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2.3 课时1 空间向量的分解与坐标表示
【学习目标】
1.了解空间向量基本定理及其意义.(数学抽象、直观想象)
2.理解共面向量与向量线性运算之间的关系.(逻辑推理)
3.理解空间向量的正交分解、坐标表示.(数学抽象、数学运算)
【自主预习】
1.平面中的两个非零向量在什么情况下平行呢 为什么平行向量也称为共线向量呢
【答案】　方向相同或相反的非零向量叫作平行向量,也叫共线向量.任一组平行向量都可以移动到同一条直线上,所以平行向量也称为共线向量.
2.空间中任意两个向量总是共面的,但空间中任意三个向量可能是共面的,也可能是不共面的,什么情况下三个空间向量共面呢
【答案】　能平移到同一个平面内的三个向量是共面的.
3.平面内两个不共线向量e1,e2,若平面内任意一个向量p与e1,e2共面,则p,e1,e2这三个向量之间存在怎样的关系呢
【答案】　p=xe1+ye2.
4.在三个向量a,b,c 中,某个向量为0,或者某两个向量平行,请问这三个向量是否共面
【答案】　这三个向量共面.
5.类比平面向量基本定理,叙述空间向量基本定理.
【答案】　设e1,e2,e3是空间中三个不共面的向量,则空间任一向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和:p=xe1+ye2+ze3.
6.如果P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)为空间直角坐标系内任意两点,那么的坐标如何表示呢
【答案】　=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)只有两两垂直的三个向量才能构成空间的一组基.(　　)
(2)若{a,b,c}为空间的一组基,则{-a,b,2c}也可构成空间的一组基. (　　)
(3)若{a,b,c}不能构成空间的一组基,则a,b,c共面.(　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,可以构成空间的一组基的是(　　).
A.{,,} B.{,,}
C.{,,} D.{,,}
【答案】　C
【解析】　由题意知,{,,}可以构成空间的一组基.
3.在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,G为△ABC的重心,E是BD上一点,BE=3ED,以{,,}为空间的一组基,则=　　　　.
【答案】　--+
【解析】　设AC的中点为F,则=+=+=-×(+)+=-(-2)+(-)=--+.
【合作探究】
探究1 共面向量
问题1:空间中任意两个向量是共面向量,则空间中任意三个向量是否共面
【答案】　不一定,如图所示,空间中的三个向量不共面.
问题2:对于两个不共线的空间向量a,b,如果p=xa+yb,那么向量p与向量a,b有什么位置关系 反之,当向量p与向量a,b是什么位置关系时,p=xa+yb
【答案】　向量p与不共线的向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
问题3:对于不共线的三点A,B,C和平面ABC外的一点O,空间中一点P满足关系式=x+y+z,则点P在平面ABC内的充要条件是什么
【答案】　x+y+z=1.
新知生成
1.共面向量
一般地,能平移到同一个平面内的向量叫作共面向量.
2.共面向量基本定理
如果两个向量e1,e2不共线,那么向量p与向量e1,e2共面的充要条件是存在有序数组(x,y),使得p=xe1+ye2.
注意:在三个向量a,b,c 中,若某个向量为0,或者某两个向量平行,则这三个向量共面.
新知运用
例1　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱AA1的中点,O是面对角线BC1与B1C的交点.试判断向量与,是否共面.
【解析】　根据空间向量的运算法则,可得=++=++(-)=-++-=-,
又由空间向量的共面定理,可得向量与,共面.
【方法总结】　　利用共面向量基本定理判断三个向量是否共面的关键是熟记平面向量的共面定理,准确化简、运算.
如图所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE.求证:向量,,共面.
【解析】　因为点M在BD上,且BM=BD,
所以==+.
同理=+.
所以=++
=++++
=+=+.
又与不共线,根据向量共面的充要条件可知,,共面.
探究2 空间向量基本定理
问题1:空间中怎样的向量能构成基
【答案】　空间任意三个不共面的向量都可以组成空间向量的一组基.
问题2:基与基向量的概念有什么不同
【答案】　一组基是指一个向量组,一个基向量是指基中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.
问题3:为什么空间向量基本定理中x,y,z是唯一的
【答案】　平移向量a,b,c,p,使它们共起点,如图所示,以p为体对角线,在a,b,c方向上作平行六面体,易知这个平行六面体是唯一的,因此p在a,b,c方向上的分解是唯一的,即x,y,z是唯一的.
问题4:构成基的三个向量中,可以有零向量吗
【答案】　不可以.因为基是不共面的三个向量,而零向量与任意向量均共面,所以构成基的三个向量中不能有零向量.
问题5:如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算间的关系
【答案】　空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似,仅多了一项竖坐标,其法则与横、纵坐标一致.
