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第1章章末小结
【知识导图】
【题型探究】
题型1 导数的运算问题
例1　求下列函数的导数.
(1)y=+;
(2)y=xsincos;
(3)y=.
方法指导　利用导数公式、导数的四则运算以及复合函数的求导法则求解即可.
【解析】　(1)∵y=+=,
∴y'==.
(2)∵y=xsincos=x·sin(4x+π)=-xsin 4x,
∴y'=-sin 4x-x·4cos 4x=-sin 4x-2xcos 4x.
(3)y'='
=
=
=
=.
小结　函数求导时要注意:(1)求导之前,应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度;(2)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导.
题型2 导数的几何意义
例2　(1)(2021年全国甲卷)曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为　　　　.
(2)(2022年新高考全国Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　.
【答案】　(1)5x-y+2=0　(2)(-∞,-4)∪(0,+∞)
【解析】　(1)当x=-1时,y=-3,故点(-1,-3)在曲线上.又y'==,所以当x=-1时,y'=5,故切线方程为5x-y+2=0.
(2)设切点为(x0,(x0+a)), 则切线的斜率为f'(x0)=(x0+a+1),可得切线方程为y-(x0+a)=(x0+a+1)(x-x0).又切线过原点,可得-(x0+a)=-x0(x0+a+1),化简得+ax0-a=0.　(※)
又切线有两条,所以方程(※)有两个不相等的实根,则判别式Δ=a2+4a>0,得a<-4或a>0.
小结　导数几何意义的应用主要体现在与切线方程有关的问题上.利用导数的几何意义求切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点,常见类型有两种:一种是求“在某点处的切线方程”,此点一定为切点,先求导,再求斜率,进而求出切线方程;另一种是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1),则切线方程为y-y1=f'(x1)(x-x1),再由切线过点P(x0,y0)得y0-y1=f'(x1)·(x0-x1).又已知y1=f(x1),由上式求出x1,y1的值,即求出了过点P(x0,y0)的切线方程.
题型3 利用导数研究函数的单调性
例3　已知函数f(x)=a(x-ln x)+,a∈R.讨论f(x)的单调性.
【解析】　由题意得f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=a--+=.
若a≤0,则ax2-2<0,
当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
若a>0,f'(x)=(x-1)x-x+.
①当01,
当x∈(0,1)或x∈,+∞时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈1,时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
②当a=2时,=1,在x∈(0,+∞)上,f'(x)≥0,f(x)单调递增.
③当a>2时,0<<1,
当x∈0,或x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈,1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
当0当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>2时,f(x)在0,上单调递增,在,1上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
小结　函数的单调性与导数的关注点:(1)关注函数的定义域,单调区间应为定义域的子区间;(2)已知函数在某个区间上的单调性时,转化要等价;(3)分类讨论求函数的单调区间的实质是讨论不等式的解集;(4)求参数的取值范围时常用到分离参数法.
题型4 利用导数求函数极(最)值
例4　(1)(2022年全国甲卷)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)=(　　).
A.-1 B.- C. D.1
(2)(2023年新高考全国Ⅱ卷)(多选题)若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则(　　).
A.bc>0 B.ab>0
C.b2+8ac>0 D.ac<0
(3)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为　　　　.
【答案】　(1)B　(2)BCD　(3)-1
【解析】　(1)因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),
所以依题意可知又f'(x)=-,
所以即所以f'(x)=-+,
因此函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
当x=1时,函数取得最大值,满足题意.
所以f'(2)=-1+=-.故选B.
(2)因为函数f(x)=aln x++(a≠0),所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=.因为函数f(x)既有极大值也有极小值,所以关于x的方程ax2-bx-2c=0有两个不相等的正实根x1,x2,则即所以故选BCD.
(3)由f(x)=(x2+ax-1)ex-1,可得f'(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1,
由x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,
可得f'(-2)=(-4+a)e-3+(4-2a-1)e-3=0,即-4+a+(3-2a)=0,解得a=-1.
