资源简介

2.1 空间直角坐标系
【学习目标】
1.理解空间直角坐标系中点的坐标的概念.(数学抽象、直观想象)
2.建立空间直角坐标系表示空间中点的坐标.(直观想象)
3.会用公式求空间两点间的距离.(数学运算)
【自主预习】
如图,这是一个房间的示意图.
1.如何表示板凳和气球的位置
2.类比平面直角坐标系中的两点间的距离公式,你能推出空间中两点间的距离公式吗
3.在给定的空间直角坐标系下,空间任意一点是否与有序实数组(x,y,z)之间存在唯一的对应关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定是(0,b,c)的形式. (　　)
(2)空间直角坐标系中,在xOz平面内的点的坐标一定是(a,0,c)的形式. (　　)
(3)空间直角坐标系中,点(1,,2)关于yOz平面的对称点为(-1,,2). (　　)
(4)有序实数组(x,y,z)可以表示空间中的任何一个点. (　　)
2.下列点在x轴上的是(　　).
A.(0.1,0.2,0.3) B.(0,0,0.001)
C.(5,0,0) D.(0,0.01,0)
3.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的(　　).
A.y轴上 B.xOy平面上
C.xOz平面上 D.第一象限内
4.如图所示,在正四棱锥V-ABCD中,O为底面中心,E,F分别为BC,CD的中点.已知|AB|=2,|VO|=3,建立如图所示的空间直角坐标系,试分别写出各个顶点的坐标.
【合作探究】
探究1 空间直角坐标系
小明放学后步行回家,路过田野,走到路边的一座废旧工厂时,在墙角处发现一只飞行的小蜜蜂,他拿出画本画出简图,如图所示.
问题1:墙角的三条交线两两垂直吗
问题2:如何确定小蜜蜂在空间中的位置
问题3:若小蜜蜂到平面AOC,平面AOB,平面BOC的距离分别为2,1,3,请建立适当的空间直角坐标系,写出小蜜蜂的坐标.
新知生成
1.空间直角坐标系
为了确定空间中的点的位置,我们可以在空间中任取一点O,以O为原点,作三条两两垂直的有向直线Ox,Oy,Oz,在这三条直线上选取共同的单位长度,分别建立坐标轴,依次称为x轴、y轴、z轴,从而组成了一个空间直角坐标系O-xyz,如图.
在空间直角坐标系O-xyz中,由两条坐标轴确定的平面叫坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面.
2.右手系
建立空间直角坐标系时,一般将x轴和y轴放置在水平面上,那么z轴就垂直于水平面.它们的方向通常符合右手螺旋法则,即伸出右手,让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴正方向,然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向,此时大拇指的指向即z轴正方向.我们也称这样的坐标系为右手系(如图).
3.点的坐标
有序实数组(x,y,z)称为点 P的坐标,记作 P(x,y,z),其中x称为点 P的横坐标,y称为点 P的纵坐标,z称为点 P的竖坐标.
4.坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点
原点的坐标为(0,0,0),
x轴上的点的坐标为(x,0,0),
y轴上的点的坐标为(0,y,0),
z轴上的点的坐标为(0,0,z),
xOy平面内的点的坐标为(x,y,0),
yOz平面内的点的坐标为(0,y,z),
xOz平面内的点的坐标为(x,0,z).
新知运用
例1　如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在线段BC1上,且BM=2MC1,N是线段D1M的中点,求点M,N的坐标.
方法指导　根据已知条件求出M,N在坐标面xDy的射影,然后根据坐标的定义写出坐标.
【方法总结】　　求空间直角坐标系中某点P的坐标的方法:先找到点P在xOy平面上的射影M,过点M向x轴作垂线,
确定垂足N.其中ON,NM,MP分别为点P的横、纵、竖坐标的绝对值,再按O→N→M→P确定相应坐标的符号,与坐标轴同向为正,反向为负,即可得到相应的点P的坐标.
已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为5,侧棱长为13,建立的空间直角坐标系如图所示,写出各顶点的坐标.
探究2 空间中点的对称问题
问题1:点A(-2,1)关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标分别是什么
问题2:类比问题1,点A(-2,1,3)关于x轴、y轴、z轴、原点对称的点的坐标分别是什么
新知生成
空间中点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,要掌握对称点的变化规律,才能准确求解.对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论.
