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2.2 课时2 向量的数量积
【学习目标】
1.理解空间向量数量积的相关定义.(数学抽象、直观想象)
2.空间向量的投影.(直观想象、数学运算)
3.将立体几何问题转化为向量的计算问题.(数学运算)
4.利用向量的模长、夹角求线段长.(数学运算)
【自主预习】
1.在空间中两个非零向量a和b的夹角及取值范围与平面向量有什么关系
2.已知两个非零向量a,b的模以及夹角,如何求a·b
3.空间向量的数量积有哪些运算律 与平面向量的数量积的运算律一样吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两向量的数量积是实数. (　　)
(2)对于非零向量a,b,与相等. (　　)
(3)对于任意向量a,b,c,都有(a·b)·c=a·(b·c).(　　)
(4)(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2. (　　)
2.已知向量a,b满足|a|=|b|=1,a·b=-,则两向量的夹角为(　　).
A.30° B.60° C.120° D.150°
3.已知i,j,k是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,则a·b等于　　　　.
4.已知|a|=4,空间向量e为单位向量,=,则空间向量a在向量e上的投影向量为　　　　.
【合作探究】
探究1 向量的数量积
问题1:如何作空间向量的夹角
问题2:=吗 与<-a,b>,,<-a,-b>有什么关系
问题3:要求a·b的值,应该知道哪些量的值
新知生成
1.空间角
如图,由于空间内任意两个向量a,b都可以平移到同一个平面OAB内.因此与平面向量夹角的定义一样,我们把∠AOB称为向量a,b的夹角,记作,其取值范围为[0,π].
2.空间向量的数量积
定义a·b=|a||b|cos为a与b的数量积.
当a,b都不为0时,它们有确定的夹角∈[0,π].
当a=0或b=0 时,夹角可以在[0,π]中任意选定,但总有a·b=0.
新知运用
例1　已知空间四边形ABCD的边长和对角线长均为2,E,F,G分别为AB,AD,DC的中点,求下列数量积:
(1)·;
(2)·;
(3)·.
【方法总结】　　在几何体中求空间向量的数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式;
(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化成已知模和夹角的向量的数量积;
(3)根据向量的方向,正确求出向量的夹角及向量的模;
(4)代入公式a·b=|a||b|cos求解.
已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,求:
(1)·;
(2)·;
(3)·.
探究2 空间向量数量积的性质与运算律
问题1:空间向量的数量积运算满足结合律吗
问题2:已知向量a,b,|a·b|=|a||b|成立吗
问题3:对于非零向量a,b,c,由a·b=a·c,能得到b=c吗
新知生成
1.数量积的性质
(1)a·a=|a|2.
(2)|a|=.
(3)若a,b是非零向量,则a⊥b a·b=0.
(4)若θ为a,b的夹角,则cos θ=.
2.数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)
交换律 a·b=b·a
分配律 a·(b+c)=a·b+a·c
新知运用
例2　如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AA1的长度为4,且∠A1AB=∠A1AD=120°.用向量法求:
(1)BD1的长;
(2)直线BD1与AC所成角的余弦值.
【方法总结】　　1.用数量积求两点间距离的步骤:(1)用向量表示此距离;(2)用其他向量表示此向量;(3)用公式a·a=|a|2,求|a|即可.
2.利用向量的数量积求夹角问题的思路:(1)结合图形,平移向量,利用空间向量夹角的定义来求,但要注意向量夹角的范围;(2)先求a·b,再利用公式cos=求cos,最后确定.
如图所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对
角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE.
(1)求MN与AD的夹角;
(2)若CD=DE=1,求MN的长.
探究3 数量积的几何意义
我们在测量树的高度时,常利用阳光下的影子测量其高度,如图所示.
问题1:若测得||=2,如何求在上的投影
问题2:平面向量数量积的投影的定义在空间中还成立吗
新知生成
1.投影向量
如图,将空间任意两
个向量a,b平移到同一个平面内,可得=a,=b,=α.过点B作BB1⊥OA,垂足为点B1,则为在方向上的投影向量,投影向量的模=|cos α|称为投影长.
取方向上的单位向量e来度量投影向量,类比平面向量,可得=(cos α)e,因而可用(||cos α)e来代表投影向量.我们称cos α为在方向上的投影,其正负表示与方向相同还是相反.
2.数量积的几何意义
a与b的数量积等于a的模|a|与b在a方向上的投影|b|·cos α的乘积,也等于b的模|b|与a在b方向上的投影|a|·cos α的乘积.
新知运用
例3　如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,AD=2,∠BAA1=∠DAA1=60°,E为棱C1D1的中点,求在方向上的投影向量及投影.
方法指导　先求||,再求·,代入投影向量和投影公式即可得结果.
【方法总结】　　投影是向量数量积的几何意义,求解的实质还是数量积的相关计算,投影向量是投影乘相应投影方向的单位向量.注意区分投影与投影向量.
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设=a,=b,=c.若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1.
(1)求向量在上的投影;
(2)求向量在上的投影向量.
【随堂检测】
1.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为(　　)
A.-6　　　　 B.6　　 　　 C.3　　　 　 D.-3
2.在空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则cos<,>的值为(　　).