所以f'(x)=(2x-1)ex-1+(x2-x-1)ex-1=(x2+x-2)ex-1,
因为函数的极值点为x=-2,x=1,所以当x<-2或x>1时,f'(x)>0,函数是增函数,
当-2故当x=1时,函数取得极小值,极小值为f(1)=(12-1-1)e1-1=-1.
小结　(1)求极值时一般需确定f'(x)=0的点和f(x)的单调性,对于常见的连续函数,先确定单调性即可得极值点,当连续函数的极值点只有一个时,对应的极值点必为函数的最值点.(2)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是极小值可不做判断,只需要直接与端点的函数值比较即可.
题型5 利用导数解决函数的零点或方程根的问题
例5　(2022年全国乙卷)已知函数f(x)=ax--(a+1)ln x.
(1)当a=0时,求f(x)的最大值;
(2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围.
【解析】　(1)当a=0时,f(x)=--ln x,x>0,
则f'(x)=-=.
当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
所以f(x)max=f(1)=-1.
(2)f(x)=ax--(a+1)ln x,x>0,则f'(x)=a+-=.
当a≤0时,ax-1<0,所以当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
所以f(x)max=f(1)=a-1<0,此时函数无零点,不符合题意.
当01,在(0,1),,+∞上,f'(x)>0,f(x)单调递增;在1,上,f'(x)<0,f(x)单调递减.
又f(1)=a-1<0,当x趋近于正无穷大时,f(x)趋近于正无穷大,结合图象(图略)知f(x)仅在,+∞上有唯一零点,符合题意.
当a=1时,f'(x)=≥0,所以f(x)单调递增,又f(1)=a-1=0,所以f(x)有唯一零点,符合题意.
当a>1时,<1,在0,,(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增;在,1上,f'(x)<0,f(x)单调递减.
此时f(1)=a-1>0,故f>f(1)>0,当x趋近于0且大于0时,f(x)趋近于负无穷大,结合图象(图略)知f(x)在0,上有一个零点,在,+∞上无零点,
所以f(x)有唯一零点,符合题意.
综上,a的取值范围为(0,+∞).
小结　与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的位置关系,进而确定参数的取值范围;或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.解题过程渗透直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
题型6 利用导数证明不等式
例6　(2022年全国甲卷)已知函数f(x)=-ln x+x-a.
(1)若f(x)≥0,求a的取值范围.
(2)证明:若f(x)有两个零点x1,x2,则x1x2<1.
【解析】　(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-+1=.
令f'(x)>0,解得x>1,故函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,
令f'(x)<0,解得0故f(x)min=f(1)=e+1-a.
要使得f(x)≥0恒成立,仅需e+1-a≥0,
故a≤e+1,故a的取值范围是(-∞,e+1].
(2)要使函数f(x)有两个零点,则f(1)=e+1-a<0,即a>e+1,且x1,x2在x=1两侧.
不妨设0∵01,即证明1又f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴即证明f(x2)∵x1,x2为f(x)的两个零点,∴即证明f(x1)构造函数h(x)=f(x)-f,0则h'(x)=f'(x)+f'=,
令k(x)=ex+x-x-1,0则k'(x)=ex+1+>0,
∴k(x)在(0,1)上单调递增,故k(x)又∵x-1<0,x2>0,
故h'(x)>0在(0,1)上恒成立,故h(x)在(0,1)上单调递增,
又h(1)=0,故h(x)故f(x1)小结　利用导数证明不等式f(x)>g(x)的基本方法
(1)若f(x)与g(x)的最值易求出,可直接转化为证明f(x)min>g(x)max.
(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出,可构造函数h(x)=f(x)-g(x).若h'(x)>0,则h(x)在(a,b)上单调递增,同时h(a)≥0,即f(x)>g(x);若h'(x)<0,则h(x)在(a,b)上单调递减,同时h(b)≥0,即f(x)>g(x).本题考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.
