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2.4 课时3 向量与平行
【学习目标】
1.用直线的方向向量和平面的法向量证明线面的平行关系.(逻辑推理、数学运算)
2.建立立体图形与空间向量之间的联系,把立体几何问题转化为空间向量问题 .(逻辑推理、直观想象)
【自主预习】
1.直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一
【答案】　不唯一,直线的方向向量(平面的法向量)有无数个,它们是共线向量.
2.直线与直线平行,它们的方向向量是什么关系
【答案】　直线与直线平行,它们的方向向量平行.
3.若直线的方向向量与平面的法向量垂直,直线与平面的位置关系如何
【答案】　直线与平面平行或直线在平面内.
4.若两平面的法向量平行,这两平面的位置关系是什么
【答案】　两平面平行或重合.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若向量n1,n2为平面α的法向量,则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行. (　　)
(2)若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反.
(　　)
【答案】　(1)√　(2)√　
2.已知直线l的方向向量为a,平面α内两共点向量,,则下列关系中能表示l∥α的是(　　).
A.a= B.a=k
C.a=p+λ D.以上均不能
【答案】　D
【解析】　选项A,B,C均表示l∥α或l α.
3.若平面α,β的一个法向量分别为m=-,,-1,n=,-1,3,则(　　).
A.α∥β B.α⊥β
C.α与β相交但不垂直 D.α∥β或α与β重合
【答案】　D
【解析】　∵n=-3m,∴m∥n,∴α∥β或α与β重合.
4.设u是平面α的法向量,a是直线l的方向向量,根据下列条件判断α与l的位置关系:
(1)u=(2,2,-1),a=(-6,8,4);
(2)u=(2,-3,0),a=(8,-12,0);
(3)u=(1,4,5),a=(-2,4,0).
【解析】　(1)因为u=(2,2,-1),a=(-6,8,4),
所以u·a=-12+16-4=0,
所以u⊥a,所以l α或l∥α.
(2)因为u=(2,-3,0),a=(8,-12,0),
所以u=a,所以u∥a,所以l⊥α.
(3)因为u=(1,4,5),a=(-2,4,0),
所以u与a不共线也不垂直,所以l与α斜交.
【合作探究】
探究1 直线与直线平行
双杠是男子竞技体操项目之一.它是由金属的架子支撑两条平行的木头、塑胶或合成金属制成的杠.一套典型的双杠动作包括在支撑位置、倒立位置和挂臂位置的转换.双杠于1896年被列为奥运会比赛项目.
问题1:如何利用向量的方法证明图中两杠l1∥l2
【答案】　证明两直线l1,l2的方向向量平行即可.
问题2:如何证明两个向量a,b平行
【答案】　要证a∥b,只需证明a=λb(λ∈R).
问题3:两条直线平行,它们的方向向量平行吗
【答案】　平行.
新知生成
直线与直线平行
设两条不重合的直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),则l∥m a∥b (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2).
新知运用
例1　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,BB1的中点.求证:四边形AEC1F是平行四边形.
方法指导　证明四边形AEC1F是平行四边形,即证明四边形的对边互相平行,进而转化为证明直线的方向向量平行.
【解析】　以D为坐标原点,分别以,,为正交基底建立空间直角坐标系(图略),不妨设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),E0,0,,C1(0,1,1),F1,1,,
∴=-1,0,,=-1,0,,=0,1,,=0,1,,
∴=,=,∴∥,∥.
又∵F AE,F EC1,∴AE∥FC1,EC1∥AF,
∴四边形AEC1F是平行四边形.
【方法总结】　　1.两直线平行 两直线的方向向量共线.
2.两直线的方向向量共线 两直线平行或重合,所以由两直线的方向向量共线证明两直线平行时,必需指出两直线不重合.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是面对角线B1D1,A1B上的点,且D1E=2EB1,BF=2FA1.求证:EF∥AC1.
【解析】　如图所示,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz.
