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1.3 课时3 三次函数的性质：单调区间和极值
【学习目标】
1.会求三次函数的单调区间和极值.(数学运算)
2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).(直观想象、数学运算)
【自主预习】
1.根据三次函数的性质能否画出其图象草图
2.在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,想一想,在[a,b]上一定存在最值和极值吗 在区间(a,b)上呢
3.如何求连续函数f(x)在[a,b]上的最值
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)一般地,连续函数f(x)在[a,b]上既有最大值,又有最小值. (　　)
(2)函数y=x3-6x的极大值为4. (　　)
(3)函数f(x)=x3-3x2+1的极小值点为0. (　　)
(4)极大(小)值一定是函数的最大(小)值. (　　)
2.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,且f(x)在x=-3处取得极值,则a=(　　).
A.2 B.3 C.4 D.5
3.函数f(x)=x3-3x2+6x-10在区间[-1,1]上的最大值为　　　　.
【合作探究】
探究1 三次函数的单调区间和极值
某数学兴趣小组对形如f(x)=x3-x2+2x+1的三次函数的性质进行研究.
问题1:求函数f(x)的单调区间、极大值.
问题2:求函数f(x)在区间(1,3)上的最小值.
新知生成
设F(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则F'(x)=3ax2+2bx+c.
可能有以下三种情形:
情形1:函数F'(x)没有零点,F'(x)在(-∞,+∞)上不变号.
若a>0,则F'(x)恒为正,F(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
若a<0,则F'(x)恒为负,F(x)在(-∞,+∞)上单调递减.
情形2:函数F'(x)有一个零点x=ω.
根据二次函数的性质:
若a>0,则F'(x)在(-∞,ω)∪(ω,+∞)上恒为正,F(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
若a<0,则F'(x)在(-∞,ω)∪(ω,+∞)上恒为负,F(x)在(-∞,+∞)上单调递减.
情形3:函数F'(x)有两个零点x=u和x=v,设u根据二次函数的性质:
若a>0,则F'(x)在(-∞,u)和(v,+∞)上为正,在(u,v)上为负,对应地,F(x)在(-∞,u)上单调递增,在(u,v)上单调递减,在(v,+∞)上单调递增.
可见F(x)在x=u处取得极大值,在x=v处取得极小值.
若a<0,则F'(x)在(-∞,u)和(v,+∞)上为负,在(u,v)上为正,对应地,F(x)在(-∞,u)上单调递减,在(u,v)上单调递增,在(v,+∞)上单调递减.
可见F(x)在x=u处取得极小值,在x=v处取得极大值.
新知运用
例1　已知函数f(x)=-ax3+x2+1.
(1)当a=1时,求f(x)的极值;
(2)讨论f(x)的单调性.
【方法总结】　　求三次函数的单调区间与极值的问题,求导后转化为一元二次方程及一元二次不等式的问题去解决.
已知函数f(x)=-x3+3x+a,a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)的极值.
探究2 三次函数的最值问题
例2　已知函数f(x)=-x3+ax2+bx,当x=-1时取得极小值,当x=时取得极大值.
(1)求曲线y=f(x)在x=-2处的切线方程;
(2)求函数y=f(x)在[-2,1]上的最大值与最小值.
【方法总结】　　求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上最值的一般步骤:
(1)求f'(x);
(2)求方程 f'(x)=0的根x1,x2,…(不在定义域内的要舍去);
(3)求f(x1),f(x2),…及f(a),f(b);
(4)比较上述函数值的大小,最大的为最大值,最小的为最小值.
注意:求函数最值时不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较.
已知函数f(x)=x3-ax2-a2x.求函数f(x)在[0,+∞)上的最小值.
探究3 由函数的最值求参数问题
例3　已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,是否存在实数a,b,使f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29 若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
【方法总结】　　已知函数的最值求参数,可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值,通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值.结合已知求出参数,进而使问题得以解决.要注意极值点是否在区间内.
已知a,b为常数且a>0,f(x)=x3+(1-a)x2-3ax+b.函数f(x)的极大值为2,且在区间[0,3]上的最小值为-2a+b,求a,b的值.
