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2.4 课时4 向量与夹角
【学习目标】
1.理解异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面所成的角的定义.(直观想象)
2.能够用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.(数学运算)
3.理解空间两个向量所成的角与空间角的区别与联系.(逻辑推理)
【自主预习】
1.如何求两向量a与b的夹角θ
2.如何用向量方法解决两条异面直线之间的夹角问题
3.如何求直线与平面所成的角
4.求平面与平面所成的角有哪些方法
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等. (　　 )
(2)直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角. (　　 )
(3)二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角. (　　 )
(4)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面的夹角为45°. (　　 )
2.已知直线l的一个方向向量为a=(1,1,0),平面α的一个法向量为u=(1,2,-2),则直线l与平面α所成角的余弦值为(　　 ).
A. B.- C.± D.
3.(多选题)已知在二面角α-l-β中,平面α的一个法向量为n1=,-,-,平面β的一个法向量为n2=0,,,则二面角α-l-β的大小可能为(　　).
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.
(1)求证:D1F⊥AE.
(2)求直线EF和CB1所成角的大小.
【合作探究】
探究1 直线与直线的夹角
如图,这是一个正方体的平面展开图.
将该展开图还原成正方体,回答下列问题.
问题1:MN与EF是异面直线吗 若是,则求出它们的夹角;若不是,请说明理由.
问题2:根据立体几何知识,我们怎样求两条异面直线a,b的夹角 异面直线所成的角的取值范围是什么
问题3:设直线a,b的夹角为θ,方向向量分别为a,b,那么夹角θ与方向向量的夹角之间的关系是怎样的 对应的余弦值表达式是什么
新知生成
如图,设两条异面直线a与b所成的角为θ0<θ≤,它们的方向向量分别是v1,v2,设v1与v2的夹角为φ.
　　　　①　　　　　　　　　　　 ②
根据异面直线所成角的定义,可知θ与φ的关系是θ=
对于上述两种情况,均有cos θ=|cos φ|=|cos v1,v2 |=.
新知运用
例1　如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值.
方法指导　建立空间直角坐标系,写出点A1,B,A,O1的坐标,求向量,的坐标,计算cos<,>的大小,并转化为A1B与AO1的夹角的余弦值.
【方法总结】　　1.几何法求异面直线的夹角时,需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角,再利用解三角形来求解,过程相当复杂;用向量法求异面直线的夹角,可以避免复杂的几何作图和论证过程,只需对相应向量进行运算即可.
2.由于两异面直线的夹角θ的取值范围是0,,而两向量的夹角α的取值范围是[0,π],故应有cos θ=|cos α|,求解时要特别注意.
如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,∠ACB=90°,点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,求BD1与AF1所成角的余弦值.
探究2 直线与平面所成的角
3D立体打印技术出现在20世纪90年代中期,它与普通打印工作原理基本相同.
打印机内装有液体或粉末等“打印材料”,与电脑连接后,通过电脑控制把“打印材料”一层层叠加起来,最终把计算机上的蓝图变成实物,这一打印技术称为3D立体打印技术.如图所示,这是3D打印的圆柱体.
问题1:将它抽象成如图所示的圆柱体,设AB是圆柱的母线,BD是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上一点,且AB=BC=2,∠CBD=45°,如何求直线BD与平面ACD所成角的大小
问题2:用向量法如何求直线BD与平面ACD所成的角的大小
问题3:直线和平面所成的角θ与直线方向向量u和平面法向量n所在直线的夹角有什么关系
新知生成
1.直线与平面所成的角
如图,当直线l与平面α相交且不垂直时,设它们所成的角为θ,v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,v与n的夹角为φ,那么θ与φ有如下关系:
θ=
　　①　　　　　　　　 ②
当l∥α或l α时,θ=0,φ=;当l⊥α时,θ=,φ=0或π.
对于上述情况,均有sin θ=|cos φ|=|cos v,n |=.
直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.
2.直线与平面所成的角的范围为0,.
新知运用
例2　如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,E,F分别为C1C,BC的中点.求A1B与平面AEF所成角的正弦值.
【方法总结】　　若直线l与平面α的夹角为θ,利用法向量计算θ的步骤如下:
如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
(1)证明:CM⊥SN.
(2)求SN与平面CMN所成角的大小.