设DA=a,DC=b,DD1=c,则A(a,0,0),C1(0,b,c),Ea,b,c,Fa,,c,∴=-,,,=(-a,b,c),∴=.
又FE与AC1不共线,∴EF∥AC1.
探究2 直线与平面平行
问题1:若直线l的方向向量为u=(-3,4,2),平面α的一个法向量为v=(2,2,-1),则l与α的位置关系是什么
【答案】　∵u·v=(-3,4,2)·(2,2,-1)=-6+8-2=0,∴u⊥v,∴l∥α或l α.
问题2:如何利用向量证明空间中直线与平面平行
【答案】　直线与平面平行的充要条件是直线在平面外且直线的方向向量与平面的法向量垂直.
新知生成
设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α的法向量为u=(a2,b2,c2),l α,则l∥α a·u=0 a1a2+b1b2+c1c2=0.
新知运用
例2　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CC1,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.
方法指导　可以证明与平面A1BD的法向量垂直;可以在平面A1BD内找一向量与共线;也可以证明能用平面A1BD中的两个不共线向量线性表示.
【解析】　(法一)如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),M0,1,,N,1,1,于是=(1,0,1),=(1,1,0),=,0,.
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则
即取x=1,则y=-1,z=-1,
∴平面A1BD的一个法向量为n=(1,-1,-1).
又·n=,0,·(1,-1,-1)=0,
∴⊥n,又MN 平面A1BD,
∴MN∥平面A1BD.
(法二)∵=-=-=(-)=,∴∥,∴MN∥DA1.
∵MN 平面A1BD,DA1 平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.
(法三)∵=-=-=-=(+)-(+)=-.
即可用与线性表示,∴与,是共面向量,又MN 平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.
【方法总结】　　向量法证明线面平行的三个思路
(1)设直线l的方向向量是a,平面α的法向量是u,则要证明l∥α,只需证明a⊥u,即a·u=0,且l α.
(2)根据线面平行的判定定理可知,要证明一条直线和一个平面平行,在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.
(3)根据共面向量定理可知,如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量,那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行,因此要证明一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示.
如图所示,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点,求证:AB∥平面DEG.
【解析】　∵EF⊥平面AEB,AE 平面AEB,BE 平面AEB,∴EF⊥AE,EF⊥BE.
又∵AE⊥EB,∴EB,EF,EA两两垂直.
以E为坐标原点,EB,EF,EA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则E(0,0,0),A(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,2),G(2,2,0),
∴=(0,2,2),=(2,2,0),=(2,0,-2).
设平面DEG的法向量为n=(x,y,z),
则即
令y=1,得z=-1,x=-1,
则n=(-1,1,-1),
∴·n=-2+0+2=0,即⊥n.
∵AB 平面DEG,
∴AB∥平面DEG.
探究3 平面与平面平行
问题1:如何利用向量证明空间中平面与平面平行
【答案】　只需证明两平面的法向量平行.
问题2:证明平面与平面平行的步骤是什么
【答案】　(1)求出两平面α,β的法向量n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2);
(2)确定实数λ的值,使得n1=λn2;
(3)由此证明n1∥n2,又α与β不重合,所以α∥β.
新知生成
设不重合的两个平面α,β的法向量分别为u=(a1,b1,c1),v=(a2,b2,c2),则α∥β u∥v (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2).
新知运用
例3　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
求证:平面A1BD∥平面CD1B1.
方法指导　按照两平面平行的条件,要证明平面A1BD∥平面CD1B1,只需证明两个平面的法向量平行.
【解析】　以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),∴=(-1,0,-1),=(0,1,-1),=(1,1,0),=(0,1,-1).
设平面A1BD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
则
即
令z1=1,得x1=-1,y1=1,
∴平面A1BD的一个法向量为n1=(-1,1,1).
设平面CD1B1的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),
则即
令y2=1,得x2=-1,z2=1,
∴n2=(-1,1,1),∴n1=n2,即n1∥n2,
∴平面A1BD∥平面CD1B1.
