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2.4 课时2 向量与垂直
【学习目标】
1.用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面的位置关系.(逻辑推理、数学运算)
2.建立立体图形与空间向量之间的联系,把立体几何问题转化为空间向量问题.(逻辑推理、直观想象)
【自主预习】
1.若直线与直线垂直,则它们的方向向量满足什么关系
2.直线与平面垂直的判定定理是什么 如何用向量法证明
3.如果两个平面垂直,那么它们的非零法向量满足什么条件
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0 (　　)
(2)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直. (　　)
2.若直线l的方向向量为a=(-1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,4),则(　　)
A.l∥α B.l⊥α C.l α D.l与α斜交
3.若直线l1的方向向量为u1=(1,3,2),直线l2上有两点A(1,0,1),B(2,-1,2),则两直线的位置关系是　　　　.
4.若平面α,β的法向量分别为(-1,2,4),(x,-1,-2),且α⊥β,则x的值为　　　　.
【合作探究】
探究1 直线与直线垂直
问题1:证明直线与直线垂直的方法有哪些
问题2:设直线l1的方向向量u1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量u2=(a2,b2,c2),如何证明直线l1与l2垂直
新知生成
1.射影
过点P作平面α的垂线,则称垂足P0为点P在平面α内的射影.
注意:如果直线l垂直于平面α,那么l在α上的射影是一个点,就是l与α的交点.如果l与α不垂直,那么l在α上的射影就是一条直线.
2.三垂线(逆)定理
(1)三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它和这条斜线也垂直.
(2)三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线在平面内的射影也垂直.
新知运用
例1　如图,在四棱锥P-ABCD中,
PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,F是PB的中点,点E在边BC上移动.求证:无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF.
【方法总结】　　利用向量方法证明线线垂直
(1)坐标法:首先建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,然后求出两直线方向向量的坐标,再通过数量积的坐标运
算得到数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.
(2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算,结合图形,将两直线的方向向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线的方向向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC,CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1.证明:BF⊥DE.
探究2 直线与平面垂直
如图,这是绕直角三角形的一条直角边OA所在直线旋转一周形成的图形.根据图形回答下列问题.
问题1:圆锥的旋转轴OA与底面上的任意一条直线是否垂直 为什么
问题2:如何证明直线l与平面α垂直
新知生成
设直线l的方向向量为a=(x1,y1,z1),平面α的法向量为u=(x2,y2,z2),
则l⊥α a∥u a=ku (x1,y1,z1)=k(x2,y2,z2)(k∈R).
新知运用
例2　如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.
方法指导　(1)通过证明⊥,⊥,得到AB1⊥BA1,AB1⊥BD;(2)证明与平面A1BD的法向量平行.
【方法总结】　　坐标法证明线面垂直有两种思路
(1)建立空间直角坐标系,将直线的方向向量用坐标表示,找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量,分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0.
(2)建立空间直角坐标系,将直线的方向向量用坐标表示,求出平面的法向量,判断直线的方向向量与平面的法向量是否平行.
使用坐标法证明时,如果平面的法向量很明显,那么可以选用思路(2),否则常常选用思路(1)解决.
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1B,DC的中点,求证:AE⊥平面A1D1F.
探究3 平面与平面垂直
问题1:向量a⊥α,a∥β,则平面α,β有怎样的位置关系
问题2:如何利用向量证明空间中平面与平面垂直
新知生成
若平面α的法向量为u=(a1,b1,c1),平面β的法向量为v=(a2,b2,c2),则α⊥β u⊥v u·v=0 a1a2+b1b2+c1c2=0.
新知运用
例3如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E为BB1的中点,证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.
方法指导　要证明两个平面垂直,由两个平面垂直的条件,可证明这两个平面的法向量垂直,转化为求两个平面的法向量n1,n2,证明n1·n2=0.
三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为三角形A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D为BC的中点.求证:平面A1AD⊥平面BCC1B1.
【随堂检测】
1.若直线l1,l2的方向向量分别为m=(2,-1,-1),n=(1,1,1),则这两条直线(　　).
A.平行 B.垂直
C.异面垂直 D.垂直相交
2.已知直线l的一个方向向量a=(1,2,m),平面α的一个法向量n=(-1,-2,3),l⊥α,则m=(　　).
A.-3 B.-1 C.0 D.1
3.平面α,β的法向量分别为m=(1,2,-2),n=(-2,-4,k),若α⊥β,则k=　　　　.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,证明:平面B1ED⊥平面B1BD.
22.4 课时2 向量与垂直
【学习目标】
1.用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面的位置关系.(逻辑推理、数学运算)
2.建立立体图形与空间向量之间的联系,把立体几何问题转化为空间向量问题.(逻辑推理、直观想象)
【自主预习】
1.若直线与直线垂直,则它们的方向向量满足什么关系
【答案】　它们的方向向量垂直.