A. B. C.- D.0
3.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则向量在上的投影等于　　　　.
4.(2023·苏州周练)如图,已知一个60°的二面角的棱上有两点A,B,AC,BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长.
22.2 课时2 向量的数量积
【学习目标】
1.理解空间向量数量积的相关定义.(数学抽象、直观想象)
2.空间向量的投影.(直观想象、数学运算)
3.将立体几何问题转化为向量的计算问题.(数学运算)
4.利用向量的模长、夹角求线段长.(数学运算)
【自主预习】
1.在空间中两个非零向量a和b的夹角及取值范围与平面向量有什么关系
【答案】　完全一致.
2.已知两个非零向量a,b的模以及夹角,如何求a·b
【答案】　a·b=|a||b|cos.
3.空间向量的数量积有哪些运算律 与平面向量的数量积的运算律一样吗
【答案】　①(λa)·b=λ(a·b);②a·b=b·a;③a·(b+c)=a·b+a·c.一样.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两向量的数量积是实数. (　　)
(2)对于非零向量a,b,与相等. (　　)
(3)对于任意向量a,b,c,都有(a·b)·c=a·(b·c).(　　)
(4)(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.已知向量a,b满足|a|=|b|=1,a·b=-,则两向量的夹角为(　　).
A.30° B.60° C.120° D.150°
【答案】　C
【解析】　设向量a,b的夹角为θ,则cos θ==-,所以θ=120°.
3.已知i,j,k是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,则a·b等于　　　　.
【答案】　-2
【解析】　a·b=(2i-j+k)·(i+j-3k)=2i2-j2-3k2=-2.
4.已知|a|=4,空间向量e为单位向量,=,则空间向量a在向量e上的投影向量为　　　　.
【答案】　-2e
【解析】　空间向量a在向量e上的投影向量为|a|cose=4cos ·e=-2e.
【合作探究】
探究1 向量的数量积
问题1:如何作空间向量的夹角
【答案】　从空间任意一点O出发作=a,=b,则θ=∠AOB就是a,b所成的角.
问题2:=吗 与<-a,b>,,<-a,-b>有什么关系
【答案】　=,<-a,b>==π-,<-a,-b>=.
问题3:要求a·b的值,应该知道哪些量的值
【答案】　要求a·b,应该知道|a|,|b|及的值.
新知生成
1.空间角
如图,由于空间内任意两个向量a,b都可以平移到同一个平面OAB内.因此与平面向量夹角的定义一样,我们把∠AOB称为向量a,b的夹角,记作,其取值范围为[0,π].
2.空间向量的数量积
定义a·b=|a||b|cos为a与b的数量积.
当a,b都不为0时,它们有确定的夹角∈[0,π].
当a=0或b=0 时,夹角可以在[0,π]中任意选定,但总有a·b=0.
新知运用
例1　已知空间四边形ABCD的边长和对角线长均为2,E,F,G分别为AB,AD,DC的中点,求下列数量积:
(1)·;
(2)·;
(3)·.
【解析】　(1)∵空间四边形ABCD的边长和对角线长都为2,如图,
∴在空间四边形ABCD中,||=||=2,且<,>=60°,
∴·=2×2×cos 60°=2.
(2)∵=2,=2,<,>=60°,
∴·=2×2×cos 60°=2.
(3)∵=×2=1,||=2,∥,<,>=180°,
∴·=·||·cos 180°=1×2×(-1)=-2.
【方法总结】　　在几何体中求空间向量的数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式;
(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化成已知模和夹角的向量的数量积;
(3)根据向量的方向,正确求出向量的夹角及向量的模;
(4)代入公式a·b=|a||b|cos求解.
已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,求:
(1)·;
(2)·;
(3)·.
【解析】　(1)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,AB⊥BC,BC∥B'C',
所以AB⊥B'C',即⊥,
所以·=0.
(2)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,AB∥DC,DC∥D'C',
所以AB∥D'C',即∥,即,的夹角为0,
所以·=·cos 0=1.
(3)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,=,
又向量,的夹角∠BAC=45°,且=,
所以·=·=·cos 45°=1.
探究2 空间向量数量积的性质与运算律
问题1:空间向量的数量积运算满足结合律吗
【答案】　空间向量数量积运算不满足结合律,也不满足消去律,即(a·b)·c≠a·(b·c),a·b=a·c/ b=c.
问题2:已知向量a,b,|a·b|=|a||b|成立吗
【答案】　|a·b|=|a||b|cos≤|a||b|.
当a与b共线时,|a·b|=|a||b|,否则不成立.
问题3:对于非零向量a,b,c,由a·b=a·c,能得到b=c吗
【答案】　不能,由a·b=a·c得到a·(b-c)=0,即可能有a⊥(b-c)成立.
新知生成
1.数量积的性质
(1)a·a=|a|2.
(2)|a|=.
(3)若a,b是非零向量,则a⊥b a·b=0.
(4)若θ为a,b的夹角,则cos θ=.