题型7 利用导数解决恒成立问题
例7　(2020年新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
【解析】　(1)当a=e时,f(x)=ex-ln x+1,∴f'(x)=ex-,∴曲线在(1,f(1))处的切线斜率k=f'(1)=e-1.
∵f(1)=e+1,∴切点坐标为(1,1+e),
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e-1=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2,
∴切线与坐标轴的交点坐标为(0,2),,0,
∴所求三角形的面积为×2×=.
(2)(法一)由f(x)≥1,得aex-1-ln x+ln a≥1,即eln a+x-1+ln a+x-1≥ln x+x,而ln x+x=eln x+ln x,∴eln a+x-1+ln a+x-1≥eln x+ln x.
令h(m)=em+m,则h'(m)=em+1>0,
∴h(m)在R上单调递增.
由eln a+x-1+ln a+x-1≥eln x+ln x,得h(ln a+x-1)≥h(ln x),∴ln a+x-1≥ln x,∴ln a≥(ln x-x+1)max.
令F(x)=ln x-x+1(x>0),则F'(x)=-1=.
当x∈(0,1)时,F'(x)>0,F(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,F'(x)<0,F(x)单调递减.
∴F(x)max=F(1)=0,则ln a≥0,即a≥1.
∴a的取值范围为[1,+∞).
(法二)由题意知a>0,x>0,令aex-1=t,
∴ln a+x-1=ln t,∴ln a=ln t-x+1.
∴f(x)=aex-1-ln x+ln a=t-ln x+ln t-x+1.
∵f(x)≥1,即t-ln x+ln t-x+1≥1,∴t+ln t≥x+ln x,而y=x+ln x在(0,+∞)上为增函数,故t≥x,即aex-1≥x,分离参数后有a≥.
令g(x)=,∴g'(x)===.
当00,g(x)单调递增;当x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减.
∴当x=1时,g(x)=取得最大值,最大值为g(1)=1.
∴a的取值范围为[1,+∞).
小结　解决恒成立问题的方法:(1)若关于x的不等式f(x)≤m在区间D上恒成立,则转化为f(x)max≤m.(2)若关于x的不等式f(x)≥m在区间D上恒成立,则转化为f(x)min≥m.(3)导数是解决函数f(x)的最大值或最小值问题的有力工具.本题渗透了逻辑推理、数学运算的核心素养.
【拓展延伸】
中世纪时期,欧洲科学发展停滞不前,人类对无穷、极限和积分等观念的想法都没有什么突破.中世纪以后,欧洲数学和科学急速发展,微积分的观念此时趋于成熟.在积分方面,1615年,开普勒(Kepler)把酒桶看作一个由无数圆薄片积累而成的物件,从而求出其体积.而伽利略(Galileo)的学生卡瓦列里(Cavalieri)认为一条线由无穷多个点构成;一个面由无穷多条线构成;一个立体由无穷多个面构成.这些想法都是积分法的前驱.
在微分方面,十七世纪人类也有很大的突破.费马(Fermat)在一封给罗贝瓦(Roberval)的信中,提及计算函数的极大值和极小值的步骤,而这实际上已相当于现代微分学中所用的,设函数导数为零,然后求出函数极点的方法.另外,巴罗(Barrow)也已经懂得通过“微分三角形”(相当于以dx,dy,ds为边的三角形)求出切线的方程,这和现今微分学中用导数求切线的方法是一样的.由此可见,人类在十七世纪已经掌握了微分的要领.
然而直至十七世纪中叶,人类仍然认为微分和积分是两个独立的观念.就在这个时候,牛顿和莱布尼茨将微分及积分两个貌似不相关的问题,通过“微积分基本定理”和“牛顿-莱布尼茨公式”联系起来,说明求积分基本上是求微分之逆,求微分也是求积分之逆.这是微积分理论中的基石,是微积分发展的一个重要里程碑.