探究3 两个平面所成的角
卫星飞行的水平速度叫作第一宇宙速度,即环绕速度.卫星只要获得这一水平方向的速度后,不需要再加动力就可以环绕地球飞行.这时卫星的飞行轨迹叫作卫星轨道.如图所示,这是标注卫星轨道参数的卫星轨道图,卫星轨道参数是用来描述在太空中卫星运行的位置、形状和取向的各种参数.
问题1:设卫星轨道面与赤道面分别为α,β,其法向量分别是n1,n2,平面α与平面β所成的角为θ,则角θ与向量的夹角之间有什么关系 它们的余弦值满足什么等式
问题2:两个平面所成的角与两个平面的法向量所成的夹角有何关系
问题3:两个平面所成的角的范围与二面角的范围有什么区别
新知生成
1.二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形为二面角.二面角的大小可用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度,其取值范围一般约定为[0,π].
2.两个平面所成的角
两个平面相交会形成四个二面角,一般规定较小的二面角为两个平面所成的角,由此可知两个平面所成角的取值范围为0,.
3.两个平面所成的角的计算
如图,设两个平面α1和α2所成的角为θ,平面α1,α2的法向量分别为n1和n2,记=φ,如图,则θ与φ有如下关系:
θ=
　　　　①　　　　　　　　　　②
对于上述两种情况,均有cos θ=|cos φ|=|cos n1,n2 |=.
新知运用
例3　 在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,E是PD的中点,求二面角E-AC-D的平面角的大小.
方法指导　有两种思路,思路一:根据二面角的定义找出平面EAC与平面ABCD的平面角,再求其夹角;思路二:建立空间直角坐标系,求平面的法向量,利用法向量的夹角与平面所成的角之间的关系求解.
【方法总结】　　利用向量法求二面角的步骤:
(1)建立空间直角坐标系;
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量;
(3)求两个法向量的夹角;
(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角;
(5)确定二面角的大小.
如图,该几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是的中点.
(1)设P是上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;
(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的平面角的大小.
【随堂检测】
1.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　).
A. B.
C. D.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(　　).
A. B. C. D.
3.已知向量m,n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量,若cos=-,则l与α所成的角为　　　　.
4.如图,在几何体S-ABCD中,AD⊥平面SCD,BC⊥平面SCD,AD=DC=SD=2,BC=1,∠SDC=120°,求二面角B-AS-D的平面角的余弦值.
22.4 课时4 向量与夹角
【学习目标】
1.理解异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面所成的角的定义.(直观想象)
2.能够用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.(数学运算)
3.理解空间两个向量所成的角与空间角的区别与联系.(逻辑推理)
【自主预习】
1.如何求两向量a与b的夹角θ
【答案】　两向量a与b的夹角可利用公式cos θ=求解.
2.如何用向量方法解决两条异面直线之间的夹角问题
【答案】　两条异面直线所成的角,可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角.
3.如何求直线与平面所成的角
【答案】　找(作)出直线与平面所成的角,解直角三角形;也可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角求解.
4.求平面与平面所成的角有哪些方法
【答案】　(1)找(作)出两平面所成的角,解三角形求解;(2)可以转化为两平面的法向量的夹角求解.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等. (　　 )
(2)直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角. (　　 )
(3)二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角. (　　 )
(4)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面的夹角为45°. (　　 )
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.已知直线l的一个方向向量为a=(1,1,0),平面α的一个法向量为u=(1,2,-2),则直线l与平面α所成角的余弦值为(　　 ).
A. B.- C.± D.
【答案】　A
【解析】　因为直线l的一个方向向量为a=(1,1,0),平面α的一个法向量为u=(1,2,-2),所以cos===,
则直线l与平面α所成角θ的正弦值sin θ=|cos|=,
故余弦值cos θ==.
3.(多选题)已知在二面角α-l-β中,平面α的一个法向量为n1=,-,-,平面β的一个法向量为n2=0,,,则二面角α-l-β的大小可能为(　　).
A.30° B.60° C.120° D.150°
【答案】　AD
【解析】　设所求二面角的大小为θ,
若θ为锐二面角,则cos θ==,解得θ=30°;
若θ为钝二面角,则cos θ=-=-,解得θ=150°.
综上所述,二面角α-l-β的大小为30°或150°.
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.
(1)求证:D1F⊥AE.
(2)求直线EF和CB1所成角的大小.
【解析】　(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
则A(2,0,0),D1(0,0,2),E(2,2,1),F(0,1,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),
∴=(0,1,-2),=(0,2,1),
∴·=1×2-2×1=0,
∴D1F⊥AE.
