资源简介

1.3 课时2 函数的极值与导数
【学习目标】
1.了解函数极值的概念,会从几何直观的角度理解函数的极值与导数的关系,并会灵活应用.(数学抽象、逻辑推理、直观想象)
2.掌握函数极值的判定及求法.(逻辑推理、数学运算)
3.掌握函数在某一点取得极值的条件.(数学抽象、逻辑推理)
【自主预习】
已知y=f(x),y=g(x)的图象如图所示.
1.函数f(x)在(a,x0),(x0,b)上的单调性与导数的符号有何特点
【答案】　f(x)在(a,x0)上单调递增,其导数值大于零;在(x0,b)上单调递减,其导数值小于零.
2.观察y=f(x)的图象,在区间(a,b)内,函数值f(x0)有何特点 它是极大值吗
【答案】　f(x0)在(a,b)内为f(x)的最大值;是.
3.函数值f(x0)在定义域内是最大值吗
【答案】　不一定.
4.函数y=g(x)在(a,b)上有极大值、极小值吗
【答案】　y=g(x)在(a,b)上有极小值g(x0),无极大值.
5.结合教材的实例思考:函数的极大值一定大于极小值吗 在同一区间内极值点唯一吗
【答案】　函数的极大值与极小值并无确定的大小关系,一个函数的极大值未必大于极小值.在同一区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)x=0是函数y=x3的极值点. (　　)
(2)可导函数一定存在极值. (　　)
(3)若f'(x0)=0,则x=x0是函数y=f(x)的极值点. (　　)
(4)若x=x0是函数y=f(x)的极值点,则f'(x0)=0. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f'(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】　B
【解析】　由导函数的图象可知,f'(x)在(a,b)上与x轴的交点个数为4,但是在原点附近的导数值恒大于零,故x=0不是函数f(x)的极值点.其余的3个交点都是极值点,其中有2个点满足其附近的导数值左正右负,故极大值点有2个.
3.设函数f(x)=xex,则(　　).
A.x=1是f(x)的极大值点
B.x=1是f(x)的极小值点
C.x=-1是f(x)的极大值点
D.x=-1是f(x)的极小值点
【答案】　D
【解析】　对f(x)求导得f'(x)=ex+xex=ex(x+1),令f'(x)=0,解得x=-1,易知x=-1是函数f(x)的极小值点.
4.已知函数f(x)=3x-x3+m的极大值为10,则m的值为　　　.
【答案】　8
【解析】　f'(x)=3-3x2=3(1+x)(1-x),令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=1,经判断知x=1是极大值点,故f(1)=2+m=10,解得m=8.
【合作探究】
探究1 函数的极值
在必修课程中,我们已经研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题,但函数在定义域内某一点的附近,也存在着哪一点的函数值大、哪一点的函数值小的问题,如何利用导数的知识来判断函数在某点附近的函数值的大小问题
问题1:观察下列图形,函数y=f(x)在x=d,e,f,g,h,i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系
【答案】　以x=d,e两点为例,函数y=f(x)在点x=d处的函数值f(d)比它在点x=d附近其他点的函数值都小,函数y=f(x)在点x=e处的函数值f(e)比它在点x=e附近其他点的函数值都大.
问题2:y=f(x)在点x=d,e处的导数值是多少
【答案】　0.
问题3:在点x=d,e附近,y=f(x)的导数的符号有什么规律
【答案】　在点x=d附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0.类似地,在点x=e附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0.
问题4:导函数的零点是否一定是函数的极值点呢
【答案】　不一定.例如,函数f(x)=x3的导函数f'(x)=3x2有零点,但f(x)=x3是增函数,没有极值点,如图.由此可见,导函数的零点可能不是函数的极值点.也就是说,若f'(c)存在,则f'(c)=0是f(x)在x=c处取到极值的必要条件,但不是充分条件.
新知生成
1.极大值点与极大值
设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是(a,b)内的一个点,若点x0附近的函数值都小于或等于f(x0)(即f(x)≤f(x0),x∈(a,b)),我们就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值,此时x0称为f(x)的一个极大值点.