微积分诞生以后,逐渐发挥出它非凡的威力,过去很多初等数学束手无策的问题,至此往往迎刃而解.微积分的迅速发展,使人来不及检查和巩固微积分的理论基础.十九世纪,许多迫切问题基本上已经解决,数学家于是转向微积分理论的基础重建,人类也终于首次给出极限、微分和积分等概念的严格定义.
1816年,波尔查诺(Bolzano)在人类历史上首次给出连续函数的近代定义.继而在1821年,柯西(Cauchy)在他的《教程》中提出e方法,后来在1823年的《概要》中他改写为d方法,把整个极限过程用不等式来刻画,使无穷的运算转化为一系列不等式的推算,这就是所谓极限概念的“算术化”.后来外尔斯特拉斯(Weierstrass)将e和d联系起来,完成了e-d方法,这就是现代极限的严格定义.
有了极限的严格定义,数学家便开始尝试严格定义导数和积分.在柯西之前,数学家通常以微分为微积分的基本概念,并把导数视作微分的商.然而微分的概念模糊,因此把导数定义作微分的商并不严谨.于是柯西在《概要》中直接定义导数为差商的极限,这就是现代导数的严格定义,也是现代微分学的基础.
2第1章章末小结
【知识导图】
【题型探究】
题型1 导数的运算问题
例1　求下列函数的导数.
(1)y=+;
(2)y=xsincos;
(3)y=.
方法指导　利用导数公式、导数的四则运算以及复合函数的求导法则求解即可.
小结　函数求导时要注意:(1)求导之前,应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度;(2)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导.
题型2 导数的几何意义
例2　(1)(2021年全国甲卷)曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为　　　　.
(2)(2022年新高考全国Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　.
【答案】　(1)5x-y+2=0　(2)(-∞,-4)∪(0,+∞)
小结　导数几何意义的应用主要体现在与切线方程有关的问题上.利用导数的几何意义求切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点,常见类型有两种:一种是求“在某点处的切线方程”,此点一定为切点,先求导,再求斜率,进而求出切线方程;另一种是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1),则切线方程为y-y1=f'(x1)(x-x1),再由切线过点P(x0,y0)得y0-y1=f'(x1)·(x0-x1).又已知y1=f(x1),由上式求出x1,y1的值,即求出了过点P(x0,y0)的切线方程.
题型3 利用导数研究函数的单调性
例3　已知函数f(x)=a(x-ln x)+,a∈R.讨论f(x)的单调性.
小结　函数的单调性与导数的关注点:(1)关注函数的定义域,单调区间应为定义域的子区间;(2)已知函数在某个区间上的单调性时,转化要等价;(3)分类讨论求函数的单调区间的实质是讨论不等式的解集;(4)求参数的取值范围时常用到分离参数法.
题型4 利用导数求函数极(最)值
例4　(1)(2022年全国甲卷)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)=(　　).
A.-1 B.- C. D.1
(2)(2023年新高考全国Ⅱ卷)(多选题)若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则(　　).
A.bc>0 B.ab>0
C.b2+8ac>0 D.ac<0
(3)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为　　　　.
小结　(1)求极值时一般需确定f'(x)=0的点和f(x)的单调性,对于常见的连续函数,先确定单调性即可得极值点,当连续函数的极值点只有一个时,对应的极值点必为函数的最值点.(2)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是极小值可不做判断,只需要直接与端点的函数值比较即可.
题型5 利用导数解决函数的零点或方程根的问题
例5　(2022年全国乙卷)已知函数f(x)=ax--(a+1)ln x.
(1)当a=0时,求f(x)的最大值;
(2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围.
小结　与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的位置关系,进而确定参数的取值范围;或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.解题过程渗透直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
题型6 利用导数证明不等式
例6　(2022年全国甲卷)已知函数f(x)=-ln x+x-a.