【方法总结】　　证明两平面平行时,分别找(或求)出两个平面的法向量u,v,验证u∥v成立.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别为棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.求证:平面AMN∥平面EFBD.
【解析】　(法一)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,3,0),M(1,0,4),N2,,4,E0,,4,F(1,3,4).
∴=1,,0,=1,,0,=(-1,0,4),=(-1,0,4),
∴=,=,
∴MN∥EF,AM∥BF,
∵MN,AM 平面EFBD,EF,BF 平面EFBD,
∴MN∥平面EFBD,AM∥平面EFBD.
又AM,MN 平面AMN,AM∩MN=M,
∴平面AMN∥平面EFBD.
(法二)由法一可知,A(2,0,0),M(1,0,4),N2,,4,D(0,0,0),E0,,4,F(1,3,4),则=(-1,0,4),=0,,4,=0,,4,=(1,3,4).
设平面AMN、平面EFBD的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),则即
令x1=1,得z1=,y1=-.
又即
令y2=-1,得z2=,x2=,
∴n1=1,-,,n2=,-1,,
∴n1=n2,即n1∥n2,∴平面AMN∥平面EFBD.
【随堂检测】
1.(多选题)已知v为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),则下列说法正确的是(　　).
A.n1∥n2 α∥β B.n1⊥n2 α⊥β
C.v∥n1 l∥α D.v⊥n1 l⊥α
【答案】　AB
【解析】　若n1∥n2,因为平面α与平面β不重合,所以α∥β,若α∥β,则n1,n2共线,即n1∥n2,故选项A正确;若n1⊥n2,则平面α与平面β所成的角为直角,故α⊥β,若α⊥β,则n1⊥n2,故选项B正确;若v∥n1,则l⊥α,故选项C错误;若v⊥n1,则l∥α或l α,故选项D错误.
2.两个不重合的平面的法向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则这两个平面的位置关系是(　　).
A.平行 B.相交不垂直
C.垂直 D.以上都不对
【答案】　A
【解析】　∵v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),∴v2=-2v1,∴v1∥v2,∴两个平面平行.
3.(多选题)若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则下列选项中,能使l∥α成立的是(　　).
A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0)
B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)
D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)
【答案】　AD
【解析】　若l∥α,则a·n=0.A中,a·n=0;B中,a·n=1+5=6;C中,a·n=-1;D中,a·n=-3+3=0.故选AD.
4.在长方体OAEB-O1A1E1B1中,OA=3,OB=4,OO1=2,点P在棱AA1上,且AP=2PA1,点S在棱BB1上,且SB1=2BS,Q,R分别是棱O1B1,AE的中点.求证:PQ∥RS.
【解析】　如图,以O为坐标原点,OA,OB,OO1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2),A1(3,0,2),B1(0,4,2),E(3,4,0).
易求得P3,0,,Q(0,2,2),R(3,2,0),S0,4,,
于是=-3,2,,=-3,2,,
∴=,∴∥.∵R PQ,∴PQ∥RS.
22.4 课时3 向量与平行
【学习目标】
1.用直线的方向向量和平面的法向量证明线面的平行关系.(逻辑推理、数学运算)
2.建立立体图形与空间向量之间的联系,把立体几何问题转化为空间向量问题 .(逻辑推理、直观想象)
【自主预习】
1.直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一
2.直线与直线平行,它们的方向向量是什么关系
3.若直线的方向向量与平面的法向量垂直,直线与平面的位置关系如何
4.若两平面的法向量平行,这两平面的位置关系是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若向量n1,n2为平面α的法向量,则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行. (　　)
(2)若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反.
(　　)
2.已知直线l的方向向量为a,平面α内两共点向量,,则下列关系中能表示l∥α的是(　　).
A.a= B.a=k
C.a=p+λ D.以上均不能
3.若平面α,β的一个法向量分别为m=-,,-1,n=,-1,3,则(　　).