【随堂检测】
1.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值,则常数c的值为(　　).
A.2 B.6 C.2或6 D.1
2.f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是(　　).
A.-2 B.0 C.2 D.4
3.若函数f(x)=x3+2ax2+ax-1在(0,1)上存在唯一极值点,则实数a的取值范围是　　　　.
4.已知函数f(x)=x3-x2+ax+1在x=1处有极小值,求函数f(x)在区间-2,上的最大值.
21.3 课时3 三次函数的性质：单调区间和极值
【学习目标】
1.会求三次函数的单调区间和极值.(数学运算)
2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).(直观想象、数学运算)
【自主预习】
1.根据三次函数的性质能否画出其图象草图
【答案】　根据三次函数的单调性、极值可以画出其图象草图.
2.在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,想一想,在[a,b]上一定存在最值和极值吗 在区间(a,b)上呢
【答案】　函数y=f(x)在[a,b]上一定有最值,但不一定有极值.如果函数f(x)在[a,b]上是单调函数,那么f(x)在[a,b]上无极值;如果f(x)在[a,b]上不是单调函数,那么f(x)在[a,b]上有极值.当f(x)在(a,b)上是单调函数时,它既没有最值也没有极值.
3.如何求连续函数f(x)在[a,b]上的最值
【答案】　求出函数f(x)在[a,b]上的极值和端点值,然后进行比较,最大者为最大值,最小者为最小值.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)一般地,连续函数f(x)在[a,b]上既有最大值,又有最小值. (　　)
(2)函数y=x3-6x的极大值为4. (　　)
(3)函数f(x)=x3-3x2+1的极小值点为0. (　　)
(4)极大(小)值一定是函数的最大(小)值. (　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,且f(x)在x=-3处取得极值,则a=(　　).
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】　D
【解析】　f'(x)=3x2+2ax+3,又f(x)在x=-3处取得极值,所以f'(-3)=0,即3×(-3)2-6a+3=0,解得a=5.
3.函数f(x)=x3-3x2+6x-10在区间[-1,1]上的最大值为　　　　.
【答案】　-6
【解析】　因为f'(x)=3x2-6x+6=3(x-1)2+3>0,
所以函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增,
所以当x=1时,函数f(x)取得最大值,最大值为f(1)=-6.
【合作探究】
探究1 三次函数的单调区间和极值
某数学兴趣小组对形如f(x)=x3-x2+2x+1的三次函数的性质进行研究.
问题1:求函数f(x)的单调区间、极大值.
【答案】　由已知得f'(x)=x2-3x+2,令f'(x)=0,得x=1或x=2.
当12或x<1时,f'(x)>0.
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1)和(2,+∞),单调递减区间为(1,2).所以函数的极大值为f(1)=.
问题2:求函数f(x)在区间(1,3)上的最小值.
【答案】　由问题1可知函数f(x)在区间(1,3)上的最小值为f(2)=-×22+2×2+1=.
新知生成
设F(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则F'(x)=3ax2+2bx+c.
可能有以下三种情形:
情形1:函数F'(x)没有零点,F'(x)在(-∞,+∞)上不变号.
若a>0,则F'(x)恒为正,F(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
若a<0,则F'(x)恒为负,F(x)在(-∞,+∞)上单调递减.
情形2:函数F'(x)有一个零点x=ω.
根据二次函数的性质:
若a>0,则F'(x)在(-∞,ω)∪(ω,+∞)上恒为正,F(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
若a<0,则F'(x)在(-∞,ω)∪(ω,+∞)上恒为负,F(x)在(-∞,+∞)上单调递减.
情形3:函数F'(x)有两个零点x=u和x=v,设u根据二次函数的性质:
若a>0,则F'(x)在(-∞,u)和(v,+∞)上为正,在(u,v)上为负,对应地,F(x)在(-∞,u)上单调递增,在(u,v)上单调递减,在(v,+∞)上单调递增.
可见F(x)在x=u处取得极大值,在x=v处取得极小值.
若a<0,则F'(x)在(-∞,u)和(v,+∞)上为负,在(u,v)上为正,对应地,F(x)在(-∞,u)上单调递减,在(u,v)上单调递增,在(v,+∞)上单调递减.
