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2.2 课时1 空间向量的概念及线性运算
【学习目标】
1.理解空间向量的有关概念.(数学抽象)
2.掌握空间向量的线性运算.(数学运算)
3.掌握共线向量定理及其应用.(数学运算、逻辑推理)
【自主预习】
1.回忆一下平面向量是怎么定义的
【答案】　在平面中,具有大小和方向的量叫作平面向量.
2.回忆一下平面向量的有关内容并回答以下问题:
(1)如图,该向量如何表示 其模如何表示
【答案】　该向量表示为或a.其模记为||或|a|.
(2)零向量和单位向量如何定义
【答案】　长度为0的向量叫作零向量;模为1的向量叫作单位向量.
(3)平面中某两个长度一样但方向相反的向量是什么向量
【答案】　相反向量.
(4)平面中某两个向量平行或重合,这两个向量称为什么向量
【答案】　共线向量或平行向量.
(5)方向相同且模相等的向量称为什么向量
【答案】　相等向量.
3.平面向量的运算律有哪些
【答案】　平面向量的线性运算满足的运算律:交换律、结合律和分配律.
4.对任意两个平面向量a,b,如果a=λb(λ∈R),那么a与b有什么位置关系 反过来,当a,b有什么位置关系时,a=λb(λ∈R)
【答案】　对任意两个平面向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a=λb.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在空间中,任意一个向量都可以进行平移. (　　)
(2)在空间中,互为相反向量的两个向量必共线. (　　)
(3)空间向量的加减运算的结果不一定是向量. (　　)
(4)共面向量一定平行. (　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.下列说法中正确的是(　　).
A.任意两个空间向量都可以比较大小
B.由于0方向不定,故0不能与任何向量平行
C.若|a|=|b|,则a与b共线
D.空间向量的模可以比较大小
【答案】　D
【解析】　任意两个空间向量都不能比较大小,故A错误;规定0的方向是任意的,与任何向量平行,故B错误;a与b的模相等,但方向不确定,故C错误;因为向量的模是一个实数,所以可以比较大小,故D正确.
3.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,以顶点为向量的起点或终点,且与向量的模相等的向量有(　　).
A.7个 B.3个 C.5个 D.6个
【答案】　A
【解析】　由平行六面体的定义可知几何体各个面均为平行四边形,
∴||=||=||=||=||=||=||=||,
则与向量的模相等的向量有,,,,,,,共7个.
4.已知在空间四边形ABCD中,=a,=b,=c,则=(　　).
A.a+b-c B.-a-b+c
C.-a+b+c D.-a+b-c
【答案】　C
【解析】　=++=-+=-a+b+c.
【合作探究】
探究1 空间向量的基本概念
已知一个正三角形钢板,三个顶点用等长的绳子绑起,在力F的作用下匀速上升,三根绳子的受力情况如图所示.
问题1:在物理学中,力是什么量 这三个力共面吗 这三个力在数学上叫什么
【答案】　力是矢量;这三个力不共面;这三个力在数学上叫空间向量.
问题2:你能否根据平面向量的定义,试着叙述一下空间向量的定义
【答案】　在空间中,我们把具有大小和方向的量叫作空间向量.
问题3:这两个定义有何区别 本质是否相同
【答案】　定义的区别:平面向量与空间向量的不同之处就在于一个在平面内,一个在空间中.本质相同:空间中的一个向量一定能够平移到平面中,因此,空间中的一个向量既是平面向量也是空间向量.
新知生成
1.空间向量
把空间中既有大小又有方向的量称为空间向量,空间向量a的大小(或长度)称为向量a的模,记为|a|.
2.相等向量
从不同点出发的向量,只要它们的方向相同且长度相等,就称它们为相等向量.
3.相反向量
方向相反、长度相等的向量称为相反向量.
新知运用
例1　如图所示,以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中.
(1)试写出与相等的所有向量;
(2)试写出的所有相反向量;
(3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量的模.
方法指导　(1)根据相等向量、相反向量的概念求解;(2)根据模的概念以及空间几何体的线面性质求解.
【解析】　(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有,,.
(2)向量的相反向量有,,,.
(3)因为||2=|AB|2+|BC|2+|CC1|2=4+4+1=9,所以||=3.
【方法总结】　　在空间中,向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全一致.两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同,模相等;两向量互为相反向量的充要条件是两个向量的模相等,方向相反.