新知运用
例2　在空间直角坐标系中,已知点P(-2,1,4).
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标;
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标;
(3)求点P关于点M(2,-1,-4)对称的点的坐标.
方法指导　类比平面点的对称问题求解.
【方法总结】　　对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论.
求点A(1,2,-1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标.
探究3 空间两点间的距离
小明利用棱长为1的正方体,建立如图所示的空间直角坐标系,他根据这个图形,设计了如下问题,你能给出问题的答案吗
问题1:在平面xOy中,如何计算|OB|
问题2:如何计算|OB'|
问题3:若在空间中已知P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),如何求|P1P2|
新知生成
空间两点间的距离公式
(1)点P(x,y,z)到坐标原点O(0,0,0)的距离公式:
|OP|=.
(2)任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离公式:
|P1P2|=.
新知运用
例3　如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|AD|=3,|AA1|=2,点M在A1C1上,|MC1|=2|A1M|,点N在D1C上且为D1C的中点,求线段MN的长度.
方法指导　建系→求点M,N的坐标→根据两点间的距离公式求解.
【方法总结】　　利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为:
若A(4,-7,1),B(6,2,z),|AB|=11,则实数z=　　　　.
【随堂检测】
1.点(-2,5,0)在空间直角坐标系中的(　　).
A.y轴上 B.xOy平面上
C.xOz平面上 D.第一象限内
2.在空间直角坐标系O-xyz中,点P(1,,)在坐标平面yOz上的射影Q的坐标为(　　).
A.(0,,0) B.(0,,)
C.(1,0,) D.(1,,0)
3.若点A(-1,2,-3)关于y轴的对称点为B,则线段AB的长度为　　　　.
4.(2023·新余月考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,若以A为坐标原点,以棱AB,AD,AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,取正方体的棱长为单位长度,建立空间直角坐标系,则
(1)顶点A,C的坐标分别为　　　　;
(2)棱C1C的中点坐标为　　　　;
(3)正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为　　　　.
22.1 空间直角坐标系
【学习目标】
1.理解空间直角坐标系中点的坐标的概念.(数学抽象、直观想象)
2.建立空间直角坐标系表示空间中点的坐标.(直观想象)
3.会用公式求空间两点间的距离.(数学运算)
【自主预习】
如图,这是一个房间的示意图.
1.如何表示板凳和气球的位置
【答案】　可借助于平面直角坐标系的思想建立空间直角坐标系,如图所示.
2.类比平面直角坐标系中的两点间的距离公式,你能推出空间中两点间的距离公式吗
【答案】　能.设空间任意两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),
则|AB|=.
3.在给定的空间直角坐标系下,空间任意一点是否与有序实数组(x,y,z)之间存在唯一的对应关系
【答案】　是.在给定的空间直角坐标系下,空间给定一点,其坐标是唯一的有序实数组(x,y,z);反之,给定一个有序实数组(x,y,z),空间中也有唯一的点与之对应.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定是(0,b,c)的形式. (　　)
(2)空间直角坐标系中,在xOz平面内的点的坐标一定是(a,0,c)的形式. (　　)
(3)空间直角坐标系中,点(1,,2)关于yOz平面的对称点为(-1,,2). (　　)
(4)有序实数组(x,y,z)可以表示空间中的任何一个点. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.下列点在x轴上的是(　　).
A.(0.1,0.2,0.3) B.(0,0,0.001)
C.(5,0,0) D.(0,0.01,0)
【答案】　C
【解析】　x轴上的点的纵坐标和竖坐标都为0.
3.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的(　　).
A.y轴上 B.xOy平面上
C.xOz平面上 D.第一象限内
【答案】　C
【解析】　点(2,0,3)的纵坐标为0,所以该点在xOz平面上.
4.如图所示,在正四棱锥V-ABCD中,O为底面中心,E,F分别为BC,CD的中点.已知|AB|=2,|VO|=3,建立如图所示的空间直角坐标系,试分别写出各个顶点的坐标.
【解析】　∵V-ABCD是正四棱锥,|AB|=2,
∴底面ABCD是边长为2的正方形,
∴|CE|=|CF|=1.
∵O是坐标原点,∴C(1,1,0),
同理可得B(1,-1,0),A(-1,-1,0),D(-1,1,0).
∵点V在z轴上,|VO|=3,∴V(0,0,3).