2.极小值点与极小值
设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是(a,b)内的一个点,若点x0附近的函数值都大于或等于f(x0)(即f(x)≥f(x0),x∈(a,b)),我们就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值,此时x0称为f(x)的一个极小值点.
3.极值与导数的关系
函数在极值点的导数为0,导函数的零点可能不是函数的极值点.
4.驻点
若f'(c)=0,则x=c叫作函数f(x)的驻点.对可导函数而言,极值点一定是驻点,而驻点不一定是极值点.如果一个函数在驻点的两侧单调性互异,即函数的导数在驻点的两侧变号,那么该驻点就是此函数的一个极值点.
新知运用
例1　求下列函数的驻点,并判断其是不是极值点.若是,求出对应的极值;若不是,请说明理由.
(1)f(x)=x3-3x2-9x+5;
(2)f(x)=x2-2ln x.
【解析】　(1)由题意得,f'(x)=3x2-6x-9,
令f'(x)=0,即3x2-6x-9=0,
解得x=-1或x=3,
即函数f(x)的驻点为x=-1和x=3.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以x=-1是f(x)的极大值点,且极大值为f(-1)=10;
x=3是f(x)的极小值点,且极小值为f(3)=-22.
(2)由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-,
令f'(x)=0,即2x-=0,
解得x=1或x=-1(舍去),
即函数f(x)的驻点为x=1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以x=1是f(x)的极小值点,且极小值为f(1)=1,无极大值点.
【方法总结】　　求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域,求f'(x).
(2)求方程f'(x)=0的根.
(3)函数的导数为0的点,顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格.检测f'(x)在方程根左、右两侧的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左、右两侧不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.
求下列函数的驻点,并判断其是不是极值点.若是,求出对应的极值;若不是,请说明理由.
(1)f(x)=4x3+x2+2x+6;
(2)f(x)=-2.
【解析】　(1)由题意得,f'(x)=12x2+2x+2,
令f'(x)=0,即12x2+2x+2=0,Δ<0,故方程无解,
所以f'(x)>0在R上恒成立,
故函数f(x)没有驻点,无极值点,无极值.
(2)由题意得,函数f(x)的定义域为R,
f'(x)==-.
令f'(x)=0,即-=0,
解得x=-1或x=1,
即函数f(x)的驻点为x=-1和x=1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
所以x=-1是f(x)的极小值点,且极小值为f(1)=-3;
x=1是f(x)的极大值点,且极大值为f(1)=-1.
探究2 求含参函数的极值
例2　已知函数f(x)=x-aln x(a∈R),求函数f(x)的极值.
【解析】　由f'(x)=1-=(x>0)知,
①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;
②当a>0时,令f'(x)=0,解得x=a,
又当x∈(0,a)时,f'(x)<0,
当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,
所以函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.
综上所述,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.　
【方法总结】　　求解析式中含有参数的函数极值时,有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.讨论的依据有两种:一是看参数是否对f'(x)的零点有影响,若有影响,则需要分类讨论;二是看f'(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关,若有关,则需要分类讨论.
已知函数f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,求f(x)的极值.
【解析】　f'(x)=48x2-40ax+8a2=8(6x2-5ax+a2)=8(2x-a)(3x-a),且a≠0,
令f'(x)=0,得x1=,x2=.
①当a>0时,<,则随着x的变化,f'(x),f(x)的变化情况如表所示:
x -∞, , ,+∞
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ ↘ 0 ↗
∴当x=时,函数f(x)取得极大值,极大值为f=;
当x=时,函数f(x)取得极小值,极小值为f=0.
②当a<0时,<,则随着x的变化,f'(x),f(x)的变化情况如表所示:
x -∞, , ,+∞
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 0 ↘ ↗
∴当x=时,函数f(x)取得极大值,极大值为f=0;
当x=时,函数f(x)取得极小值,极小值为f=.
综上所述,当a>0时,函数f(x)在x=处取得极大值,在x=处取得极小值0;当a<0时,函数f(x)在x=处取得极大值0,在x=处取得极小值.
探究3 由极值求参数的值或取值范围
例3　已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.