如图所示,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'顶点连接的所有向量中,与向量相等的向量有　　　　;与向量相反的向量有　　　　.(要求写出所有适合条件的向量)
【答案】　,,　,,,
【解析】　根据相等向量的定义知,与向量相等的向量有,,.与向量相反的向量有,,,.
探究2 空间向量的加减法
如图,观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的向量,,.
问题1:三条棱所表示的向量的模相等吗 这三个向量是相等向量吗
【答案】　模相等;这三个向量不是相等向量.
问题2:向量,,共面吗 ++能进行运算吗 如何运算
【答案】　不共面;能运算,可类比平面向量的加法法则,借助平行四边形法则或三角形法则求解.
新知生成
1.空间向量的加减法
如图,对于空间中任意两个向量a,b,作=a,=b,=b,则a+b=,a-b=.
2.空间向量加法的运算律
(1)a+b=b+a(加法交换律).
(2)(a+b)+c=a+(b+c)(加法结合律).
新知运用
例2　如图所示,已知长方体ABCD-A'B'C'D'.化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果.
(1)-;
(2)++;
(3)用向量,,表示向量.
【解析】　(1)-=-
=+=+=.
(2)++=(+)+
=+=.
向量,如图所示.
(3)在平行四边形ACC'A'中,由平行四边形法则可得=+,
在平行四边形ABCD中,由平行四边形法则可得=+,
故=++.
【方法总结】　　空间向量加法、减法运算的两个技巧:(1)向量加减法的三角形法则是解决空间向量加、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使向量间首尾相接.(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.
1.化简(-)-(-)=　　　　.
【答案】　0
【解析】　原式=(-)+-=+-=-=0.
2.如图,在四棱锥V-ABCD中,化简-++=　　　　.
【答案】　0
【解析】　-++=+=0.
探究3 向量与实数相乘
某人回家过年,在一个公交站牌A处下车,由西向东步行3站路程,到达另一个公交站牌B,换乘k路车,经过2站路程到达小区门口C,再乘电梯到24楼,即回到家P.
问题1:若由A→B的每站路程都是向量a,则如何用向量a表示
【答案】　=a+a+a=3a.
问题2:若由B→C的每站路程都是向量b,则如何用向量b表示
【答案】　=b+b=2b.
问题3:若每一层的位移用c表示,如何用a,b,c表示向量
【答案】　类比平面向量的数乘运算,可得=3a+2b+24c.
新知生成
1.空间向量与实数相乘
(1)空间向量与实数λ相乘可类比平面向量数乘的法则进行,因而有|λa|=|λ||a|.
(2)向量a与λa的关系
当λ>0时,λa与a方向相同;当λ<0时,λa与a方向相反.
2.单位向量
长度为1的向量称为单位向量.对于每一个非零向量a,可得到与它方向相同的唯一单位向量e=·a.
3.共线向量或平行向量
对于空间内任意两个向量a,b(a≠0),若b=λa,其中λ为实数,则b与a共线或平行,记作b∥a.
4.空间向量与实数的乘法运算律
① λ(a+b)=λa+λb(对向量加法的分配律).
②(λ1+λ2)a=λ1a+λ2a(对实数加法的分配律).
新知运用
一、空间向量的线性运算
例3　如图,在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重心,用基向量,,表示,则下列表示正确的是(　　).
A.++
B.++
C.-++
D.++
方法指导　将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中,再利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.
【答案】　D
【解析】　由题意得,=+=+
=+(-)
=+(+)-
=-++.
所以=+=-++=++.
【方法总结】　　1.向量加法的三角形法则和向量减法的定义是解决空间向量加、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使向量间首尾相接.
2.利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的运算时,要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.
二、空间向量的共线问题
例4　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为线段A1C上一点,且=,BD与AC交于点M.求证:C1,O,M三点共线.
方法指导　用向量,,分别表示和,然后根据向量共线的充要条件证明.
【解析】　设=a,=b,=c,
则=+=+
=(+)+(+)
=++(++)
=+--+
=++=a+b+c,
=+=+=(+)+=a+b+c,
∴=3,又∵直线MC1与直线MO有公共点M,
∴C1,O,M三点共线.
【方法总结】　　对于空间三点P,A,B,可通过证明下列结论来证明三点共线.