新知生成
1.空间向量基本定理
设e1,e2,e3是空间中三个不共面向量,则
(1)空间中任意一个向量p都可以写成这三个向量的线性组合:p=xe1+ye2+ze3.
(2)上述表达式中的系数x,y,z由p唯一决定,即若p=xe1+ye2+ze3=x'e1+y'e2+z'e3,则x=x',y=y',z=z'.
2.基{e1,e2,e3}下的坐标
我们把{e1,e2,e3}称为空间的一组基,e1,e2,e3叫作基向量,(x,y,z)称为向量p=xe1+ye2+ze3在基{e1,e2,e3}下的坐标.
新知运用
一、空间向量基的判断
例2　已知{e1,e2,e3}是空间的一组基,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断{,,}能否作为空间的一组基.
【解析】　假设,,共面,则存在实数λ,μ使得=λ+μ,
∴e1+2e2-e3=λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3)
=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3.
∵e1,e2,e3不共面,
∴此方程组无解,
∴,,不共面,
∴{,,}可以作为空间的一组基.
【方法总结】　　判断三个向量组成的向量组能否作为基,关键是要判断这三个向量是否共面.首先应考虑三个向量中是否有零向量,其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以判断三个向量是否共面,可以假设三个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程组,若方程组有解,则三个向量共面;若方程组无解,则三个向量不共面.
二、用基表示向量
例3　在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,E,F分别是AD1,BD的中点.
(1)分别用向量a,b,c表示,;
(2)若=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值.
【解析】　(1)如图,连接AC,EF,D1F,BD1,
=+
=-+-
=a-b-c,
=+=+
=-(+)+(+)
=-=a-c.
(2)=(+)=(-+)
=(-c+a-b-c)=a-b-c,
∵=xa+yb+zc,
∴x=,y=-,z=-1.
【方法总结】　　用基表示向量的步骤
(1)定基:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一组基.
(2)找目标:用确定的基(或已知基)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.
(3)下结论:利用空间向量的一组基{a,b,c}可以表示出空间所有向量.结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.
1.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一组基.给出下列向量组:①{a,b,x};②{x,y,z};③{b,c,z};④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间的基的向量组有　　　个.
【答案】　3
【解析】　如图所示,设a=,b=,c=,则x=,y=,z=,a+b+c=.
由A,B1,D1,C四点不共面可知向量x,y,z也不共面,同理可知b,c,z不共面,x,y,a+b+c也不共面,可以作为空间的基.因为x=a+b,所以a,b,x共面,不能作为空间的基.
2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=-,=,设=a,=b,=c,试用a,b,c表示.
【解析】　如图,连接AN,则=+.
由已知可得四边形ABCD是平行四边形,从而可得=+=a+b,所以=-=-(a+b),
又=-=b-c,
故=+=-=-=b-(b-c),
故=+=-(a+b)+b-(b-c)=-a+b+c.
探究3 空间向量的直角坐标表示
问题1:与x轴、y轴、z轴共线的向量i,j,k的坐标各有什么特点
【答案】　i=(x,0,0),j=(0,y,0),k=(0,0,z).
问题2:你能写出坐标平面上向量的坐标吗
【答案】　xOy平面上向量的坐标为(x,y,0),xOz平面上向量的坐标为(x,0,z),yOz平面上向量的坐标为(0,y,z).
问题3:对于空间中任意的两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则A,B两点间的距离公式如何表示呢
【答案】　||=.
问题4:如何求向量p=(x,y,z)在三条坐标轴正方向上的投影
【答案】　由图可知,p=xi+yj+zk在三条坐标轴正方向上的投影向量OQ=xi,OR=yj,OS=zk,
因此,p在三条坐标轴正方向上的投影分别为x,y,z,
即向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标.
新知生成
1.标准正交基
若空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i,j,k不共面,可将它们组成空间的一组基,我们把这组基称为标准正交基.
2.坐标
空间中的每个向量p都可以分解成基向量的实数倍之和:p=xi+yj+zk,将x,y,z按顺序排成的实数组(x,y,z)称为向量p的坐标,记为p=(x,y,z).
3.空间向量的坐标
一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标,等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标.
4.向量在三条坐标轴正方向上的投影
向量在三条坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标.
新知运用
例4　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱BB1,DC的中点,如图所示,建立空间直角坐标系.
(1)写出各顶点的坐标;
(2)写出向量,,的坐标.
【解析】　(1)设x轴、y轴、z轴正方向的单位向量分别为i,j,k,
因为正方体的棱长为2,所以=2i,=2j,=2k.
因为D(0,0,0),所以A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2).
又因为=+=2i+2j,所以B(2,2,0).
同理可得,A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2).