(1)试确定常数a,b的值;
(2)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值.
【解析】　(1)f'(x)=3ax2+2bx-3,
依题意,f'(1)=f'(-1)=0,
即解得
(2)由(1)可知,f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).
由题意得,x=±1为f(x)的两个极值点,
且若x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增;若x∈(-1,1),则f'(x)<0,故f(x)在(-1,1)上单调递减.
因此f(-1)=2是函数f(x)的极大值,f(1)=-2是函数f(x)的极小值.
例4　已知函数f(x)=-x3+kx有极大值,则k的值为　　　　.
【答案】　2
【解析】　f'(x)=-x2+k,当k≤0时,f'(x)≤0,函数f(x)的极值不存在.
当k>0时,令f'(x)=0,即-x2+k=0,得x=±.当x∈(-∞,-)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(-∞,-)上单调递减;当x∈(-,)时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(-,)上单调递增;当x∈(,+∞)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(,+∞)上单调递减.故当x=时,f(x)取得极大值,极大值为f()=-()3+k=,解得k=2.
【方法总结】　　已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题,解题的切入点是极值存在的条件:极值点处的导数值为0,极值点两侧的导数值异号.
注意:求出参数后,一定要验证是否满足题目的条件.
(2)对于函数无极值的问题,往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题,即转化为f'(x)≥0或f'(x)≤0在某区间内恒成立的问题,此时需注意不等式中的等号是否成立.
若函数f(x)=2x3-6x+k在R上只有一个零点,求实数k的取值范围.
【解析】　f(x)=2x3-6x+k,则f'(x)=6x2-6,
令f'(x)=0,得x=-1或x=1,
可知f(x)在(-1,1)上单调递减,在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,
所以f(x)的极大值为f(-1)=4+k,极小值为f(1)=-4+k.
要使函数f(x)只有一个零点,
只需4+k<0或-4+k>0(如图所示),
即k<-4或k>4.
故实数k的取值范围为(-∞,-4)∪(4,+∞).
【随堂检测】
1.(多选题)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列判断正确的是(　　).
A.在(-2,1)上f(x)是增函数
B.在(1,3)上f(x)是减函数
C.当x=2时,f(x)取得极大值
D.x=4是函数f(x)的驻点
【答案】　CD
【解析】　由y=f'(x)的图象可得y=f(x)的大致图象如图所示.
由图可知,AB错误,C正确.
又f'(4)=0,所以x=4是函数f(x)的驻点.
故选CD.
2.函数f(x)=x2-ln x的极值点为(　　).
A.0,1,-1 B.
C.- D.,-
【答案】　B
【解析】　由已知得,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=3x-=,令f'(x)=0,得x=或x=-(舍去).当x>时,f'(x)>0;当03.设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值;
(2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.
【解析】　(1)f'(x)=+2bx+1.
由极值点的必要条件可知,f'(1)=f'(2)=0,
∴解得
(2)由(1)知f(x)=-ln x-x2+x,定义域是(0,+∞),
∴f'(x)=-x-1-x+1=-.
当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,2)时,f'(x)>0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)<0.
∴x=1是函数f(x)的极小值点,x=2是函数f(x)的极大值点.
21.3 课时2 函数的极值与导数
【学习目标】
1.了解函数极值的概念,会从几何直观的角度理解函数的极值与导数的关系,并会灵活应用.(数学抽象、逻辑推理、直观想象)
2.掌握函数极值的判定及求法.(逻辑推理、数学运算)
3.掌握函数在某一点取得极值的条件.(数学抽象、逻辑推理)
【自主预习】
已知y=f(x),y=g(x)的图象如图所示.
1.函数f(x)在(a,x0),(x0,b)上的单调性与导数的符号有何特点
2.观察y=f(x)的图象,在区间(a,b)内,函数值f(x0)有何特点 它是极大值吗
3.函数值f(x0)在定义域内是最大值吗
4.函数y=g(x)在(a,b)上有极大值、极小值吗
5.结合教材的实例思考:函数的极大值一定大于极小值吗 在同一区间内极值点唯一吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)x=0是函数y=x3的极值点. (　　)
(2)可导函数一定存在极值. (　　)
(3)若f'(x0)=0,则x=x0是函数y=f(x)的极值点. (　　)
(4)若x=x0是函数y=f(x)的极值点,则f'(x0)=0. (　　)
2.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f'(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
3.设函数f(x)=xex,则(　　).