(2)∵=(-2,-1,-1),=(2,0,2),
∴cos<,>===-,
∴直线EF和CB1所成角的大小为.
【合作探究】
探究1 直线与直线的夹角
如图,这是一个正方体的平面展开图.
将该展开图还原成正方体,回答下列问题.
问题1:MN与EF是异面直线吗 若是,则求出它们的夹角;若不是,请说明理由.
【答案】　将展开图折成正方体,如图所示,EF与MN是异面直线,它们的夹角为60°.
问题2:根据立体几何知识,我们怎样求两条异面直线a,b的夹角 异面直线所成的角的取值范围是什么
【答案】　经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,则把a'与b'所成的角叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).取值范围是(0°,90°].
问题3:设直线a,b的夹角为θ,方向向量分别为a,b,那么夹角θ与方向向量的夹角之间的关系是怎样的 对应的余弦值表达式是什么
【答案】　当0°≤≤90°时,θ=;当90°<≤180°时,θ=180°-.余弦值表达式为cos θ=|cos|.
新知生成
如图,设两条异面直线a与b所成的角为θ0<θ≤,它们的方向向量分别是v1,v2,设v1与v2的夹角为φ.
　　　　①　　　　　　　　　　　 ②
根据异面直线所成角的定义,可知θ与φ的关系是θ=
对于上述两种情况,均有cos θ=|cos φ|=|cos v1,v2 |=.
新知运用
例1　如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值.
方法指导　建立空间直角坐标系,写出点A1,B,A,O1的坐标,求向量,的坐标,计算cos<,>的大小,并转化为A1B与AO1的夹角的余弦值.
【解析】　建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则O(0,0,0),O1(0,1,),A(,0,0),A1(,1,),B(0,2,0),
∴=(-,1,-),=(,-1,-).
∴|cos<,>|=
==.
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
【方法总结】　　1.几何法求异面直线的夹角时,需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角,再利用解三角形来求解,过程相当复杂;用向量法求异面直线的夹角,可以避免复杂的几何作图和论证过程,只需对相应向量进行运算即可.
2.由于两异面直线的夹角θ的取值范围是0,,而两向量的夹角α的取值范围是[0,π],故应有cos θ=|cos α|,求解时要特别注意.
如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,∠ACB=90°,点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,求BD1与AF1所成角的余弦值.
【解析】　如图所示,以C为原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C-xyz,设CB=CA=CC1=1,则A(1,0,0),B(0,1,0),D1,,1,F1,0,1,故=-,0,1,=,-,1,
∴||=,||=,
则cos<,>==,
∴BD1与AF1所成角的余弦值为.
探究2 直线与平面所成的角
3D立体打印技术出现在20世纪90年代中期,它与普通打印工作原理基本相同.
打印机内装有液体或粉末等“打印材料”,与电脑连接后,通过电脑控制把“打印材料”一层层叠加起来,最终把计算机上的蓝图变成实物,这一打印技术称为3D立体打印技术.如图所示,这是3D打印的圆柱体.
问题1:将它抽象成如图所示的圆柱体,设AB是圆柱的母线,BD是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上一点,且AB=BC=2,∠CBD=45°,如何求直线BD与平面ACD所成角的大小
【答案】　如图,取AC的中点E,连接BE,DE.根据空间垂直的判定和性质可知∠BDE即BD与平面ACD所成的角,然后解三角形可得BD与平面ACD所成的角为30°.
问题2:用向量法如何求直线BD与平面ACD所成的角的大小
【答案】　可以以点B为原点建立空间直角坐标系,求出平面ACD的法向量n,向量u=,然后代入公式sin θ=|cos|=求解.
问题3:直线和平面所成的角θ与直线方向向量u和平面法向量n所在直线的夹角有什么关系
【答案】　直线方向向量和平面法向量所在直线的夹角α与直线和平面所成的角θ互余,即θ=-α.因此sin θ=cos α=.
新知生成
1.直线与平面所成的角
如图,当直线l与平面α相交且不垂直时,设它们所成的角为θ,v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,v与n的夹角为φ,那么θ与φ有如下关系:
θ=
　　①　　　　　　　　 ②
当l∥α或l α时,θ=0,φ=;当l⊥α时,θ=,φ=0或π.
对于上述情况,均有sin θ=|cos φ|=|cos v,n |=.
直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.
2.直线与平面所成的角的范围为0,.