A.α∥β B.α⊥β
C.α与β相交但不垂直 D.α∥β或α与β重合
4.设u是平面α的法向量,a是直线l的方向向量,根据下列条件判断α与l的位置关系:
(1)u=(2,2,-1),a=(-6,8,4);
(2)u=(2,-3,0),a=(8,-12,0);
(3)u=(1,4,5),a=(-2,4,0).
【合作探究】
探究1 直线与直线平行
双杠是男子竞技体操项目之一.它是由金属的架子支撑两条平行的木头、塑胶或合成金属制成的杠.一套典型的双杠动作包括在支撑位置、倒立位置和挂臂位置的转换.双杠于1896年被列为奥运会比赛项目.
问题1:如何利用向量的方法证明图中两杠l1∥l2
问题2:如何证明两个向量a,b平行
问题3:两条直线平行,它们的方向向量平行吗
新知生成
直线与直线平行
设两条不重合的直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),则l∥m a∥b (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2).
新知运用
例1　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,BB1的中点.求证:四边形AEC1F是平行四边形.
方法指导　证明四边形AEC1F是平行四边形,即证明四边形的对边互相平行,进而转化为证明直线的方向向量平行.
【方法总结】　　1.两直线平行 两直线的方向向量共线.
2.两直线的方向向量共线 两直线平行或重合,所以由两直线的方向向量共线证明两直线平行时,必需指出两直线不重合.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是面对角线B1D1,A1B上的点,且D1E=2EB1,BF=2FA1.求证:EF∥AC1.
探究2 直线与平面平行
问题1:若直线l的方向向量为u=(-3,4,2),平面α的一个法向量为v=(2,2,-1),则l与α的位置关系是什么
问题2:如何利用向量证明空间中直线与平面平行
新知生成
设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α的法向量为u=(a2,b2,c2),l α,则l∥α a·u=0 a1a2+b1b2+c1c2=0.
新知运用
例2　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CC1,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.
方法指导　可以证明与平面A1BD的法向量垂直;可以在平面A1BD内找一向量与共线;也可以证明能用平面A1BD中的两个不共线向量线性表示.
【方法总结】　　向量法证明线面平行的三个思路
(1)设直线l的方向向量是a,平面α的法向量是u,则要证明l∥α,只需证明a⊥u,即a·u=0,且l α.
(2)根据线面平行的判定定理可知,要证明一条直线和一个平面平行,在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.
(3)根据共面向量定理可知,如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量,那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行,因此要证明一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示.
如图所示,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点,求证:AB∥平面DEG.
探究3 平面与平面平行
问题1:如何利用向量证明空间中平面与平面平行
问题2:证明平面与平面平行的步骤是什么
新知生成
设不重合的两个平面α,β的法向量分别为u=(a1,b1,c1),v=(a2,b2,c2),则α∥β u∥v (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2).
新知运用
例3　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
求证:平面A1BD∥平面CD1B1.
方法指导　按照两平面平行的条件,要证明平面A1BD∥平面CD1B1,只需证明两个平面的法向量平行.
【方法总结】　　证明两平面平行时,分别找(或求)出两个平面的法向量u,v,验证u∥v成立.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别为棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.求证:平面AMN∥平面EFBD.
【随堂检测】
1.(多选题)已知v为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),则下列说法正确的是(　　).
A.n1∥n2 α∥β B.n1⊥n2 α⊥β
C.v∥n1 l∥α D.v⊥n1 l⊥α
2.两个不重合的平面的法向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则这两个平面的位置关系是(　　).
A.平行 B.相交不垂直
C.垂直 D.以上都不对
3.(多选题)若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则下列选项中,能使l∥α成立的是(　　).
A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0)
B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)
D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)
4.在长方体OAEB-O1A1E1B1中,OA=3,OB=4,OO1=2,点P在棱AA1上,且AP=2PA1,点S在棱BB1上,且SB1=2BS,Q,R分别是棱O1B1,AE的中点.求证:PQ∥RS.
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