资源简介

1.3 课时4 导数的应用举例
【学习目标】
1.掌握解决有关函数最大值、最小值的实际问题的方法.(数学运算)
2.提高用有关求函数的最大值、最小值的知识解决一些实际问题的能力.(数学建模、数学运算)
【自主预习】
某厂家计划用一种材料生产一种盛500 mL溶液的圆柱形易拉罐.
1.生产这种易拉罐,如何计算材料用量多少呢
【答案】　计算出圆柱的表面积即可.
2.如何制作使用材料才能最省
【答案】　要使用料最省,只需圆柱的表面积最小.可设圆柱的底面半径为x,则圆柱的表面积S=2πx2+(x>0),求S的最小值时,只需知道圆柱的半径、高即可.
3.在实际问题中,如果在定义域内函数只有一个极值点,那么函数在该点处取最值吗
【答案】　根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.
1.某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y=f(x),且f'(100)=-1,这个数据说明在第100天时,(　　).
A.公司已经亏损
B.公司的盈利在增加
C.公司的盈利在逐渐减少
D.公司有时盈利有时亏损
【答案】　C
【解析】　因为f'(100)=-1,所以函数f(x)的图象在x=100处的切线的斜率为负值,说明公司的盈利在逐渐减少.
2.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　).
A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件
【答案】　C
【解析】　y'=-x2+81,令y'=0,解得x=9或x=-9(舍去).当00;当x>9时,y'<0.所以当x=9时,y取得最大值.
【合作探究】
探究1 面积、容（体）积有关的最值问题
例1　如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.
(1)求包装盒的容积V(x)关于x的函数表达式,并求出函数的定义域.
(2)当x为多少时,包装盒的容积V(x)最大 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
【解析】　(1)设包装盒的高为h cm, 底面边长为a cm,
则a=x,h=(30-x),0所以V=a2h=2(-x3+30x2)=-2x3+60x2,
其定义域为{x|0(2)由V=2(-x3+30x2),可得V'=6x(20-x).
令V'=0,解得x=20.
当x∈(0,20)时,V'>0;当x∈(20,30)时,V'<0.
所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值,最大值为8000.
故当x=20时,包装盒的容积最大,最大值为8000 cm3,此时a=20,h=10,故包装盒的高与底面边长的比值为=.
【方法总结】　　解决面积、容积的最值问题,要正确引入变量,将面积或容积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值.
如图所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,当这个正六棱柱容器的底面边长为　　　　时,其容积最大.
【答案】　
【解析】　设被切去的全等四边形的一边长为x,如图所示,则正六棱柱的底面边长为1-2x,高为x,
所以正六棱柱的体积V=6×(1-2x)2·x=(4x3-4x2+x)0令V'=0,得x=(舍去)或x=,
所以当x∈0,时,V'>0;当x∈,时,V'<0.
故当x=时,V有极大值,也是最大值,此时正六棱柱的底面边长为.
探究2 费用（用材）最省问题
例2　某网球中心欲建连成片的网球场数块,用128万元购买土地10000平方米,该中心每块球场的建设面积为1000平方米,球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关,当该中心建球场x块时,每平方米的平均建设费用(单位:元)可近似地用f(x)=8001+ln x来刻画.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和),该网球中心应建几个球场
【解析】　设建成x个球场,1≤x≤10,且x∈N,则每平方米的购地费用为=(元),因为每平方米的平均建设费用(单位:元)可近似地用f(x)=8001+ln x来表示,
所以每平方米的综合费用为g(x)=f(x)+=800+160ln x+(1≤x≤10),
所以g'(x)=(1≤x≤10),
令g'(x)=0,解得x=8,
当1≤x<8时,g'(x)<0;当80.
所以当x=8时,函数取得极小值,且为最小值.
故当建成8个球场时,每平方米的综合费用最省.
【方法总结】　　实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.根据f'(x)=0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后,若函数在该点附近满足左减右增,则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值.
统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(单位:升)关于行驶速度x(单位:千米/时)的函数【解析】式可以表示为y=x3-x+8,x∈(0,120],且甲、乙两地相距100千米,则当汽车以　　　　千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少.