①存在实数λ,使=λ成立;
②对空间任一点O,有=+t(t∈R);
③对空间任一点O,有=x+y(x+y=1).
1.如图,设O为 ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点,若=+x+y,求x,y的值.
【解析】　因为=++
=-+--
=-+
=-+(+)
=-+(+)
=-++(-)
=-++,
所以x=,y=-.
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且=2,点F在对角线A1C上,且=.求证:E,F,B三点共线.
【解析】　设=a,=b,=c,
因为=2,=,
所以=,=,
所以==b,
=(-)=(+-)=a+b-c,
所以=-=a-b-c=a-b-c.
又=++=-b-c+a=a-b-c,
所以=,又,有公共点E,所以E,F,B三点共线.
【随堂检测】
1.如图,在空间四边形OABC中,点M,N分别在OA,BC上,OM=2MA,BN=CN,则=(　　).
A.-+
B.-++
C.+-
D.+-
【答案】　B
【解析】　=++=+-+(-)=-++.故选B.
2.(2023·莆田周练)设四边形ABCD,O为空间任意一点,且+=+,则四边形ABCD是(　　).
A.平行四边形 B.空间四边形
C.等腰梯形 D.矩形
【答案】　A
【解析】　∵+=+,∴=.
∴∥且||=||.
∴四边形ABCD为平行四边形.
3.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,若=x+y+z,则x+y+z=　　　　.
【答案】　2
【解析】　∵=+=+=+=+(+)=++,∴x=,y=,z=1,∴x+y+z=2.
4.如图,在空间四边形ABCD中,G为△BCD的重心,E,F分别为边CD,AD的中点,试化简+-,并在图中标出化简结果的向量.
【解析】　∵G是△BCD的重心,BE是CD边上的中线,
∴=.
又E,F分别为边CD,AD的中点,
∴=.
∴+-=+-=+=.(如图所示)
22.2 课时1 空间向量的概念及线性运算
【学习目标】
1.理解空间向量的有关概念.(数学抽象)
2.掌握空间向量的线性运算.(数学运算)
3.掌握共线向量定理及其应用.(数学运算、逻辑推理)
【自主预习】
1.回忆一下平面向量是怎么定义的
2.回忆一下平面向量的有关内容并回答以下问题:
(1)如图,该向量如何表示 其模如何表示
(2)零向量和单位向量如何定义
(3)平面中某两个长度一样但方向相反的向量是什么向量
(4)平面中某两个向量平行或重合,这两个向量称为什么向量
(5)方向相同且模相等的向量称为什么向量
3.平面向量的运算律有哪些
4.对任意两个平面向量a,b,如果a=λb(λ∈R),那么a与b有什么位置关系 反过来,当a,b有什么位置关系时,a=λb(λ∈R)
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在空间中,任意一个向量都可以进行平移. (　　)
(2)在空间中,互为相反向量的两个向量必共线. (　　)
(3)空间向量的加减运算的结果不一定是向量. (　　)
(4)共面向量一定平行. (　　)
2.下列说法中正确的是(　　).
A.任意两个空间向量都可以比较大小
B.由于0方向不定,故0不能与任何向量平行
C.若|a|=|b|,则a与b共线
D.空间向量的模可以比较大小
3.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,以顶点为向量的起点或终点,且与向量的模相等的向量有(　　).
A.7个 B.3个 C.5个 D.6个
4.已知在空间四边形ABCD中,=a,=b,=c,则=(　　).
A.a+b-c B.-a-b+c
C.-a+b+c D.-a+b-c
【合作探究】
探究1 空间向量的基本概念
已知一个正三角形钢板,三个顶点用等长的绳子绑起,在力F的作用下匀速上升,三根绳子的受力情况如图所示.
问题1:在物理学中,力是什么量 这三个力共面吗 这三个力在数学上叫什么
问题2:你能否根据平面向量的定义,试着叙述一下空间向量的定义
问题3:这两个定义有何区别 本质是否相同
新知生成
1.空间向量
把空间中既有大小又有方向的量称为空间向量,空间向量a的大小(或长度)称为向量a的模,记为|a|.
2.相等向量
从不同点出发的向量,只要它们的方向相同且长度相等,就称它们为相等向量.
3.相反向量
方向相反、长度相等的向量称为相反向量.
新知运用
例1　如图所示,以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中.
