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2.3 课时2 空间向量线性运算的坐标表示
【学习目标】
1.掌握空间向量加减运算和数乘运算的坐标表示.(数学抽象、数学运算)
2.理解两空间向量平行的判定.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.类比平面向量加减运算的坐标表示,思考空间向量加减运算该如何用坐标表示
2.类比平面向量数乘运算的坐标表示,思考空间向量数乘运算该如何用坐标表示
3.类比两平面向量平行的坐标关系,思考如果两空间向量平行,那么它们的坐标存在什么样的关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)即使建立的坐标系不同,同一向量的坐标仍相同. (　　)
(2)若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a∥b,则==. (　　)
(3)若向量a=(2,1,-3),b=(1,-1,2),则a+2b=(4,-1,1). (　　)
2.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则4a-2b=(　　).
A.(16,0,4) B.(16,-16,4)
C.(8,16,4) D.(8,0,4)
3.下列向量中与向量a=(0,1,0)平行的向量是(　　).
A.b=(1,0,0) B.c=(0,-1,0)
C.d=(-1,-1,1) D.e=(0,0,-1)
【合作探究】
探究1 空间向量的线性运算的坐标表示
问题1:设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),如何求a+b,a-b
问题2:平面向量坐标的线性运算与空间向量坐标的线性运算有什么联系与区别
新知生成
设a=(x1,x2,x3),b=(y1,y2,y3),空间向量的坐标运算法则如下:
1.空间向量加、减运算的坐标表示
(1)语言叙述:两个向量和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(或差).
(2)符号叙述:a+b=(x1+y1,x2+y2,x3+y3),a-b=(x1-y1,x2-y2,x3-y3).
2.向量的数乘运算
(1)语言表示:一个实数与向量乘积的坐标等于这个实数乘向量相应的坐标.
(2)符号表示:λa=(λx1,λx2,λx3),λ∈R.
新知运用
例1　如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3.求:
(1)向量,,的坐标;
(2)+2,+-2的坐标.
【方法总结】　　1.一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.2.在确定了向量的坐标后,使用空间向量的加减、数乘的坐标运算公式进行计算即可.
已知点A(1,1,-1),B(1,0,1),C(0,1,2),D(-1,2,1),求:
(1),,;
(2)2-+.
探究2 向量平行的坐标表示
问题1:若a=(x1,x2,x3),b=(y1,y2,y3),为什么a∥b不一定能推出==成立
问题2:已知点M在直线 AB上,=λ,λ为实数,当点M在直线AB的不同位置时,λ的取值范围是什么
新知生成
已知a为非零向量,a=(x1,x2,x3),b=(y1,y2,y3),则a∥b (x1,x2,x3)∥(y1,y2,y3) y1=λx1,y2=λx2,y3=λx3(λ∈R).
新知运用
例2　已知a=(-2,3,2),b=(1,-5,1),且ma+b与2a-b平行,求实数m的值.
【方法总结】　　向量平行问题主要有两种题型:(1)平行的判断;(2)平行的应用,如求参数.解题时要注意:①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程;②最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的.
已知A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)三点在同一条直线上,则a+b=　　　　.
探究3 求点的坐标
例3　已知O是坐标原点,A,B,C三点的坐标分别为A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5).
(1)若=(-),求点D的坐标;
(2)若P是线段AB上的一点,且AP∶PB=1∶2,求点P的坐标.
【方法总结】　　求点的坐标,是向量线性运算的坐标表示的综合应用,解题关键:一是直接根据向量线性的坐标表示的应用公式化简求解;二是根据坐标运算建立方程求解.与平面向量的坐标运算法则基本一样,求点的坐标的关键是注意一些计算公式的应用.
若A(3,2,4),B(1,2,-8),点C在线段AB上,且=,则点C的坐标是　　　　.
【随堂检测】
1.已知向量a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),则3a-b=(　　).
A.(-8,11,14) B.(-9,3,15)
C.(-10,1,16) D.(0,13,2)
2.向量m=(-1,x,3),n=(y,2,6),若m∥n,则x+y的值为(　　).
A.2 B.1 C.-1 D.-2
3.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=(1,2,3),C1(-1,2,4),则点A1的坐标为(　　).
A.(0,4,7) B.(-2,0,1)
C.(2,0,-1) D.(2,0,1)
4.(2023·九江周练)如图,在空间四边形ABCD中,若向量=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为(　　).
