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2.3 课时3 空间向量数量积的坐标表示
【学习目标】
1.理解空间向量数量积运算的坐标表示.(数学抽象)
2.了解向量垂直的条件,并会判断两个向量是否垂直.(逻辑推理、数学运算)
3.掌握空间向量的模长和夹角公式,并能运用这些公式解决简单几何体中的问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.类比平面向量数量积运算的坐标表示,思考空间向量数量积运算该如何用坐标表示
【答案】　两个向量的数量积等于这两个向量相应坐标乘积的和.
2.若a⊥b,则向量a与b满足什么关系
【答案】　a·b=0.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a⊥b a1b1+a2b2+a3b3=0. (　　)
(2)若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则||==.(　　)
【答案】　(1)√　(2)√
2.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是(　　).
A.a+b=(10,-5,-6) B.a-b=(2,-1,-6)
C.a·b=10 D.|a|=6
【答案】　D
【解析】　由已知得a+b=(10,-5,-2),所以A错误;a-b=(-2,1,-6),所以B错误;a·b=24+6-8=22,所以C错误;|a|==6,所以D正确.
3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k=(　　).
A.1 B. C. D.
【答案】　D
【解析】　由题意得ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),且(ka+b)·(2a-b)=3(k-1)+2k-4=0,解得k=.
4.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量与的夹角为　　　　　.
【答案】　
【解析】　∵=(0,3,3),=(-1,1,0),
∴||=3,||=,·=0×(-1)+3×1+3×0=3,
∴cos<,>==.
又∵<,>∈[0,π],
∴<,>=.
【合作探究】
探究1 向量数量积的坐标表示
问题1:已知a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),如何求a·b
【答案】　取标准正交基{i,j,k},由已知得a=x1i+y1j+z1k,b=x2i+y2j+z2k,
所以a·b=(x1i+y1j+z1k)·(x2i+y2j+z2k)
=x1x2i2+y1y2j2+z1z2k2
=x1x2+y1y2+z1z2.
问题2:设异面直线AB,CD所成的角为θ,则cos θ=cos<,>一定成立吗
【答案】　当cos<,>≥0时,cos θ=cos<,>;
当cos<,><0时,cos θ=-cos<,>.
新知生成
数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于这两个向量相应坐标乘积的和.
设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),
则a·b=(x1,y1,z1)·(x2,y2,z2)=x1x2+y1y2+z1z2.
(1)向量的模
|a|=.
(2)向量a,b夹角的余弦值
cos=.
(3)空间向量的垂直
a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0.
新知运用
例1　已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,a·b,(2a)·(-b),(a+b)·(a-b).
【解析】　a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2);
a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1+1,-2-4)=(2,0,-6);
a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7;
(2a)·(-b)=-2(a·b)=-2×(-7)=14;
(a+b)·(a-b)=(2,-2,2)·(2,0,-6)=2×2-2×0+2×(-6)=-8.
已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q=(　　).
A.-1　　　　B.1　　　　C.0　　　　D.-2
【答案】　A
【解析】　因为p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1),所以p·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1,故选A.
探究2 向量垂直的应用
例2　已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设a=,b=.
(1)若|c|=3,c∥,求c;
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
方法指导　(1)根据c∥,设c=λ,则c的坐标可用λ表示,再利用|c|=3求λ的值;(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.
【解析】　(1)∵=(-2,-1,2)且c∥,
∴设c=λ=(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R),
∴|c|==3|λ|=3,
解得λ=±1,∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).
(2)∵a==(1,1,0),b==(-1,0,2),
∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).
∵(ka+b)⊥(ka-2b),∴(ka+b)·(ka-2b)=0,
即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,
解得k=2或k=-.
【方法总结】　　向量垂直问题主要有两种题型:(1)垂直的判断;(2)利用垂直求参数或解其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注意:①适当引入参数,建立关于参数的方程;②最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的.
已知点A(-2,3,0),B(1,3,2),点P在直线AB上.
(1)若=2,写出点P的坐标;
(2)若O是坐标原点,且OP⊥AB,写出点P的坐标.
【解析】　∵=(3,0,2),点P在直线AB上,∴=λ,∴=(3λ,0,2λ),∴点P的坐标可表示为(-2+3λ,3,2λ).
(1)由|AP|=2|AB|得=2,∴λ=±2,∴点P的坐标为(4,3,4)或(-8,3,-4).
(2)∵=(-2+3λ,3,2λ),OP⊥AB,∴·=3(-2+3λ)+2×2λ=0,∴λ=,∴点P的坐标为-,3,.
探究3 求空间向量的模长与夹角
例3　如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1D,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD,H为C1G的中点.
(1)求证:EF⊥B1C.
(2)求cos <,>.
(3)求||.
【解析】　(1)如图,以D为坐标原点,建立空间
直角坐标系D-xyz,
则E0,0,,F,,0,C(0,1,0),C1(0,1,1),B1(1,1,1),G0,,0,
所以=,,-,=(-1,0,-1).
因为·=×(-1)+×0+-×(-1)=0,
所以⊥,即EF⊥B1C.
(2)因为=0,-,-1,
所以||=.
又·=×0+×-+-×(-1)=,||=,
所以cos <,>==.
(3)由H0,,,
得=-,,.
故||==.