(2)因为E,F分别为棱BB1,DC的中点,
所以=++=-k-2i-j=-2i-j-k,
=++=-2k-2i-j=-2i-j-2k,
=+=2j-k,
所以=(-2,-1,-1),=(-2,-1,-2),=(0,2,-1).
【方法总结】　　用坐标表示空间向量的步骤
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点,试建立恰当的空间直角坐标系求向量,,,的坐标.
【解析】　由题意知CC1⊥AC,CC1⊥BC,AC⊥BC,以C为坐标原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz,如图所示.
取标准正交基底为,,,
∴=-=+-=-+,
∴的坐标为(1,-1,1).
而=-=-+,
∴的坐标为(1,-1,2).
又∵=-,∴的坐标为(-1,1,-2).
∵=(+)=(+),
∴的坐标为.
【随堂检测】
1.已知M,A,B,C为空间中四点,任意三点不共线,且=-2+x+y,若M,A,B,C四点共面,则x+y的值为(　　).
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】　D
【解析】　若M,A,B,C四点共面,则=m+n,即-=m(-)+n(-),则=(1-m-n)+m+n,又=-2+x+y,所以-2+x+y=1,则x+y=3.
2.设{i,j,k}是空间中的一组标准正交基,已知向量p=8a+6b+4c,其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在基底{i,j,k}下的坐标是(　　).
A.(12,14,10) B.(10,12,14)
C.(14,12,10) D.(4,3,2)
【答案】　A
【解析】　∵p=8a+6b+4c,a=i+j,b=j+k,c=k+i.
∴p=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)
=12i+14j+10k=(12,14,10).
3.如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB,AD,AA1两两的夹角为60°,AB=AD=1,AA1=2,且设=a,=b,=c,P是CA1的中点,M是CD1的中点.用基{a,b,c}表示以下向量并计算其模长:
(1);
(2).
【解析】　连接AC,AD1(图略),
(1)=(+)=(++)=(a+b+c),
所以||2=(a+b+c)2=12+12+22+2×1×1×+2×1×2×+2×1×2×=,
所以||=.
(2)=(+)=(+++)=a+b+c,
所以 ||2=a+b+c2=×12+12+×22+1×1×+×1×2×+1×2×=,
所以||=.
4.(2023·南阳周练)已知在标准正交基{i,j,k}下,向量a=4i+3j-8k,b=2i-3j+7k,c=-i+2j-4k,求向量m=a-b+c在j上的投影.
【解析】　由已知可得i·j=i·k=j·k=0,且|i|=|j|=|k|=1,
m=a-b+c=(4i+3j-8k)-(2i-3j+7k)+(-i+2j-4k)=i+8j-19k,
所以向量m在j上的投影为==8|j|=8.
22.3 课时1 空间向量的分解与坐标表示
【学习目标】
1.了解空间向量基本定理及其意义.(数学抽象、直观想象)
2.理解共面向量与向量线性运算之间的关系.(逻辑推理)
3.理解空间向量的正交分解、坐标表示.(数学抽象、数学运算)
【自主预习】
1.平面中的两个非零向量在什么情况下平行呢 为什么平行向量也称为共线向量呢
2.空间中任意两个向量总是共面的,但空间中任意三个向量可能是共面的,也可能是不共面的,什么情况下三个空间向量共面呢
3.平面内两个不共线向量e1,e2,若平面内任意一个向量p与e1,e2共面,则p,e1,e2这三个向量之间存在怎样的关系呢
4.在三个向量a,b,c 中,某个向量为0,或者某两个向量平行,请问这三个向量是否共面
5.类比平面向量基本定理,叙述空间向量基本定理.
6.如果P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)为空间直角坐标系内任意两点,那么的坐标如何表示呢
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)只有两两垂直的三个向量才能构成空间的一组基.(　　)
(2)若{a,b,c}为空间的一组基,则{-a,b,2c}也可构成空间的一组基. (　　)
(3)若{a,b,c}不能构成空间的一组基,则a,b,c共面.(　　)
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,可以构成空间的一组基的是(　　).
A.{,,} B.{,,}
C.{,,} D.{,,}
3.在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,G为△ABC的重心,E是BD上一点,BE=3ED,以{,,}为空间的一组基,则=　　　　.
【合作探究】
探究1 共面向量
问题1:空间中任意两个向量是共面向量,则空间中任意三个向量是否共面
问题2:对于两个不共线的空间向量a,b,如果p=xa+yb,那么向量p与向量a,b有什么位置关系 反之,当向量p与向量a,b是什么位置关系时,p=xa+yb
问题3:对于不共线的三点A,B,C和平面ABC外的一点O,空间中一点P满足关系式=x+y+z,则点P在平面ABC内的充要条件是什么
新知生成
1.共面向量
一般地,能平移到同一个平面内的向量叫作共面向量.