A.(2,3,3)
B.(-2,-3,-3)
C.(5,-2,1)
D.(-5,2,-1)
22.3 课时2 空间向量线性运算的坐标表示
【学习目标】
1.掌握空间向量加减运算和数乘运算的坐标表示.(数学抽象、数学运算)
2.理解两空间向量平行的判定.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.类比平面向量加减运算的坐标表示,思考空间向量加减运算该如何用坐标表示
【答案】　两个向量和(或差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(或差).
2.类比平面向量数乘运算的坐标表示,思考空间向量数乘运算该如何用坐标表示
【答案】　一个实数与向量乘积的坐标等于这个实数乘向量相应的坐标.
3.类比两平面向量平行的坐标关系,思考如果两空间向量平行,那么它们的坐标存在什么样的关系
【答案】　a∥b(b≠0)的充要条件是存在唯一的实数λ,使a=λb,即a与b相应坐标成倍数关系.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)即使建立的坐标系不同,同一向量的坐标仍相同. (　　)
(2)若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a∥b,则==. (　　)
(3)若向量a=(2,1,-3),b=(1,-1,2),则a+2b=(4,-1,1). (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
2.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则4a-2b=(　　).
A.(16,0,4) B.(16,-16,4)
C.(8,16,4) D.(8,0,4)
【答案】　B
【解析】　∵4a=(12,-8,4),2b=(-4,8,0),∴4a-2b=(16,-16,4).
3.下列向量中与向量a=(0,1,0)平行的向量是(　　).
A.b=(1,0,0) B.c=(0,-1,0)
C.d=(-1,-1,1) D.e=(0,0,-1)
【答案】　B
【解析】　因为λa∥a,λa=(0,λ,0),A,C,D选项均不符合λa=(0,λ,0)的形式,只有c=-a满足c∥a,故选B.
【合作探究】
探究1 空间向量的线性运算的坐标表示
问题1:设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),如何求a+b,a-b
【答案】　因为a+b=(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)
=(x1i+y1j+z1k)+(x2i+y2j+z2k)
=(x1+x2)i+(y1+y2)j+(z1+z2)k,
所以a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2).
同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2).
问题2:平面向量坐标的线性运算与空间向量坐标的线性运算有什么联系与区别
【答案】　平面向量坐标的线性运算与空间向量坐标的线性运算是相同的,但空间向量要比平面向量多一竖坐标,竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的.
新知生成
设a=(x1,x2,x3),b=(y1,y2,y3),空间向量的坐标运算法则如下:
1.空间向量加、减运算的坐标表示
(1)语言叙述:两个向量和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(或差).
(2)符号叙述:a+b=(x1+y1,x2+y2,x3+y3),a-b=(x1-y1,x2-y2,x3-y3).
2.向量的数乘运算
(1)语言表示:一个实数与向量乘积的坐标等于这个实数乘向量相应的坐标.
(2)符号表示:λa=(λx1,λx2,λx3),λ∈R.
新知运用
例1　如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3.求:
(1)向量,,的坐标;
(2)+2,+-2的坐标.
【解析】　(1)由已知A(0,0,0),C'(1,2,3),B(1,0,0),D'(0,2,3),
则=(1,2,3),=(-1,2,3),=(0,2,3).
(2)+2=(1,2,3)+2(-1,2,3)=(-1,6,9),
+-2=(1,2,3)+(-1,2,3)-2(0,2,3)=(0,0,0).
【方法总结】　　1.一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.2.在确定了向量的坐标后,使用空间向量的加减、数乘的坐标运算公式进行计算即可.
已知点A(1,1,-1),B(1,0,1),C(0,1,2),D(-1,2,1),求:
(1),,;
(2)2-+.
【解析】　(1)由题设,=(1,0,1)-(1,1,-1)=(0,-1,2),=(0,1,2)-(1,1,-1)=(-1,0,3),=(-1,2,1)-(1,1,-1)=(-2,1,2).
(2)由(1)可得,2-+=(0,-2,4)-(-1,0,3)+(-2,1,2)=(-1,-1,3).
探究2 向量平行的坐标表示
问题1:若a=(x1,x2,x3),b=(y1,y2,y3),为什么a∥b不一定能推出==成立
【答案】　因为当b的三个坐标有0时,有些分式无意义.当b的三个坐标都不为0时,a∥b ==才成立,否则有些分式无意义.
