单调性与导数
问题1:如图,这是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象以及其速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象,试说明运动员从起跳到最高点以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别
【答案】　通过观察图象,可以发现:
(1)运动员从起跳到最高点的这段时间,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)在(0,a)上单调递增,相应地,v(t)=h'(t)>0;
(2)运动员从最高点到入水的这段时间,离水面的高度h随时间t的增加而减小,即h(t)在(a,b)上单调递减,相应地,v(t)=h'(t)<0.
问题2:观察下面一些函数的图象,探究函数的单调性和导数正负的关系.
【答案】　图象(1)中,在区间(-∞,+∞)上,y'=1>0,y=x是增函数.
图象(2)中,在区间(-∞,0)上,y'=2x<0,y=x2是减函数;在区间(0,+∞)上,y'=2x>0,y=x2是增函数.
图象(3)中,在区间(-∞,+∞)上,y'=3x2≥0,y=x3是增函数.
图象(4)中,在区间(-∞,0)和(0,+∞)上,y'=-<0,y=分别在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减.
新知生成
1.一般地,函数f(x)的单调性与其导数f'(x)有如下关系:
导数的符号 不等式的解集 函数的单调性 单调区间
f'(x)>0 (a,b) 单调递增 单调递增区间
f'(x)<0 (a,b) 单调递减 单调递减区间
2.对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明:
(1)若在某区间上有有限个点使f'(x)=0,在其余的点恒有f'(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似);
(2)f(x)为增函数的充要条件:对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f'(x)不恒为0.
新知运用
一、判断函数的单调性
例1　利用导数判断下列函数的单调性.
(1)f(x)=x3-x2+2x-5;
(2)f(x)=x--ln x;
(3)f(x)=x-ex(x>0).
【解析】　(1)因为函数f(x)=x3-x2+2x-5,所以f'(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,所以函数f(x)=x3-x2+2x-5在R上单调递增.
(2)因为函数f(x)=x--ln x,x∈(0,+∞),
所以f'(x)=1+-==>0,所以函数f(x)=x--ln x在(0,+∞)上单调递增.
(3)因为函数f(x)=x-ex,x∈(0,+∞),所以f'(x)=1-ex<0,所以函数f(x)=x-ex在(0,+∞)上单调递减.
【方法总结】　　利用导数判断或证明函数单调性的思路:利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性,实质上就是判断或证明不等式f'(x)>0(f'(x)<0)在给定区间上恒成立.一般步骤:①求导数f'(x);②判断f'(x)的符号;③给出单调性的结论.
特别提醒:如果出现个别点使f'(x)=0,不影响函数在包含这些点的某个区间内的单调性.
二、求函数的单调区间
例2　求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
【解析】　由题意可知,f'(x)=6x2-12x.
令f'(x)>0,解得x>2或x<0,
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(2,+∞);
令f'(x)<0,解得0所以函数f(x)的单调递减区间为(0,2).
【方法总结】　　求函数y=f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y=f(x)的定义域.
(2)求导数y'=f'(x).
(3)解不等式f'(x)>0,函数在解集与定义域的交集上单调递增.
(4)解不等式f'(x)<0,函数在解集与定义域的交集上单调递减.
求下列函数的单调区间.
(1)f(x)=x+sin x,x∈(0,2π);
(2)f(x)=2x-ln x.
【解析】　(1)由题意知,f'(x)=+cos x,令f'(x)>0,即+cos x>0,则cos x>-.
∵x∈(0,2π),∴解得0同理,令f'(x)<0,解得∴f(x)的单调递增区间为0,和,2π,单调递减区间为,.
(2)由题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2-.
令2->0,解得x>;令2-<0,解得0∴f(x)的单调递增区间为,+∞,单调递减区间为0,.
探究2 导函数图象与原函数图象间的关系
问题1:观察下图,试分析函数增长或减少的速度与导数的大小关系
【答案】　由图象可知若f'(x)>0,则函数f(x)单调递增,而导数值的大小不同决定了函数f(x)增长的快慢,显然f'(x)越大,函数f(x)增长的就越快;同样,若f'(x)<0,则函数f(x)单调递减,显然|f'(x)|越大,函数f(x)减少的就越快.
问题2:若函数f(x)在(a,b)上满足f'(x)>0(或f'(x)<0),则f(x)在(a,b)上具备什么样的单调性
【答案】　若f'(x)>0,则f(x)在(a,b)上单调递增;若f'(x)<0,则f(x)在(a,b)上单调递减.
问题3:若函数f(x)为可导函数,且在区间(a,b)上是单调递增(减)函数,则f'(x)满足什么条件
【答案】　f'(x)≥0(或f'(x)≤0).
新知生成
一般地,若函数y=f(x)为可导函数,则在区间(a,b)上有如下关系:
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 越快 比较“陡峭”
越小 越慢 比较“平缓”
新知运用
例3　已知f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,那么f(x)的图象最有可能是图中的(　　).
　　A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
【答案】　D
【解析】　由题图可知,当x<0和x>2时,导函数f'(x)<0,函数f(x)是单调递减的;当x∈(0,2)时,导函数f'(x)>0,函数f(x)是单调递增的,故函数f(x)的图象最有可能是图D.
【方法总结】　　研究函数与导函数图象之间关系的方法:研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素.对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
已知函数f(x)的导函数f'(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则函数f(x)的图象可能是(　　).