【答案】　80
【解析】　设速度为x千米/时,则汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为f(x)升,则
f(x)=x3-x+8·
=x2+-,x∈(0,120],
故f'(x)=-=(0令f'(x)=0,得x=80,
当x∈(0,80)时,f'(x)<0,该函数单调递减;当x∈(80,120]时,f'(x)>0,该函数单调递增.
所以当x=80时,f(x)取得最小值.
故当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少.
探究3 利润最大问题
例3　生产某产品的全部成本c(单位:万元)与产品的件数x(单位:件)满足函数关系c=1200+x3.该产品单价p(单位:万元)的平方与生产的产品件数x(单位:件)成反比,现已知生产该产品100件时,其单价p=50万元,且工厂生产的产品都可以销售完.设工厂生产该产品的利润为f(x)(单位:万元).(注:利润=销售额-成本)
(1)求函数y=f(x)的表达式;
(2)当生产该产品的件数x为多少时,工厂生产该产品的利润最大
【解析】　(1)依题意,设p2=,代入x=100,p=50得k=250000,
所以p2=,得p=,
故f(x)=px-1200+x3=500-x3-1200(x>0且x∈N).
(2)由(1)得f'(x)=-x2,
令f'(x)=0,解得x=25.
当x∈(0,25)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(25,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
所以函数f(x)在x=25处有极大值.
因为f(x)在(0,+∞)上只有唯一极值,所以函数f(x)在x=25处取得最大值.
故当生产该产品的件数为25时,工厂生产该产品的利润最大.
【方法总结】　　1.关于利润问题常用的两个等量关系:①利润=收入-成本;②利润=每件产品的利润×销售件数.
2.实际生活中利润最大问题都需要利用导数求解相应函数的最大值,此时根据f'(x)=0求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点),若函数满足左增右减,此时唯一的极大值就是所求函数的最大值.
某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线,现要通过技术改造来提高其生产能力,进而提高产品的增加值.已知投入x万元用于技术改造,所获得的产品的增加值为(60-x)x2万元,并且技术改造投入比率∈(0,5].
(1)求技术改造投入x的取值范围.
(2)当技术改造投入为多少万元时,所获得的产品的增加值最大 最大值为多少万元
【解析】　(1)由题意,∈(0,5],x>0,
所以0所以技术改造投入x的取值范围是(0,50].
(2)设f(x)=(60-x)x2,x∈(0,50],
则f'(x)=-3x(x-40),
当00;当40所以当x=40时,函数取得极大值,也是最大值,即最大值为32000万元.
故当技术改造投入为40万元时,所获得的产品的增加值最大,最大值为32000万元.
【随堂检测】
1.一质点沿直线运动,如果由始点出发,经过t秒后的距离为s=t3-2t2,那么速度为0的时刻是(　　).
A.1秒末 B.0秒
C.2秒末 D.0秒或1秒末
【答案】　D
【解析】　由题意可得t≥0,s'=4t2-4t,令s'=0,解得t1=0,t2=1.
2.某公司生产一种产品,固定成本为20000元,每生产一个单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)=-+400x(0≤x≤390),则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是(　　).
A.150 B.200 C.250 D.300
【答案】　D
【解析】　由题意可得总利润P(x)=-+300x-20000,0≤x≤390,
则P'(x)=-+300.
由P'(x)=0,得x=300.
当0≤x<300时,P'(x)>0;当3003.某箱子的体积V与底面边长x的关系为V(x)=x2·(0A.30 B.40 C.50 D.55
【答案】　B
【解析】　由题意得V'(x)=-x2+60x=-x(x-40),0当00,V(x)单调递增;
当40所以当x=40时,V(x)取得最大值,即当箱子的体积最大时,箱子的底面边长为40.
4.某产品的销售收入y1(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数:y1=17x2(x>0),生产成本y2(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数:y2=2x3-x2(x>0).为使利润最大,应生产　　　　　千台该产品.
【答案】　6
【解析】　设利润为y万元,则y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x>0),
∴y'=-6x2+36x=-6x(x-6).
