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2.4 课时1 空间直线的方向向量和平面的法向量
【学习目标】
1.理解直线的方向向量和平面的法向量.(数学抽象、直观想象)
2.会用待定系数法求平面的法向量.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.如何用向量来确定一个点在空间的位置
【答案】　在空间中,取一定点O作为原点,那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示,称为点P的位置向量.
2.对于平面上的直线,可以用平面向量刻画其方向.对于空间直线,是否也可用空间向量来刻画其方向
【答案】　如图,在直线l上任取两个不同的点A,B,则有向线段AB所代表的向量就表示直线的方向,称为直线 l 的方向向量.自然,也是直线 l 的方向向量.
3.如何用向量来确定一个平面的位置
【答案】　给定一点A和一个向量n,那么,过点A,且以向量n为法向量的平面是完全确定的.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)零向量能作为直线的方向向量. (　　)
(2)直线的方向向量都是相等向量. (　　)
(3)直线的方向向量是不唯一的. (　　)
(4)平面的法向量是唯一的. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.若A(1,2,3),B(2,1,0)在直线l上,则直线l的一个方向向量是(　　).
A.(1,-1,-3) B.(-1,1,-3)
C.(3,3,3) D.(-3,0,1)
【答案】　A
3.已知平面α过点P(0,1,1),其法向量为n=(1,1,2),则下列点不在平面α内的是(　　).
A.(2,1,0) B.(-1,0,2)
C.(2,-1,2) D.(2,3,-1)
【答案】　C
【解析】　设平面α内的点A(x,y,z),则=(x,y-1,z-1),结合法向量的定义可得·n=x+(y-1)+2(z-1)=0,即x+y+2z-3=0.
若x=2,y=1,则z=0,故点(2,1,0)在平面α内;
若x=-1,y=0,则z=2,故点(-1,0,2)在平面α内;
若x=2,y=-1,则z=1,故点(2,-1,2)不在平面α内;
若x=2,y=3,则z=-1,故点(2,3,-1)在平面α内.
故选C.
4.若A0,2,,B1,-1,,C-2,1,是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=　　　　.
【答案】　2∶3∶(-4)
【解析】　因为=1,-3,-,=-2,-1,-,且a·=0,a·=0,
所以解得
所以x∶y∶z=y∶y∶-y=2∶3∶(-4).
【合作探究】
探究1 直线的方向向量
问题1:直线的方向向量是唯一的吗 若不唯一,直线的方向向量之间的关系是怎样的
【答案】　直线的方向向量不是唯一的,直线的不同的方向向量是共线向量.
问题2:两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角之间有什么关系
【答案】　相等或互补.
问题3:零向量可以是直线的方向向量吗
【答案】　不可以.直线的方向向量是用来描述空间直线的位置,而零向量的方向是任意的,因此,无法用零向量来描述空间直线的位置.
新知生成
一般地,如果非零向量v与直线l平行,就称v为l的方向向量.
已知空间直线l上一个定点A以及这条直线的一个方向向量,就可以确定这条空间直线的位置.
新知运用
例1　如图所示,在空间直角坐标系中,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,PB⊥平面ABCD,且PB=AB=2,若点Q在PC上,求下列直线的一个方向向量:
(1)PQ;(2)PA.
【解析】　由题意得C(0,2,0),P(2,2,2),A(2,0,0).
(1)因为=(-2,0,-2),且点Q在PC上,所以PQ的一个方向向量为vPQ=(-2,0,-2).
(2)因为=(0,-2,-2),所以PA的一个方向向量为vPA=(0,-2,-2).
【方法总结】　　1.一条直线有无穷多个方向向量,这些方向向量是相互平行的;2.直线 l 的方向向量也是所有与 l 平行的直线的方向向量.这个可由直线方向向量的定义和平行直线的传递性推知.
如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知△ABC的边长为2,三棱柱的高为1,BC,B1C1的中点分别为D,D1,以D为坐标原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.求下列直线的一个方向向量:
(1)AD1;(2)B1A.
【解析】　在等边△ABC中,AB=2,BD=1,所以AD=,则A(0,,0),B1(-1,0,1),D1(0,0,1).
(1)因为=(0,-,1),所以=(0,-,1).
(2)因为=(1,,-1),所以=(1,,-1).
探究2 平面的法向量
如图,设两条直线相交于点O,它们确定平面α,对应的方向向量分别为a和b,P为空间内任意一点.