A.x=1是f(x)的极大值点
B.x=1是f(x)的极小值点
C.x=-1是f(x)的极大值点
D.x=-1是f(x)的极小值点
4.已知函数f(x)=3x-x3+m的极大值为10,则m的值为　　　.
【合作探究】
探究1 函数的极值
在必修课程中,我们已经研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题,但函数在定义域内某一点的附近,也存在着哪一点的函数值大、哪一点的函数值小的问题,如何利用导数的知识来判断函数在某点附近的函数值的大小问题
问题1:观察下列图形,函数y=f(x)在x=d,e,f,g,h,i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系
问题2:y=f(x)在点x=d,e处的导数值是多少
问题3:在点x=d,e附近,y=f(x)的导数的符号有什么规律
问题4:导函数的零点是否一定是函数的极值点呢
新知生成
1.极大值点与极大值
设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是(a,b)内的一个点,若点x0附近的函数值都小于或等于f(x0)(即f(x)≤f(x0),x∈(a,b)),我们就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值,此时x0称为f(x)的一个极大值点.
2.极小值点与极小值
设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是(a,b)内的一个点,若点x0附近的函数值都大于或等于f(x0)(即f(x)≥f(x0),x∈(a,b)),我们就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值,此时x0称为f(x)的一个极小值点.
3.极值与导数的关系
函数在极值点的导数为0,导函数的零点可能不是函数的极值点.
4.驻点
若f'(c)=0,则x=c叫作函数f(x)的驻点.对可导函数而言,极值点一定是驻点,而驻点不一定是极值点.如果一个函数在驻点的两侧单调性互异,即函数的导数在驻点的两侧变号,那么该驻点就是此函数的一个极值点.
新知运用
例1　求下列函数的驻点,并判断其是不是极值点.若是,求出对应的极值;若不是,请说明理由.
(1)f(x)=x3-3x2-9x+5;
(2)f(x)=x2-2ln x.
【方法总结】　　求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域,求f'(x).
(2)求方程f'(x)=0的根.
(3)函数的导数为0的点,顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格.检测f'(x)在方程根左、右两侧的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左、右两侧不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.
求下列函数的驻点,并判断其是不是极值点.若是,求出对应的极值;若不是,请说明理由.
(1)f(x)=4x3+x2+2x+6;
(2)f(x)=-2.
探究2 求含参函数的极值
例2　已知函数f(x)=x-aln x(a∈R),求函数f(x)的极值.
【方法总结】　　求解析式中含有参数的函数极值时,有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.讨论的依据有两种:一是看参数是否对f'(x)的零点有影响,若有影响,则需要分类讨论;二是看f'(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关,若有关,则需要分类讨论.
已知函数f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,求f(x)的极值.
探究3 由极值求参数的值或取值范围
例3　已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.
(1)试确定常数a,b的值;
(2)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值.
例4　已知函数f(x)=-x3+kx有极大值,则k的值为　　　　.
【方法总结】　　已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题,解题的切入点是极值存在的条件:极值点处的导数值为0,极值点两侧的导数值异号.
注意:求出参数后,一定要验证是否满足题目的条件.
(2)对于函数无极值的问题,往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题,即转化为f'(x)≥0或f'(x)≤0在某区间内恒成立的问题,此时需注意不等式中的等号是否成立.
若函数f(x)=2x3-6x+k在R上只有一个零点,求实数k的取值范围.
【随堂检测】
1.(多选题)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列判断正确的是(　　).
A.在(-2,1)上f(x)是增函数
B.在(1,3)上f(x)是减函数
C.当x=2时,f(x)取得极大值
D.x=4是函数f(x)的驻点
2.函数f(x)=x2-ln x的极值点为(　　).
A.0,1,-1 B.
C.- D.,-
3.设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值;
(2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.
2

展开更多......

收起↑