(1)若f(x)≥0,求a的取值范围.
(2)证明:若f(x)有两个零点x1,x2,则x1x2<1.
小结　利用导数证明不等式f(x)>g(x)的基本方法
(1)若f(x)与g(x)的最值易求出,可直接转化为证明f(x)min>g(x)max.
(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出,可构造函数h(x)=f(x)-g(x).若h'(x)>0,则h(x)在(a,b)上单调递增,同时h(a)≥0,即f(x)>g(x);若h'(x)<0,则h(x)在(a,b)上单调递减,同时h(b)≥0,即f(x)>g(x).本题考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.
题型7 利用导数解决恒成立问题
例7　(2020年新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
小结　解决恒成立问题的方法:(1)若关于x的不等式f(x)≤m在区间D上恒成立,则转化为f(x)max≤m.(2)若关于x的不等式f(x)≥m在区间D上恒成立,则转化为f(x)min≥m.(3)导数是解决函数f(x)的最大值或最小值问题的有力工具.本题渗透了逻辑推理、数学运算的核心素养.
【拓展延伸】
中世纪时期,欧洲科学发展停滞不前,人类对无穷、极限和积分等观念的想法都没有什么突破.中世纪以后,欧洲数学和科学急速发展,微积分的观念此时趋于成熟.在积分方面,1615年,开普勒(Kepler)把酒桶看作一个由无数圆薄片积累而成的物件,从而求出其体积.而伽利略(Galileo)的学生卡瓦列里(Cavalieri)认为一条线由无穷多个点构成;一个面由无穷多条线构成;一个立体由无穷多个面构成.这些想法都是积分法的前驱.
在微分方面,十七世纪人类也有很大的突破.费马(Fermat)在一封给罗贝瓦(Roberval)的信中,提及计算函数的极大值和极小值的步骤,而这实际上已相当于现代微分学中所用的,设函数导数为零,然后求出函数极点的方法.另外,巴罗(Barrow)也已经懂得通过“微分三角形”(相当于以dx,dy,ds为边的三角形)求出切线的方程,这和现今微分学中用导数求切线的方法是一样的.由此可见,人类在十七世纪已经掌握了微分的要领.
然而直至十七世纪中叶,人类仍然认为微分和积分是两个独立的观念.就在这个时候,牛顿和莱布尼茨将微分及积分两个貌似不相关的问题,通过“微积分基本定理”和“牛顿-莱布尼茨公式”联系起来,说明求积分基本上是求微分之逆,求微分也是求积分之逆.这是微积分理论中的基石,是微积分发展的一个重要里程碑.
微积分诞生以后,逐渐发挥出它非凡的威力,过去很多初等数学束手无策的问题,至此往往迎刃而解.微积分的迅速发展,使人来不及检查和巩固微积分的理论基础.十九世纪,许多迫切问题基本上已经解决,数学家于是转向微积分理论的基础重建,人类也终于首次给出极限、微分和积分等概念的严格定义.
1816年,波尔查诺(Bolzano)在人类历史上首次给出连续函数的近代定义.继而在1821年,柯西(Cauchy)在他的《教程》中提出e方法,后来在1823年的《概要》中他改写为d方法,把整个极限过程用不等式来刻画,使无穷的运算转化为一系列不等式的推算,这就是所谓极限概念的“算术化”.后来外尔斯特拉斯(Weierstrass)将e和d联系起来,完成了e-d方法,这就是现代极限的严格定义.
有了极限的严格定义,数学家便开始尝试严格定义导数和积分.在柯西之前,数学家通常以微分为微积分的基本概念,并把导数视作微分的商.然而微分的概念模糊,因此把导数定义作微分的商并不严谨.于是柯西在《概要》中直接定义导数为差商的极限,这就是现代导数的严格定义,也是现代微分学的基础.
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