问题2:已知点M在直线 AB上,=λ,λ为实数,当点M在直线AB的不同位置时,λ的取值范围是什么
【答案】　当点M在线段AB上(不与端点重合)时,λ∈(0,1);当点M在AB的延长线上时,λ∈(1,+∞);当点M在AB的反向延长线上时,λ∈(-∞,0);当点M与点A重合时,λ=0;当点M与点B重合时,λ=1.
新知生成
已知a为非零向量,a=(x1,x2,x3),b=(y1,y2,y3),则a∥b (x1,x2,x3)∥(y1,y2,y3) y1=λx1,y2=λx2,y3=λx3(λ∈R).
新知运用
例2　已知a=(-2,3,2),b=(1,-5,1),且ma+b与2a-b平行,求实数m的值.
【解析】　(法一)因为(ma+b)∥(2a-b),所以ma+b=k(2a-b)(k∈R),所以(2k-m)a=(1+k)b,
因为a与b不平行,所以所以m=-2.
(法二)由已知得,ma+b=(-2m+1,3m-5,2m+1),2a-b=(-4,6,4)-(1,-5,1)=(-5,11,3),
因为(ma+b)∥(2a-b),
所以==,解得m=-2.
【方法总结】　　向量平行问题主要有两种题型:(1)平行的判断;(2)平行的应用,如求参数.解题时要注意:①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程;②最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的.
已知A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)三点在同一条直线上,则a+b=　　　　.
【答案】　5
【解析】　根据题意得=(1,-1,3),
=(a-1,-2,b+4),
∵与共线,∴=λ,
∴(a-1,-2,b+4)=(λ,-λ,3λ),
∴解得∴a+b=5.
探究3 求点的坐标
例3　已知O是坐标原点,A,B,C三点的坐标分别为A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5).
(1)若=(-),求点D的坐标;
(2)若P是线段AB上的一点,且AP∶PB=1∶2,求点P的坐标.
【解析】　(1)∵=(-1,1,5),=(-3,-1,5),
∴=(-)=(2,2,0)=(1,1,0),
∴点D的坐标为(1,1,0).
(2)由P是线段AB上的一点,且AP∶PB=1∶2,
得=.
设点P的坐标为(x,y,z),则=(x-3,y-4,z),=(2-x,5-y,5-z),
故(x-3,y-4,z)=(2-x,5-y,5-z),
即解得
因此点P的坐标为,,.
【方法总结】　　求点的坐标,是向量线性运算的坐标表示的综合应用,解题关键:一是直接根据向量线性的坐标表示的应用公式化简求解;二是根据坐标运算建立方程求解.与平面向量的坐标运算法则基本一样,求点的坐标的关键是注意一些计算公式的应用.
若A(3,2,4),B(1,2,-8),点C在线段AB上,且=,则点C的坐标是　　　　.
【答案】　,2,-4
【解析】　因为点A(3,2,4),B(1,2,-8),C为线段AB上一点,且=,
所以=,=(-2,0,-12).
设点C的坐标为(x,y,z),则=(x-3,y-2,z-4),
则(x-3,y-2,z-4)=(-2,0,-12),即
解得即C,2,-4.
【随堂检测】
1.已知向量a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),则3a-b=(　　).
A.(-8,11,14) B.(-9,3,15)
C.(-10,1,16) D.(0,13,2)
【答案】　C
【解析】　a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),则3a-b=(-10,1,16).
2.向量m=(-1,x,3),n=(y,2,6),若m∥n,则x+y的值为(　　).
A.2 B.1 C.-1 D.-2
【答案】　C
【解析】　由题意可知x≠0,y≠0,则==,因此x=1,y=-2,所以x+y=-1.
3.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=(1,2,3),C1(-1,2,4),则点A1的坐标为(　　).
A.(0,4,7) B.(-2,0,1)
C.(2,0,-1) D.(2,0,1)
【答案】　B
【解析】　设A1(x,y,z),∵=(1,2,3),C1(-1,2,4),又=,
∴(1,2,3)=(-1-x,2-y,4-z),解得x=-2,y=0,z=1,即A1(-2,0,1).
4.(2023·九江周练)如图,在空间四边形ABCD中,若向量=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为(　　).
A.(2,3,3)
B.(-2,-3,-3)
C.(5,-2,1)
D.(-5,2,-1)
【答案】　B
【解析】　如图,取AC的中点M,连接ME,MF,
则==-,,1,
==-,-,-2,
从而=-=(-2,-3,-3).
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