令y'=0,解得x=0或x=6,
经检验,x=6既是函数的极大值点又是函数的最大值点,故为使利润最大,应生产6千台该产品.
21.3 课时4 导数的应用举例
【学习目标】
1.掌握解决有关函数最大值、最小值的实际问题的方法.(数学运算)
2.提高用有关求函数的最大值、最小值的知识解决一些实际问题的能力.(数学建模、数学运算)
【自主预习】
某厂家计划用一种材料生产一种盛500 mL溶液的圆柱形易拉罐.
1.生产这种易拉罐,如何计算材料用量多少呢
2.如何制作使用材料才能最省
3.在实际问题中,如果在定义域内函数只有一个极值点,那么函数在该点处取最值吗
1.某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y=f(x),且f'(100)=-1,这个数据说明在第100天时,(　　).
A.公司已经亏损
B.公司的盈利在增加
C.公司的盈利在逐渐减少
D.公司有时盈利有时亏损
2.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　).
A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件
【合作探究】
探究1 面积、容（体）积有关的最值问题
例1　如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.
(1)求包装盒的容积V(x)关于x的函数表达式,并求出函数的定义域.
(2)当x为多少时,包装盒的容积V(x)最大 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
【方法总结】　　解决面积、容积的最值问题,要正确引入变量,将面积或容积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值.
如图所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,当这个正六棱柱容器的底面边长为　　　　时,其容积最大.
探究2 费用（用材）最省问题
例2　某网球中心欲建连成片的网球场数块,用128万元购买土地10000平方米,该中心每块球场的建设面积为1000平方米,球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关,当该中心建球场x块时,每平方米的平均建设费用(单位:元)可近似地用f(x)=8001+ln x来刻画.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和),该网球中心应建几个球场
【方法总结】　　实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.根据f'(x)=0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后,若函数在该点附近满足左减右增,则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值.
统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(单位:升)关于行驶速度x(单位:千米/时)的函数【解析】式可以表示为y=x3-x+8,x∈(0,120],且甲、乙两地相距100千米,则当汽车以　　　　千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少.
探究3 利润最大问题
例3　生产某产品的全部成本c(单位:万元)与产品的件数x(单位:件)满足函数关系c=1200+x3.该产品单价p(单位:万元)的平方与生产的产品件数x(单位:件)成反比,现已知生产该产品100件时,其单价p=50万元,且工厂生产的产品都可以销售完.设工厂生产该产品的利润为f(x)(单位:万元).(注:利润=销售额-成本)
(1)求函数y=f(x)的表达式;
(2)当生产该产品的件数x为多少时,工厂生产该产品的利润最大
【方法总结】　　1.关于利润问题常用的两个等量关系:①利润=收入-成本;②利润=每件产品的利润×销售件数.
2.实际生活中利润最大问题都需要利用导数求解相应函数的最大值,此时根据f'(x)=0求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点),若函数满足左增右减,此时唯一的极大值就是所求函数的最大值.
某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线,现要通过技术改造来提高其生产能力,进而提高产品的增加值.已知投入x万元用于技术改造,所获得的产品的增加值为(60-x)x2万元,并且技术改造投入比率∈(0,5].
(1)求技术改造投入x的取值范围.
(2)当技术改造投入为多少万元时,所获得的产品的增加值最大 最大值为多少万元
【随堂检测】
1.一质点沿直线运动,如果由始点出发,经过t秒后的距离为s=t3-2t2,那么速度为0的时刻是(　　).
A.1秒末 B.0秒
C.2秒末 D.0秒或1秒末
2.某公司生产一种产品,固定成本为20000元,每生产一个单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)=-+400x(0≤x≤390),则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是(　　).
A.150 B.200 C.250 D.300
3.某箱子的体积V与底面边长x的关系为V(x)=x2·(0A.30 B.40 C.50 D.55
4.某产品的销售收入y1(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数:y1=17x2(x>0),生产成本y2(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数:y2=2x3-x2(x>0).为使利润最大,应生产　　　　　千台该产品.
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