2.直线与平面垂直的判定定理是什么 如何用向量法证明
【答案】　如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线与该平面垂直,这就是直线与平面垂直的判定定理.利用平面向量的基本定理和线面垂直的定义证明.
3.如果两个平面垂直,那么它们的非零法向量满足什么条件
【答案】　它们的法向量垂直,即法向量的数量积为0.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0 (　　)
(2)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×
2.若直线l的方向向量为a=(-1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,4),则(　　)
A.l∥α B.l⊥α C.l α D.l与α斜交
【答案】　B
【解析】　∵a=(-1,0,2),n=(-2,0,4),∴n=2a,即a∥n,∴l⊥α.
3.若直线l1的方向向量为u1=(1,3,2),直线l2上有两点A(1,0,1),B(2,-1,2),则两直线的位置关系是　　　　.
【答案】　l1⊥l2
【解析】　∵=(1,-1,1),∴u1·=1×1-3×1+2×1=0,∴l1⊥l2.
4.若平面α,β的法向量分别为(-1,2,4),(x,-1,-2),且α⊥β,则x的值为　　　　.
【答案】　-10
【解析】　∵α⊥β,∴平面α和β的法向量的数量积为0,即-x-2-8=0,解得x=-10.
【合作探究】
探究1 直线与直线垂直
问题1:证明直线与直线垂直的方法有哪些
【答案】　证明两直线所成的角为90°或证明一条直线与另一条直线所在的平面垂直或利用三垂线定理.
问题2:设直线l1的方向向量u1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量u2=(a2,b2,c2),如何证明直线l1与l2垂直
【答案】　l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2=0 a1a2+b1b2+c1c2=0.
新知生成
1.射影
过点P作平面α的垂线,则称垂足P0为点P在平面α内的射影.
注意:如果直线l垂直于平面α,那么l在α上的射影是一个点,就是l与α的交点.如果l与α不垂直,那么l在α上的射影就是一条直线.
2.三垂线(逆)定理
(1)三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它和这条斜线也垂直.
(2)三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线在平面内的射影也垂直.
新知运用
例1　如图,在四棱锥P-ABCD中,
PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,F是PB的中点,点E在边BC上移动.求证:无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF.
【解析】　(法一)以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),F0,,.
因为点E在边BC上,设E(m,1,0),
所以=(m,1,-1),=0,,,
因为·=0,所以⊥,即PE⊥AF.
由m的任意性可知,无论点E在边BC上何处,总有PE⊥AF.
(法二)因为点E在边BC上,可设=λ,
所以·=(++)·(+)
=(++λ)·(+)
=(·+·+·+·+λ·+λ·)
=×(0-1+1+0+0+0)=0,
所以⊥,即PE⊥AF.
由λ的任意性可知,无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF.
【方法总结】　　利用向量方法证明线线垂直
(1)坐标法:首先建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,然后求出两直线方向向量的坐标,再通过数量积的坐标运
算得到数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.
(2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算,结合图形,将两直线的方向向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线的方向向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC,CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1.证明:BF⊥DE.
【解析】　因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以BB1⊥底面ABC,又AB 底面ABC,所以BB1⊥AB.
因为A1B1∥AB,BF⊥A1B1,所以BF⊥AB,
又BB1∩BF=B,BB1,BF 平面BCC1B1,
所以AB⊥平面BCC1B1,所以BA,BC,BB1两两垂直.
以B为坐标原点,分别以BA,BC,BB1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
所以B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,1,0),F(0,2,1).
由题设D(a,0,2)(0≤a≤2),
因为=(0,2,1),=(1-a,1,-2),所以·=0×(1-a)+2×1+1×(-2)=0,
所以BF⊥DE.
探究2 直线与平面垂直
如图,这是绕直角三角形的一条直角边OA所在直线旋转一周形成的图形.根据图形回答下列问题.
问题1:圆锥的旋转轴OA与底面上的任意一条直线是否垂直 为什么
【答案】　垂直,因为OA⊥底面,所以OA垂直底面上的任意一条直线.
问题2:如何证明直线l与平面α垂直
【答案】　分别求直线l的方向向量v=(x,y,z),平面α的法向量n=(a,b,c),确定λ的值,使n=λv,由此说明n∥v,即l⊥α.
新知生成
设直线l的方向向量为a=(x1,y1,z1),平面α的法向量为u=(x2,y2,z2),
则l⊥α a∥u a=ku (x1,y1,z1)=k(x2,y2,z2)(k∈R).
新知运用
例2　如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.
方法指导　(1)通过证明⊥,⊥,得到AB1⊥BA1,AB1⊥BD;(2)证明与平面A1BD的法向量平行.