A B
C D
【答案】　D
【解析】　观察导函数f'(x)的图象可知,当x<0或x>x1时,f'(x)<0,函数f(x)在(-∞,0)和(x1,+∞)上单调递减;当00,函数f(x)在(0,x1)上单调递增.故选D.
【随堂检测】
1.函数f(x)=2x-sin x在R上是(　　).
A.增函数 B.减函数
C.先增后减 D.先减后增
【答案】　A
【解析】　f'(x)=2-cos x,∵cos x≤1,
∴f'(x)>0,∴f(x)在R上是增函数.
2.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f'(x)的图象可能是(　　).
　　　　　A　　　　　　　　　B
　　　　　C　　　　　　　　　D
【答案】　D
【解析】　由f(x)的图象可知,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,∴在(0,+∞)上,f'(x)<0,在(-∞,0)上,f'(x)>0.故选D.
3.函数f(x)=3+xln x的单调递增区间是　　　　.
【答案】　
【解析】　由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1,令f'(x)>0,即ln x+1>0,得x>,故函数f(x)的单调递增区间为.
4.函数f(x)=x+2cos x在x∈(0,π)上的单调递减区间是　　　　.
【答案】　,
【解析】　令f'(x)=1-2sin x<0,得sin x>,解得x∈+2kπ,+2kπ,k∈Z,
又x∈(0,π),所以x∈,.
21.3 课时1 函数的单调性与导数
【学习目标】
1.理解导数与函数的单调性的关系.(数学抽象、逻辑推理、直观想象)
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.(数学抽象、逻辑推理)
3.会用导数求函数的单调区间.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.我们知道判断函数y=x2的单调性可以用定义法、图象法,对于函数y=x3-3x,如何判断它的单调性呢
2.函数f(x)的单调性与它的导数有什么关系
3.如何利用导数求函数f(x)的单调区间
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则一定有f'(x)>0. (　　)
(2)若对于 x∈(a,b),f'(x)>0,则函数f(x)在(a,b)上单调递增. (　　)
(3)若 x∈(a,b),f'(x)=0,则函数f(x)在(a,b)上不单调. (　　)
(4)已知f(x)是定义在R上的可导函数,若对于 x≥a,f(x)≥f(a),则f'(a)≥0. (　　)
2.下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的是(　　).
A.y=sin x B.y=xex
C.y=x3-x D.y=ln x-x
3.已知函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间为　　　　.
4.证明函数f(x)=x+在(0,1)上单调递减.
【合作探究】
探究1 函数的单调性与导数
问题1:如图,这是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象以及其速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象,试说明运动员从起跳到最高点以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别
问题2:观察下面一些函数的图象,探究函数的单调性和导数正负的关系.
新知生成
1.一般地,函数f(x)的单调性与其导数f'(x)有如下关系:
导数的符号 不等式的解集 函数的单调性 单调区间
f'(x)>0 (a,b) 单调递增 单调递增区间
f'(x)<0 (a,b) 单调递减 单调递减区间
2.对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明:
(1)若在某区间上有有限个点使f'(x)=0,在其余的点恒有f'(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似);
(2)f(x)为增函数的充要条件:对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f'(x)不恒为0.
新知运用
一、判断函数的单调性
例1　利用导数判断下列函数的单调性.
(1)f(x)=x3-x2+2x-5;
(2)f(x)=x--ln x;
(3)f(x)=x-ex(x>0).
【方法总结】　　利用导数判断或证明函数单调性的思路:利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性,实质上就是判断或证明不等式f'(x)>0(f'(x)<0)在给定区间上恒成立.一般步骤:①求导数f'(x);②判断f'(x)的符号;③给出单调性的结论.
特别提醒:如果出现个别点使f'(x)=0,不影响函数在包含这些点的某个区间内的单调性.
二、求函数的单调区间
例2　求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
【方法总结】　　求函数y=f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y=f(x)的定义域.
(2)求导数y'=f'(x).
(3)解不等式f'(x)>0,函数在解集与定义域的交集上单调递增.
(4)解不等式f'(x)<0,函数在解集与定义域的交集上单调递减.
求下列函数的单调区间.
(1)f(x)=x+sin x,x∈(0,2π);
(2)f(x)=2x-ln x.
探究2 导函数图象与原函数图象间的关系
问题1:观察下图,试分析函数增长或减少的速度与导数的大小关系
问题2:若函数f(x)在(a,b)上满足f'(x)>0(或f'(x)<0),则f(x)在(a,b)上具备什么样的单调性
问题3:若函数f(x)为可导函数,且在区间(a,b)上是单调递增(减)函数,则f'(x)满足什么条件
新知生成
一般地,若函数y=f(x)为可导函数,则在区间(a,b)上有如下关系:
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 越快 比较“陡峭”
越小 越慢 比较“平缓”
新知运用
例3　已知f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,那么f(x)的图象最有可能是图中的(　　).
　　A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
【方法总结】　　研究函数与导函数图象之间关系的方法:研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素.对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
已知函数f(x)的导函数f'(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则函数f(x)的图象可能是(　　).
A B
C D
【随堂检测】
1.函数f(x)=2x-sin x在R上是(　　).
A.增函数 B.减函数
C.先增后减 D.先减后增
2.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f'(x)的图象可能是(　　).
　　　　　A　　　　　　　　　B
　　　　　C　　　　　　　　　D
3.函数f(x)=3+xln x的单调递增区间是　　　　.
4.函数f(x)=x+2cos x在x∈(0,π)上的单调递减区间是　　　　.
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