可见F(x)在x=u处取得极小值,在x=v处取得极大值.
新知运用
例1　已知函数f(x)=-ax3+x2+1.
(1)当a=1时,求f(x)的极值;
(2)讨论f(x)的单调性.
【解析】　(1)当a=1时,f(x)=-x3+x2+1,则f'(x)=-x2+2x=-x(x-2).
令f'(x)=0,得x=0或x=2,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间为(0,2).
∴当x=0时,函数f(x)取得极小值,极小值为f(0)=1;
当x=2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(2)=.
(2)∵f(x)=-ax3+x2+1,∴f'(x)=-ax2+2x.
①当a=0时,f(x)=x2+1,f'(x)=2x.
令f'(x)<0,得x<0;令f'(x)>0,得x>0.
∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).
②当a<0时,令f'(x)>0,得x<或x>0;令f'(x)<0,得∴函数f(x)的单调递增区间为-∞,和(0,+∞),单调递减区间为,0.
③当a>0时,令f'(x)>0,得0.
∴函数f(x)的单调递增区间为0,,单调递减区间为(-∞,0)和,+∞.
综上所述,当a=0时,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞);
当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为-∞,和(0,+∞),单调递减区间为,0;
当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为0,,单调递减区间为(-∞,0)和,+∞.
【方法总结】　　求三次函数的单调区间与极值的问题,求导后转化为一元二次方程及一元二次不等式的问题去解决.
已知函数f(x)=-x3+3x+a,a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)的极值.
【解析】　(1)由题意可知,f(x)的定义域为(-∞,+∞).
f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1).
令f'(x)>0,即-3(x+1)(x-1)>0,解得-1令f'(x)<0,即-3(x+1)(x-1)<0,解得x<-1或x>1.
所以函数f(x)的单调递增区间为(-1,1),单调递减区间为(-∞,-1)和(1,+∞).
(2)由题意可知,f(x)的定义域为(-∞,+∞).
f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1),
令f'(x)=0,即-3(x+1)(x-1)=0,解得x=-1或x=1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
所以f(x)的极小值为f(-1)=-(-1)3+3×(-1)+a=a-2,极大值为f(1)=-13+3×1+a=a+2.
探究2 三次函数的最值问题
例2　已知函数f(x)=-x3+ax2+bx,当x=-1时取得极小值,当x=时取得极大值.
(1)求曲线y=f(x)在x=-2处的切线方程;
(2)求函数y=f(x)在[-2,1]上的最大值与最小值.
【解析】　(1)∵函数f(x)=-x3+ax2+bx,
∴f'(x)=-3x2+2ax+b.
又x=-1,x=分别对应函数取得极小值、极大值,
∴-1,为方程-3x2+2ax+b=0的两个根,
∴由韦达定理知解得
∴f(x)=-x3-x2+2x,f'(x)=-3x2-x+2.
当x=-2时,f(-2)=2,即切点为(-2,2).
又切线斜率k=f'(-2)=-8,
故所求切线方程为y-2=-8(x+2),即8x+y+14=0.
(2)当x变化时,f'(x)及f(x)的变化情况如下表:
x -2 (-2, -1) -1 -1, ,1 1
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 2 ↘ - ↗ ↘
∵当x=-1时,函数f(x)取得极小值,极小值为f(-1)=-;当x=时,函数f(x)取得极大值,极大值为f=.
又∵f(-2)=2,f(1)=,-<<<2,
∴函数f(x)在[-2,1]上的最大值为2,最小值为-.
【方法总结】　　求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上最值的一般步骤:
(1)求f'(x);
(2)求方程 f'(x)=0的根x1,x2,…(不在定义域内的要舍去);
(3)求f(x1),f(x2),…及f(a),f(b);
(4)比较上述函数值的大小,最大的为最大值,最小的为最小值.
注意:求函数最值时不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较.
已知函数f(x)=x3-ax2-a2x.求函数f(x)在[0,+∞)上的最小值.
【解析】　f'(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a),
令f'(x)=0,解得x1=-,x2=a.
①当a>0时,f(x)在[0,a)上单调递减,在[a,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(a)=-a3.