(1)试写出与相等的所有向量;
(2)试写出的所有相反向量;
(3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量的模.
方法指导　(1)根据相等向量、相反向量的概念求解;(2)根据模的概念以及空间几何体的线面性质求解.
【方法总结】　　在空间中,向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全一致.两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同,模相等;两向量互为相反向量的充要条件是两个向量的模相等,方向相反.
如图所示,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'顶点连接的所有向量中,与向量相等的向量有　　　　;与向量相反的向量有　　　　.(要求写出所有适合条件的向量)
探究2 空间向量的加减法
如图,观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的向量,,.
问题1:三条棱所表示的向量的模相等吗 这三个向量是相等向量吗
问题2:向量,,共面吗 ++能进行运算吗 如何运算
新知生成
1.空间向量的加减法
如图,对于空间中任意两个向量a,b,作=a,=b,=b,则a+b=,a-b=.
2.空间向量加法的运算律
(1)a+b=b+a(加法交换律).
(2)(a+b)+c=a+(b+c)(加法结合律).
新知运用
例2　如图所示,已知长方体ABCD-A'B'C'D'.化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果.
(1)-;
(2)++;
(3)用向量,,表示向量.
【方法总结】　　空间向量加法、减法运算的两个技巧:(1)向量加减法的三角形法则是解决空间向量加、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使向量间首尾相接.(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.
1.化简(-)-(-)=　　　　.
2.如图,在四棱锥V-ABCD中,化简-++=　　　　.
探究3 向量与实数相乘
某人回家过年,在一个公交站牌A处下车,由西向东步行3站路程,到达另一个公交站牌B,换乘k路车,经过2站路程到达小区门口C,再乘电梯到24楼,即回到家P.
问题1:若由A→B的每站路程都是向量a,则如何用向量a表示
问题2:若由B→C的每站路程都是向量b,则如何用向量b表示
问题3:若每一层的位移用c表示,如何用a,b,c表示向量
新知生成
1.空间向量与实数相乘
(1)空间向量与实数λ相乘可类比平面向量数乘的法则进行,因而有|λa|=|λ||a|.
(2)向量a与λa的关系
当λ>0时,λa与a方向相同;当λ<0时,λa与a方向相反.
2.单位向量
长度为1的向量称为单位向量.对于每一个非零向量a,可得到与它方向相同的唯一单位向量e=·a.
3.共线向量或平行向量
对于空间内任意两个向量a,b(a≠0),若b=λa,其中λ为实数,则b与a共线或平行,记作b∥a.
4.空间向量与实数的乘法运算律
① λ(a+b)=λa+λb(对向量加法的分配律).
②(λ1+λ2)a=λ1a+λ2a(对实数加法的分配律).
新知运用
一、空间向量的线性运算
例3　如图,在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重心,用基向量,,表示,则下列表示正确的是(　　).
A.++
B.++
C.-++
D.++
方法指导　将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中,再利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.
【方法总结】　　1.向量加法的三角形法则和向量减法的定义是解决空间向量加、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使向量间首尾相接.
2.利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的运算时,要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.
二、空间向量的共线问题
例4　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为线段A1C上一点,且=,BD与AC交于点M.求证:C1,O,M三点共线.
方法指导　用向量,,分别表示和,然后根据向量共线的充要条件证明.
【方法总结】　　对于空间三点P,A,B,可通过证明下列结论来证明三点共线.
①存在实数λ,使=λ成立;
②对空间任一点O,有=+t(t∈R);
③对空间任一点O,有=x+y(x+y=1).
1.如图,设O为 ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点,若=+x+y,求x,y的值.
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且=2,点F在对角线A1C上,且=.求证:E,F,B三点共线.
【随堂检测】
1.如图,在空间四边形OABC中,点M,N分别在OA,BC上,OM=2MA,BN=CN,则=(　　).
A.-+
B.-++
C.+-
D.+-
2.(2023·莆田周练)设四边形ABCD,O为空间任意一点,且+=+,则四边形ABCD是(　　).
A.平行四边形 B.空间四边形
C.等腰梯形 D.矩形
3.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,若=x+y+z,则x+y+z=　　　　.
4.如图,在空间四边形ABCD中,G为△BCD的重心,E,F分别为边CD,AD的中点,试化简+-,并在图中标出化简结果的向量.
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