问题1:点P在平面α内的充要条件是什么
【答案】　存在唯一的有序实数组(x,y),使得=xa+yb.
问题2:若⊥α,试问与向量a和b有什么关系
【答案】　⊥a,⊥b.
问题3:什么是平面α的法向量 是平面α的法向量吗
【答案】　若直线l与平面α垂直,则直线l的方向向量叫作平面α的法向量.不一定是平面α的法向量.
问题4:如何选取平面的法向量
【答案】　平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量,即只需作一条垂直于平面α的直线,再选取该直线的方向向量即可.
新知生成
1.平面的法向量
如果非零向量n所在直线与平面α垂直,那么称n为平面α的一个法向量.
给定一点A和一个向量n,那么,过点A且以向量n为法向量的平面是完全确定的.
2.坐标平面的法向量的特征
(1)坐标平面xOy的法向量与z轴平行,故(0,0,z)(z≠0)均可作为平面xOy的法向量,常取(0,0,1).
(2)坐标平面xOz的法向量与y轴平行,故(0,y,0)(y≠0)均可作为平面xOz的法向量,常取(0,1,0).
(3)坐标平面yOz的法向量与x轴平行,故(x,0,0)(x≠0)均可作为平面yOz的法向量,常取(1,0,0).
新知运用
例2　如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=.
求:(1)平面ABCD的一个法向量;
(2)平面SAB的一个法向量;
(3)平面SCD的一个法向量.
【解析】　以A为坐标原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(1,1,0),D,0,0,S(0,0,1).
(1)∵SA⊥平面ABCD,
∴=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.
(2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,AB∩SA=A,AB,SA 平面ABS,
∴AD⊥平面SAB,
∴=,0,0是平面SAB的一个法向量.
(3)在平面SCD中,=,1,0,=(1,1,-1).
设平面SCD的法向量是n=(x,y,z),
∴n⊥,n⊥,
∴即∴
令y=-1,得x=2,z=1,∴n=(2,-1,1).
∴n=(2,-1,1)是平面SCD的一个法向量(答案不唯一).
【方法总结】　　求平面法向量的步骤
(1)设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z).
(2)选向量:在平面内选取两个不共线的向量,.
(3)列方程组:由列出方程组.
(4)解方程组
(5)赋非零值:取x,y,z的其中一个为非零值(常取±1).
(6)得结论:得到平面的一个法向量.
已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求出平面ABC的一个法向量.
【解析】　∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),
∴=(1,-2,-4),=(2,-4,-3),
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),
由题意得即
解得
取y=1,则x=2.
故平面ABC的一个法向量为n=(2,1,0).
【随堂检测】
1.若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　).
A.(1,2,4) B.(1,4,2) C.(2,1,4) D.(4,2,1)
【答案】　A
【解析】　由已知得=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4).故选A.
2.已知平面α过点A(1,-1,2),其法向量n=(2,-1,2),则下列各点在平面α内的是(　　).
A.(2,3,3) B.(3,-3,4)
C.(-1,2,0) D.(-2,0,1)
【答案】　A
【解析】　设Q(2,3,3),则=(1,4,1),·n=1×2+4×(-1)+1×2=0,所以点Q在平面α内,故A满足题意;设R(3,-3,4),则=(2,-2,2),·n=2×2+(-2)×(-1)+2×2=10≠0,所以点R不在平面α内,故B不满足题意;同理可知C,D不满足题意.
3.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,则下列结论中正确的是(　　).
A.直线DD1的一个方向向量为(0,1,1)
B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)
C.直线AC1的一个方向向量为(0,1,1)
D.直线AC的方向向量与直线B1D1的方向向量平行
【答案】　B
【解析】　因为DD1∥AA1,=(0,0,1),所以直线DD1的一个方向向量为(0,0,1),所以A错误;因为BC1∥AD1,=(0,1,1),所以B正确;同理C错误;因为AC⊥B1D1,所以它们的方向向量也垂直,所以D错误.
4.平面α经过三点A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),求平面α的一个法向量u.
【解析】　由题意得=(2,1,1),=(3,-1,-1),设平面α的法向量u=(x,y,z),则令z=-1,得x=0,y=1,故平面α的一个法向量u=(0,1,-1).