2.共面向量基本定理
如果两个向量e1,e2不共线,那么向量p与向量e1,e2共面的充要条件是存在有序数组(x,y),使得p=xe1+ye2.
注意:在三个向量a,b,c 中,若某个向量为0,或者某两个向量平行,则这三个向量共面.
新知运用
例1　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱AA1的中点,O是面对角线BC1与B1C的交点.试判断向量与,是否共面.
【方法总结】　　利用共面向量基本定理判断三个向量是否共面的关键是熟记平面向量的共面定理,准确化简、运算.
如图所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE.求证:向量,,共面.
探究2 空间向量基本定理
问题1:空间中怎样的向量能构成基
问题2:基与基向量的概念有什么不同
问题3:为什么空间向量基本定理中x,y,z是唯一的
问题4:构成基的三个向量中,可以有零向量吗
问题5:如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算间的关系
新知生成
1.空间向量基本定理
设e1,e2,e3是空间中三个不共面向量,则
(1)空间中任意一个向量p都可以写成这三个向量的线性组合:p=xe1+ye2+ze3.
(2)上述表达式中的系数x,y,z由p唯一决定,即若p=xe1+ye2+ze3=x'e1+y'e2+z'e3,则x=x',y=y',z=z'.
2.基{e1,e2,e3}下的坐标
我们把{e1,e2,e3}称为空间的一组基,e1,e2,e3叫作基向量,(x,y,z)称为向量p=xe1+ye2+ze3在基{e1,e2,e3}下的坐标.
新知运用
一、空间向量基的判断
例2　已知{e1,e2,e3}是空间的一组基,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断{,,}能否作为空间的一组基.
【方法总结】　　判断三个向量组成的向量组能否作为基,关键是要判断这三个向量是否共面.首先应考虑三个向量中是否有零向量,其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以判断三个向量是否共面,可以假设三个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程组,若方程组有解,则三个向量共面;若方程组无解,则三个向量不共面.
二、用基表示向量
例3　在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,E,F分别是AD1,BD的中点.
(1)分别用向量a,b,c表示,;
(2)若=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值.
【方法总结】　　用基表示向量的步骤
(1)定基:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一组基.
(2)找目标:用确定的基(或已知基)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.
(3)下结论:利用空间向量的一组基{a,b,c}可以表示出空间所有向量.结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.
1.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一组基.给出下列向量组:①{a,b,x};②{x,y,z};③{b,c,z};④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间的基的向量组有　　　个.
2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=-,=,设=a,=b,=c,试用a,b,c表示.
探究3 空间向量的直角坐标表示
问题1:与x轴、y轴、z轴共线的向量i,j,k的坐标各有什么特点
问题2:你能写出坐标平面上向量的坐标吗
问题3:对于空间中任意的两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则A,B两点间的距离公式如何表示呢
问题4:如何求向量p=(x,y,z)在三条坐标轴正方向上的投影
新知生成
1.标准正交基
若空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i,j,k不共面,可将它们组成空间的一组基,我们把这组基称为标准正交基.
2.坐标
空间中的每个向量p都可以分解成基向量的实数倍之和:p=xi+yj+zk,将x,y,z按顺序排成的实数组(x,y,z)称为向量p的坐标,记为p=(x,y,z).
3.空间向量的坐标
一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标,等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标.
4.向量在三条坐标轴正方向上的投影
向量在三条坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标.
新知运用
例4　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱BB1,DC的中点,如图所示,建立空间直角坐标系.
(1)写出各顶点的坐标;
(2)写出向量,,的坐标.
【方法总结】　　用坐标表示空间向量的步骤
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点,试建立恰当的空间直角坐标系求向量,,,的坐标.
【随堂检测】
1.已知M,A,B,C为空间中四点,任意三点不共线,且=-2+x+y,若M,A,B,C四点共面,则x+y的值为(　　).
A.0 B.1 C.2 D.3
2.设{i,j,k}是空间中的一组标准正交基,已知向量p=8a+6b+4c,其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在基底{i,j,k}下的坐标是(　　).
A.(12,14,10) B.(10,12,14)
C.(14,12,10) D.(4,3,2)
3.如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB,AD,AA1两两的夹角为60°,AB=AD=1,AA1=2,且设=a,=b,=c,P是CA1的中点,M是CD1的中点.用基{a,b,c}表示以下向量并计算其模长:
(1);
(2).
4.(2023·南阳周练)已知在标准正交基{i,j,k}下,向量a=4i+3j-8k,b=2i-3j+7k,c=-i+2j-4k,求向量m=a-b+c在j上的投影.
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