2.数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)
交换律 a·b=b·a
分配律 a·(b+c)=a·b+a·c
新知运用
例2　如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AA1的长度为4,且∠A1AB=∠A1AD=120°.用向量法求:
(1)BD1的长;
(2)直线BD1与AC所成角的余弦值.
【解析】　(1)因为=++,
所以==+++2·+2·+2·=16+4+4+2×4×2cos 60°+2×4×2cos 120°+0=24,故=2,所以BD1的长为2.
(2)·=(+)·(++)=·+·+·+·+·+·=2×4cos 120°-4+0+2×4cos 120°+0+4=-8,
===2,由(1)知=2,
设直线BD1与AC所成的角为θ,
则cos θ====,
所以直线BD1与AC所成角的余弦值为.
【方法总结】　　1.用数量积求两点间距离的步骤:(1)用向量表示此距离;(2)用其他向量表示此向量;(3)用公式a·a=|a|2,求|a|即可.
2.利用向量的数量积求夹角问题的思路:(1)结合图形,平移向量,利用空间向量夹角的定义来求,但要注意向量夹角的范围;(2)先求a·b,再利用公式cos=求cos,最后确定.
如图所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对
角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE.
(1)求MN与AD的夹角;
(2)若CD=DE=1,求MN的长.
【解析】　(1)在矩形ABCD中,AB⊥AD,
在矩形ADEF中,AF⊥AD,
因为平面ABCD⊥平面ADEF,且平面ABCD∩平面ADEF=AD,AB 平面ABCD,
所以AB⊥平面ADEF,
又因为AF 平面ADEF,所以AB⊥AF,
因为=++
=++
=(-)-+(+)
=-+,
所以·=-+·=-·+·=0,
所以MN与AD的夹角为90°.
(2)因为CD=DE=1,所以==1,
则=
==,
即MN的长为.
探究3 数量积的几何意义
我们在测量树的高度时,常利用阳光下的影子测量其高度,如图所示.
问题1:若测得||=2,如何求在上的投影
【答案】　根据平面向量数量积的几何意义,在上的投影数量为||cos(π-∠OAB)==-2.
问题2:平面向量数量积的投影的定义在空间中还成立吗
【答案】　根据空间向量数量积公式可知,依然成立.
新知生成
1.投影向量
如图,将空间任意两
个向量a,b平移到同一个平面内,可得=a,=b,=α.过点B作BB1⊥OA,垂足为点B1,则为在方向上的投影向量,投影向量的模=|cos α|称为投影长.
取方向上的单位向量e来度量投影向量,类比平面向量,可得=(cos α)e,因而可用(||cos α)e来代表投影向量.我们称cos α为在方向上的投影,其正负表示与方向相同还是相反.
2.数量积的几何意义
a与b的数量积等于a的模|a|与b在a方向上的投影|b|·cos α的乘积,也等于b的模|b|与a在b方向上的投影|a|·cos α的乘积.
新知运用
例3　如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,AD=2,∠BAA1=∠DAA1=60°,E为棱C1D1的中点,求在方向上的投影向量及投影.
方法指导　先求||,再求·,代入投影向量和投影公式即可得结果.
【解析】　由图可知,=++,
所以||=++
=
=.
因为·=·+·+=4×3×cos 60°+0+×42=14,
所以在上的投影向量是·=,　
在上的投影是==.　
【方法总结】　　投影是向量数量积的几何意义,求解的实质还是数量积的相关计算,投影向量是投影乘相应投影方向的单位向量.注意区分投影与投影向量.
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设=a,=b,=c.若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1.
(1)求向量在上的投影;
(2)求向量在上的投影向量.
【解析】　(1)由图可知,=++
=++
=(c-a)+a+(b-a)
=a+b+c,
所以·=b ·a+b+c=×0+1+1×1×=.
因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c
=1+1+1+0+2×1×1×+2×1×1×=5,
所以|a+b+c|=,
所以||=|a+b+c|=.
所以向量在上的投影是=×=.
(2)因为向量与的夹角是向量与夹角的补角,所以·=-,
所以向量在上的投影向量是·=-××=-.
【随堂检测】
1.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为(　　)
A.-6　　　　 B.6　　 　　 C.3　　　 　 D.-3
【答案】　B
【解析】　由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,
∴(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,∴2k-12=0,∴k=6.
2.在空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则cos<,>的值为(　　).
A. B. C.- D.0
【答案】　D
【解析】∵·=·(-)=·-·=||||cos∠AOC-||||cos∠AOB=||·||-||||=0,
∴⊥,∴cos<,>=0.
3.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则向量在上的投影等于　　　　.
【答案】　9
【解析】　因为=++,
所以·=(++)·=0+6×6×+62=54,
所以向量在上的投影为||cos<,>===9.
4.(2023·苏州周练)如图,已知一个60°的二面角的棱上有两点A,B,AC,BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长.
【解析】　∵CA⊥AB,BD⊥AB,
∴<,>=120°,且·=0,·=0.
∵=++,
∴||2=·=(++)·(++)
=||2+||2+||2+2·+2·+2·
=||2+||2+||2+2||||cos <,>
=62+42+82+2×6×8×-=68,
∴||=2.
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