【合作探究】
探究1 空间直角坐标系
小明放学后步行回家,路过田野,走到路边的一座废旧工厂时,在墙角处发现一只飞行的小蜜蜂,他拿出画本画出简图,如图所示.
问题1:墙角的三条交线两两垂直吗
【答案】　两两垂直.
问题2:如何确定小蜜蜂在空间中的位置
【答案】　以墙角的三条交线为坐标轴,建立空间直角坐标系,确定它的位置.
问题3:若小蜜蜂到平面AOC,平面AOB,平面BOC的距离分别为2,1,3,请建立适当的空间直角坐标系,写出小蜜蜂的坐标.
【答案】　以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示,
则小蜜蜂的坐标是(3,2,1).
新知生成
1.空间直角坐标系
为了确定空间中的点的位置,我们可以在空间中任取一点O,以O为原点,作三条两两垂直的有向直线Ox,Oy,Oz,在这三条直线上选取共同的单位长度,分别建立坐标轴,依次称为x轴、y轴、z轴,从而组成了一个空间直角坐标系O-xyz,如图.
在空间直角坐标系O-xyz中,由两条坐标轴确定的平面叫坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面.
2.右手系
建立空间直角坐标系时,一般将x轴和y轴放置在水平面上,那么z轴就垂直于水平面.它们的方向通常符合右手螺旋法则,即伸出右手,让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴正方向,然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向,此时大拇指的指向即z轴正方向.我们也称这样的坐标系为右手系(如图).
3.点的坐标
有序实数组(x,y,z)称为点 P的坐标,记作 P(x,y,z),其中x称为点 P的横坐标,y称为点 P的纵坐标,z称为点 P的竖坐标.
4.坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点
原点的坐标为(0,0,0),
x轴上的点的坐标为(x,0,0),
y轴上的点的坐标为(0,y,0),
z轴上的点的坐标为(0,0,z),
xOy平面内的点的坐标为(x,y,0),
yOz平面内的点的坐标为(0,y,z),
xOz平面内的点的坐标为(x,0,z).
新知运用
例1　如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在线段BC1上,且BM=2MC1,N是线段D1M的中点,求点M,N的坐标.
方法指导　根据已知条件求出M,N在坐标面xDy的射影,然后根据坐标的定义写出坐标.
【解析】　如图,过点M作MM1⊥BC于点M1,连接DM1,取DM1的中点N1,连接NN1.
由BM=2MC1知,MM1=CC1=,M1C=BC=.
易知M1M∥DD1,所以M1M与z轴平行,所以点M1与点M的横坐标、纵坐标相同,又点M的竖坐标为,所以M,1,.
由N1为DM1的中点,知N1,,0.
因为N1N与z轴平行,且N1N==,所以N,,.
【方法总结】　　求空间直角坐标系中某点P的坐标的方法:先找到点P在xOy平面上的射影M,过点M向x轴作垂线,
确定垂足N.其中ON,NM,MP分别为点P的横、纵、竖坐标的绝对值,再按O→N→M→P确定相应坐标的符号,与坐标轴同向为正,反向为负,即可得到相应的点P的坐标.
已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为5,侧棱长为13,建立的空间直角坐标系如图所示,写出各顶点的坐标.
【解析】　因为底面四边形ABCD是正方形,且AB=5,所以BD=5×=10,OB=5,所以OP===12,所以各顶点的坐标分别为P(0,0,12),A,-,0,B,,0,C-,,0,D-,-,0.
探究2 空间中点的对称问题
问题1:点A(-2,1)关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标分别是什么
【答案】　点A(-2,1)关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标分别是A1(-2,-1),A2(2,1),A3(2,-1).
问题2:类比问题1,点A(-2,1,3)关于x轴、y轴、z轴、原点对称的点的坐标分别是什么
【答案】　点A(-2,1,3)关于x轴、y轴、z轴、原点对称的点的坐标分别是A1(-2,-1,-3),A2(2,1,-3),A3(2,-1,3),A4(2,-1,-3).
新知生成
空间中点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,要掌握对称点的变化规律,才能准确求解.对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论.
新知运用
例2　在空间直角坐标系中,已知点P(-2,1,4).
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标;
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标;
(3)求点P关于点M(2,-1,-4)对称的点的坐标.
方法指导　类比平面点的对称问题求解.