【解析】　(法一)如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1,以点O为原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0),所以=(1,2,-),=(-1,2,),=(-2,1,0),
故·=1×(-1)+2×2+(-)×=0,
·=1×(-2)+2×1+(-)×0=0,
所以⊥,⊥,即AB1⊥BA1,AB1⊥BD.
又因为BA1∩BD=B,且BA1,BD 平面A1BD,
所以AB1⊥平面A1BD.
(法二)建立同法一的空间直角坐标系.
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
则即
令x=1,得平面A1BD的一个法向量为n=(1,2,-).
又=(1,2,-),所以n=,即∥n,
所以AB1⊥平面A1BD.
【方法总结】　　坐标法证明线面垂直有两种思路
(1)建立空间直角坐标系,将直线的方向向量用坐标表示,找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量,分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0.
(2)建立空间直角坐标系,将直线的方向向量用坐标表示,求出平面的法向量,判断直线的方向向量与平面的法向量是否平行.
使用坐标法证明时,如果平面的法向量很明显,那么可以选用思路(2),否则常常选用思路(1)解决.
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1B,DC的中点,求证:AE⊥平面A1D1F.
【解析】　由题意知DA,DC,DD1两两垂直,以D为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为1,
则A(1,0,0),E1,1,,A1(1,0,1),D1(0,0,1),F0,,0,
∴=0,1,,=(-1,0,0),=0,,-1.
设平面A1D1F的法向量为n=(x,y,z),
则n·=0,n·=0,
即解得
令z=1,则n=(0,2,1).
又=0,1,,∴n=2,
∴n∥,即AE⊥平面A1D1F.
探究3 平面与平面垂直
问题1:向量a⊥α,a∥β,则平面α,β有怎样的位置关系
【答案】　α⊥β.
问题2:如何利用向量证明空间中平面与平面垂直
【答案】　利用两平面垂直的充要条件,即证明两平面的法向量垂直.
新知生成
若平面α的法向量为u=(a1,b1,c1),平面β的法向量为v=(a2,b2,c2),则α⊥β u⊥v u·v=0 a1a2+b1b2+c1c2=0.
新知运用
例3如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E为BB1的中点,证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.
方法指导　要证明两个平面垂直,由两个平面垂直的条件,可证明这两个平面的法向量垂直,转化为求两个平面的法向量n1,n2,证明n1·n2=0.
【解析】　由题意得AB,BC,BB1两两垂直.以B为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E0,0,,
∴=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,2,1),=-2,0,.
设平面AA1C1C的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
则
令x1=1,得y1=1,∴n1=(1,1,0).
设平面AEC1的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),
则
令z2=4,得x2=1,y2=-1,∴n2=(1,-1,4).
∵n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0,
∴n1⊥n2,∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.
三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为三角形A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D为BC的中点.求证:平面A1AD⊥平面BCC1B1.
【解析】　如图,以A为坐标原点,分别以AB,AC,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz.则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,).
因为D为BC的中点,
所以点D的坐标为(1,1,0),
所以=(-2,2,0),=(1,1,0),=(0,0,),
故·=-2+2+0=0,·=0+0+0=0,
所以⊥,⊥,即BC⊥AD,BC⊥AA1.
又AD∩AA1=A,AD,AA1 平面ADA1,所以BC⊥平面ADA1,而BC 平面BCC1B1,所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.
【随堂检测】
1.若直线l1,l2的方向向量分别为m=(2,-1,-1),n=(1,1,1),则这两条直线(　　).
A.平行 B.垂直
C.异面垂直 D.垂直相交
【答案】　B
【解析】　因为m·n=2×1+(-1)×1+(-1)×1=0,所以m⊥n,所以l1⊥l2.
2.已知直线l的一个方向向量a=(1,2,m),平面α的一个法向量n=(-1,-2,3),l⊥α,则m=(　　).
A.-3 B.-1 C.0 D.1
【答案】　A
【解析】　∵l⊥α,∴a∥n,∴m=-3.
3.平面α,β的法向量分别为m=(1,2,-2),n=(-2,-4,k),若α⊥β,则k=　　　　.
【答案】　-5
【解析】　由α⊥β知m·n=0,∴-2-8-2k=0,解得k=-5.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,证明:平面B1ED⊥平面B1BD.
【解析】　以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),B1(1,1,1),E0,1,,故=(1,1,1),=0,1,.
设平面B1DE的法向量为n1=(x,y,z),则x+y+z=0且y+z=0,令z=-2,则y=1,x=1,
∴n1=(1,1,-2).
同理求得平面B1BD的一个法向量为n2=(1,-1,0),
由n1·n2=0,知n1⊥n2,
∴平面B1ED⊥平面B1BD.
2

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