②当a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(0)=0.
③当a<0时,f(x)在0,-上单调递减,在-,+∞上单调递增,所以f(x)min=f-=.
综上所述,当a>0时,f(x)的最小值为-a3;
当a=0时,f(x)的最小值为0;
当a<0时,f(x)的最小值为.
探究3 由函数的最值求参数问题
例3　已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,是否存在实数a,b,使f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29 若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
【解析】　存在.显然a≠0,f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),且x∈[-1,2],令f'(x)=0,解得x1=0,x2=4(舍去).
①若a>0,则当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示:
x [-1,0) 0 (0,2]
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
∴当x=0时,f(x)取得极大值,同时也是最大值,
∴f(0)=b=3.
又∵f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,f(-1)>f(2),
∴当x=2时,f(x)取得最小值,即-16a+3=-29,解得a=2.
②若a<0,则当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示:
x [-1,0) 0 (0,2]
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
∴当x=0时,f(x)取得极小值,同时也是最小值,∴f(0)=b=-29.
又∵f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29,f(2)>f(-1),∴当x=2时,f(x)取得最大值,即-16a-29=3,解得a=-2.
综上所述,a=2,b=3或a=-2,b=-29.
【方法总结】　　已知函数的最值求参数,可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值,通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值.结合已知求出参数,进而使问题得以解决.要注意极值点是否在区间内.
已知a,b为常数且a>0,f(x)=x3+(1-a)x2-3ax+b.函数f(x)的极大值为2,且在区间[0,3]上的最小值为-2a+b,求a,b的值.
【解析】　f'(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x-a)(x+1).
令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=a.
∵a>0,∴x1当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示:
x (-∞,-1) -1 (-1,a) a (a,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴当x=-1时,f(x)取极大值2,即3a+2b=3.
①当0∴f(a)为最小值,且f(a)=-a3-a2+b,
即-a3-a2+b=-2a+b,解得a=1或a=0(舍去)或a=-4(舍去).
又3a+2b=3,∴b=0,
∴a=1,b=0.
②当a≥3时,可知f(x)在[0,3]上单调递减,
∴f(3)为[0,3]上的最小值,
∴f(3)=27+(1-a)-9a+b=-2a+b.
∴解得a=,
∵<3,∴此时没有符合条件的a,b.
综上所述,满足题意的a的值为1,b的值为0.
【随堂检测】
1.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值,则常数c的值为(　　).
A.2 B.6 C.2或6 D.1
【答案】　A
【解析】　∵函数f(x)=x(x-c)2,∴f'(x)=3x2-4cx+c2,
又f(x)=x(x-c)2在x=2处有极值,
∴f'(2)=12-8c+c2=0,解得c=2或c=6,
又由函数在x=2处有极小值,故c=2.
当c=6时,函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,
2.f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是(　　).
A.-2 B.0 C.2 D.4
【答案】　C
【解析】　f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0可得x=0或x=2(舍去),
当-1≤x<0时,f'(x)>0,当0所以当x=0时,f(x)取得极大值,也为最大值,最大值为2.
3.若函数f(x)=x3+2ax2+ax-1在(0,1)上存在唯一极值点,则实数a的取值范围是　　　　.
【答案】　-,0
【解析】　由题意得f'(x)=3x2+4ax+a,
若函数f(x)在(0,1)上存在唯一极值点,则f'(0)·f'(1)<0,即a·(3+4a+a)<0,解得-4.已知函数f(x)=x3-x2+ax+1在x=1处有极小值,求函数f(x)在区间-2,上的最大值.
【解析】　f'(x)=3x2-x+a,因为函数f(x)在x=1处有极小值,
所以f'(1)=3-1+a=0,解得a=-2,
所以f(x)=x3-x2-2x+1,
令f'(x)=3x2-x-2=0,解得x=1或x=-,
当x<-或x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当-0,f(x)单调递减,
所以f(x)在-2,-,1,上单调递增,在-,1上单调递减,
f-=-3-×-2-2×-+1=,
f=3-×2-2×+1=,
因为f-=>f=,
所以函数f(x)在区间-2,上的最大值为.
2

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