【解析】　(1)因为点P关于x轴对称后,它的横坐标不变,
纵坐标、竖坐标变为原来的相反数,所以对称点坐标为P1(-2,-1,-4).
(2)因为点P关于xOy平面对称后,它的横坐标、纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数,所以对称点坐标为P2(-2,1,-4).
(3)设对称点为P3(x,y,z),则M为线段PP3的中点,
由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,
所以P3的坐标为(6,-3,-12).
【方法总结】　　对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论.
求点A(1,2,-1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标.
【解析】　如图所示,过点A作AM⊥坐标平面xOy,交xOy平面于点M,并延长到点C,使AM=CM,则点A与点C关于坐标平面xOy对称,点C(1,2,1).
过点A作AN⊥x轴于点N并延长到点B,使AN=NB,
则点A与点B关于x轴对称,点B(1,-2,1).
故点A(1,2,-1)关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2,1),点A(1,2,-1)关于x轴对称的点的坐标为(1,-2,1).
探究3 空间两点间的距离
小明利用棱长为1的正方体,建立如图所示的空间直角坐标系,他根据这个图形,设计了如下问题,你能给出问题的答案吗
问题1:在平面xOy中,如何计算|OB|
【答案】　由图知O(0,0,0),B(1,1,0),
所以|OB|==.
问题2:如何计算|OB'|
【答案】　因为|OB'|2=|OB|2+|BB'|2=()2+12=3,所以|OB'|=.
问题3:若在空间中已知P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),如何求|P1P2|
【答案】　|P1P2|=.
新知生成
空间两点间的距离公式
(1)点P(x,y,z)到坐标原点O(0,0,0)的距离公式:
|OP|=.
(2)任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离公式:
|P1P2|=.
新知运用
例3　如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|AD|=3,|AA1|=2,点M在A1C1上,|MC1|=2|A1M|,点N在D1C上且为D1C的中点,求线段MN的长度.
方法指导　建系→求点M,N的坐标→根据两点间的距离公式求解.
【解析】　如图所示,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
由题意可知C(3,3,0),D(0,3,0),
∵|DD1|=|CC1|=|AA1|=2,
∴C1(3,3,2),D1(0,3,2).
∵N为CD1的中点,∴N,3,1.
∵M是A1C1上的靠近点A1的三等分点,
∴M(1,1,2).
由两点间的距离公式,得|MN|==.
【方法总结】　　利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为:
若A(4,-7,1),B(6,2,z),|AB|=11,则实数z=　　　　.
【答案】　-5或7
【解析】　∵|AB|=11,∴(6-4)2+(2+7)2+(z-1)2=112,化简得(z-1)2=36,即|z-1|=6,∴z=-5或z=7.
【随堂检测】
1.点(-2,5,0)在空间直角坐标系中的(　　).
A.y轴上 B.xOy平面上
C.xOz平面上 D.第一象限内
【答案】　B
【解析】　因为点(-2,5,0)的竖坐标为0,所以该点在xOy平面上.
2.在空间直角坐标系O-xyz中,点P(1,,)在坐标平面yOz上的射影Q的坐标为(　　).
A.(0,,0) B.(0,,)
C.(1,0,) D.(1,,0)
【答案】　B
【解析】　由题意得,点的纵坐标、竖坐标不变,横坐标为0,则Q(0,,).
3.若点A(-1,2,-3)关于y轴的对称点为B,则线段AB的长度为　　　　.
【答案】　2
【解析】　依题意,点A(-1,2,-3)关于y轴对称的点B的坐标为(1,2,3),所以|AB|==2.
4.(2023·新余月考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,若以A为坐标原点,以棱AB,AD,AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,取正方体的棱长为单位长度,建立空间直角坐标系,则
(1)顶点A,C的坐标分别为　　　　;
(2)棱C1C的中点坐标为　　　　;
(3)正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为　　　　.
【答案】　(1)(0,0,0),(1,1,0)　(2)1,1,　(3),0,
【解析】　以A为坐标原点,以棱AB,AD,AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,取正方体的棱长为单位长度,建立空间直角坐标系,如图所示,
所以A(0,0,0),C(1,1,0),C1(1,1,1),A1(0,0,1),B(1,0,0),所以棱C1C的中点坐标为1,1,.
又正方形AA1B1B对角线的交点即为A1B的中点,所以正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为,0,.
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