22.4 课时1 空间直线的方向向量和平面的法向量
【学习目标】
1.理解直线的方向向量和平面的法向量.(数学抽象、直观想象)
2.会用待定系数法求平面的法向量.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.如何用向量来确定一个点在空间的位置
2.对于平面上的直线,可以用平面向量刻画其方向.对于空间直线,是否也可用空间向量来刻画其方向
3.如何用向量来确定一个平面的位置
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)零向量能作为直线的方向向量. (　　)
(2)直线的方向向量都是相等向量. (　　)
(3)直线的方向向量是不唯一的. (　　)
(4)平面的法向量是唯一的. (　　)
2.若A(1,2,3),B(2,1,0)在直线l上,则直线l的一个方向向量是(　　).
A.(1,-1,-3) B.(-1,1,-3)
C.(3,3,3) D.(-3,0,1)
3.已知平面α过点P(0,1,1),其法向量为n=(1,1,2),则下列点不在平面α内的是(　　).
A.(2,1,0) B.(-1,0,2)
C.(2,-1,2) D.(2,3,-1)
4.若A0,2,,B1,-1,,C-2,1,是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=　　　　.
【合作探究】
探究1 直线的方向向量
问题1:直线的方向向量是唯一的吗 若不唯一,直线的方向向量之间的关系是怎样的
问题2:两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角之间有什么关系
问题3:零向量可以是直线的方向向量吗
新知生成
一般地,如果非零向量v与直线l平行,就称v为l的方向向量.
已知空间直线l上一个定点A以及这条直线的一个方向向量,就可以确定这条空间直线的位置.
新知运用
例1　如图所示,在空间直角坐标系中,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,PB⊥平面ABCD,且PB=AB=2,若点Q在PC上,求下列直线的一个方向向量:
(1)PQ;(2)PA.
【方法总结】　　1.一条直线有无穷多个方向向量,这些方向向量是相互平行的;2.直线 l 的方向向量也是所有与 l 平行的直线的方向向量.这个可由直线方向向量的定义和平行直线的传递性推知.
如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知△ABC的边长为2,三棱柱的高为1,BC,B1C1的中点分别为D,D1,以D为坐标原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.求下列直线的一个方向向量:
(1)AD1;(2)B1A.
探究2 平面的法向量
如图,设两条直线相交于点O,它们确定平面α,对应的方向向量分别为a和b,P为空间内任意一点.
问题1:点P在平面α内的充要条件是什么
问题2:若⊥α,试问与向量a和b有什么关系
问题3:什么是平面α的法向量 是平面α的法向量吗
问题4:如何选取平面的法向量
新知生成
1.平面的法向量
如果非零向量n所在直线与平面α垂直,那么称n为平面α的一个法向量.
给定一点A和一个向量n,那么,过点A且以向量n为法向量的平面是完全确定的.
2.坐标平面的法向量的特征
(1)坐标平面xOy的法向量与z轴平行,故(0,0,z)(z≠0)均可作为平面xOy的法向量,常取(0,0,1).
(2)坐标平面xOz的法向量与y轴平行,故(0,y,0)(y≠0)均可作为平面xOz的法向量,常取(0,1,0).
(3)坐标平面yOz的法向量与x轴平行,故(x,0,0)(x≠0)均可作为平面yOz的法向量,常取(1,0,0).
新知运用
例2　如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=.
求:(1)平面ABCD的一个法向量;
(2)平面SAB的一个法向量;
(3)平面SCD的一个法向量.
【方法总结】　　求平面法向量的步骤
(1)设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z).
(2)选向量:在平面内选取两个不共线的向量,.
(3)列方程组:由列出方程组.
(4)解方程组
(5)赋非零值:取x,y,z的其中一个为非零值(常取±1).
(6)得结论:得到平面的一个法向量.
已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求出平面ABC的一个法向量.
【随堂检测】
1.若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　).
A.(1,2,4) B.(1,4,2) C.(2,1,4) D.(4,2,1)
2.已知平面α过点A(1,-1,2),其法向量n=(2,-1,2),则下列各点在平面α内的是(　　).
A.(2,3,3) B.(3,-3,4)
C.(-1,2,0) D.(-2,0,1)
3.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,则下列结论中正确的是(　　).
A.直线DD1的一个方向向量为(0,1,1)
B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)
C.直线AC1的一个方向向量为(0,1,1)
D.直线AC的方向向量与直线B1D1的方向向量平行
4.平面α经过三点A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),求平面α的一个法向量u.
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