【方法总结】　　关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量或点用坐标形式设出来,然后通过建立方程(组),解方程(组)求出向量或点的坐标.
在如图所示的直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,AA1=2,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1A的中点.
(1)求||;
(2)求cos<,>;
(3)求证:A1B⊥C1M.
【解析】　(1)以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
∴B(0,1,0),N(1,0,1),∴=(1,-1,1),∴||==.
(2)∵A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),
∴=(1,-1,2),=(0,1,2),
∴·=3,||=,||=.
∴cos <,>==.
(3)∵C1(0,0,2),M,,2,
∴=,,0.
又∵=(-1,1,-2),
∴·=-++0=0,
∴⊥,∴A1B⊥C1M.
【随堂检测】
1.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离CM的值为(　　).
A. B. C. D.
【答案】　C
【解析】　∵M为AB的中点,∴点M的坐标为2,,3,
∴=2,,3,
∴CM=||==.
2.已知A(3,3,3),B(6,6,6),O为原点,则与的夹角是(　　).
A.0 B.π C. D.2π
【答案】　B
【解析】　由题意得,=(3,3,3),=(-6,-6,-6),
则·=3×(-6)+3×(-6)+3×(-6)=-54,
||=3,||=6,
所以cos<,>===-1,
所以<,>=π.
3.已知向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则
(1)a·(b+c)=　　　　;
(2)(a+2b)·(a-2b)=　　　　.
【答案】　(1)9　(2)-38
【解析】　(1)b+c=(2,0,5),
a·(b+c)=(2,-3,1)·(2,0,5)=9.
(2)|a|=,|b|=,
(a+2b)·(a-2b)=|a|2-4|b|2=-38.
4.已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,3),设a=,b=.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)若向量ka+b与ka-b互相垂直,求k的值;
(3)求|a+3b|.
【解析】　(1)由题意得a==(1,1,0),b==(-1,0,1),
∴a·b=-1+0+0=-1,|a|=,|b|=,
∴cos θ===-.
∵0≤θ≤π,
∴θ=.
(2)由题意得(ka+b)·(ka-b)=k2|a|2-|b|2=2k2-2=0,解得k=±1.
(3)|a+3b|=
==.
22.3 课时3 空间向量数量积的坐标表示
【学习目标】
1.理解空间向量数量积运算的坐标表示.(数学抽象)
2.了解向量垂直的条件,并会判断两个向量是否垂直.(逻辑推理、数学运算)
3.掌握空间向量的模长和夹角公式,并能运用这些公式解决简单几何体中的问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.类比平面向量数量积运算的坐标表示,思考空间向量数量积运算该如何用坐标表示
2.若a⊥b,则向量a与b满足什么关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a⊥b a1b1+a2b2+a3b3=0. (　　)
(2)若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则||==.(　　)
2.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是(　　).
A.a+b=(10,-5,-6) B.a-b=(2,-1,-6)
C.a·b=10 D.|a|=6
3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k=(　　).
A.1 B. C. D.
4.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量与的夹角为　　　　　.
【合作探究】
探究1 向量数量积的坐标表示
问题1:已知a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),如何求a·b
问题2:设异面直线AB,CD所成的角为θ,则cos θ=cos<,>一定成立吗
新知生成
数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于这两个向量相应坐标乘积的和.
设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),
则a·b=(x1,y1,z1)·(x2,y2,z2)=x1x2+y1y2+z1z2.
(1)向量的模
|a|=.
(2)向量a,b夹角的余弦值
cos=.
(3)空间向量的垂直
a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0.
新知运用
例1　已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,a·b,(2a)·(-b),(a+b)·(a-b).
已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q=(　　).
A.-1　　　　B.1　　　　C.0　　　　D.-2
探究2 向量垂直的应用
例2　已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设a=,b=.
(1)若|c|=3,c∥,求c;
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
方法指导　(1)根据c∥,设c=λ,则c的坐标可用λ表示,再利用|c|=3求λ的值;(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.
【方法总结】　　向量垂直问题主要有两种题型:(1)垂直的判断;(2)利用垂直求参数或解其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注意:①适当引入参数,建立关于参数的方程;②最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的.
已知点A(-2,3,0),B(1,3,2),点P在直线AB上.
(1)若=2,写出点P的坐标;
(2)若O是坐标原点,且OP⊥AB,写出点P的坐标.
探究3 求空间向量的模长与夹角
例3　如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1D,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD,H为C1G的中点.
(1)求证:EF⊥B1C.
(2)求cos <,>.
(3)求||.
【方法总结】　　关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量或点用坐标形式设出来,然后通过建立方程(组),解方程(组)求出向量或点的坐标.
在如图所示的直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,AA1=2,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1A的中点.
(1)求||;
(2)求cos<,>;
(3)求证:A1B⊥C1M.
【随堂检测】
1.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离CM的值为(　　).
A. B. C. D.
2.已知A(3,3,3),B(6,6,6),O为原点,则与的夹角是(　　).
A.0 B.π C. D.2π
3.已知向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则
(1)a·(b+c)=　　　　;
(2)(a+2b)·(a-2b)=　　　　.
4.已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,3),设a=,b=.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)若向量ka+b与ka-b互相垂直,求k的值;
(3)求|a+3b|.
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