新知运用
例2　如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,E,F分别为C1C,BC的中点.求A1B与平面AEF所成角的正弦值.
【解析】　以A坐标为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),E(0,2,1),F(1,1,0),
所以=(2,0,-2),=(0,2,1),=(1,1,0).
设平面AEF的法向量为n=(a,b,c),
则即
令a=1,则b=-1,c=2,可得平面AEF的一个法向量为n=(1,-1,2).
设A1B与平面AEF所成的角为θ,
则sin θ=|cos|==,
即A1B与平面AEF所成角的正弦值为.
【方法总结】　　若直线l与平面α的夹角为θ,利用法向量计算θ的步骤如下:
如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
(1)证明:CM⊥SN.
(2)求SN与平面CMN所成角的大小.
【解析】　设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),
又AN=AB,M,S分别为PB,BC的中点,
∴N,0,0,M1,0,,S1,,0,
(1)由题意得,=1,-1,,=-,-,0,
故·=1,-1,·-,-,0=0,
∴CM⊥SN.
(2)由题意得=-,1,0.
设平面CMN的法向量为a=(x,y,z),∵·a=0,·a=0,
∴∴
取y=1,得a=(2,1,-2).
∵cos==-,∴=.
∴SN与平面CMN所成的角为-=.
探究3 两个平面所成的角
卫星飞行的水平速度叫作第一宇宙速度,即环绕速度.卫星只要获得这一水平方向的速度后,不需要再加动力就可以环绕地球飞行.这时卫星的飞行轨迹叫作卫星轨道.如图所示,这是标注卫星轨道参数的卫星轨道图,卫星轨道参数是用来描述在太空中卫星运行的位置、形状和取向的各种参数.
问题1:设卫星轨道面与赤道面分别为α,β,其法向量分别是n1,n2,平面α与平面β所成的角为θ,则角θ与向量的夹角之间有什么关系 它们的余弦值满足什么等式
【答案】　=θ或=180°-θ.cos θ=|cos|.
问题2:两个平面所成的角与两个平面的法向量所成的夹角有何关系
【答案】　两个平面所成的角等于两个平面的法向量所成的夹角或其补角.
问题3:两个平面所成的角的范围与二面角的范围有什么区别
【答案】　二面角的范围是[0,π],而两个平面所成的角的范围是0,.
新知生成
1.二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形为二面角.二面角的大小可用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度,其取值范围一般约定为[0,π].
2.两个平面所成的角
两个平面相交会形成四个二面角,一般规定较小的二面角为两个平面所成的角,由此可知两个平面所成角的取值范围为0,.
3.两个平面所成的角的计算
如图,设两个平面α1和α2所成的角为θ,平面α1,α2的法向量分别为n1和n2,记=φ,如图,则θ与φ有如下关系:
θ=
　　　　①　　　　　　　　　　②
对于上述两种情况,均有cos θ=|cos φ|=|cos n1,n2 |=.
新知运用
例3　 在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,E是PD的中点,求二面角E-AC-D的平面角的大小.
方法指导　有两种思路,思路一:根据二面角的定义找出平面EAC与平面ABCD的平面角,再求其夹角;思路二:建立空间直角坐标系,求平面的法向量,利用法向量的夹角与平面所成的角之间的关系求解.
【解析】　(法一)如图,以A为原点,分别以AC,AB,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
设PA=AB=a,AC=b,连接BD与AC交于点O,取AD的中点F,连接OF,OE,则C(b,0,0),B(0,a,0),=,∴D(b,-a,0),P(0,0,a),
∴E,-,,O,0,0,=0,-,,=(b,0,0).
∵·=0,∴⊥.
∵==0,-,0,∴·=0,∴⊥,
∴∠EOF等于平面EAC与平面ABCD的夹角(或补角).
∴cos<,>==.
由图可知,二面角E-AC-D的平面角是锐角,
∴二面角E-AC-D的平面角为45°.
(法二)建系如方法一,连接AE,∵PA⊥平面ABCD,
∴=(0,0,a)为平面ABCD的一个法向量,
=,-,,=(b,0,0).
设平面AEC的法向量为m=(x,y,z),
由得
∴x=0,y=z,取m=(0,1,1),
则cos===.
由图可知,二面角E-AC-D的平面角是锐角,
∴二面角E-AC-D的平面角为45°.
【方法总结】　　利用向量法求二面角的步骤:
(1)建立空间直角坐标系;
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量;
(3)求两个法向量的夹角;
(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角;
(5)确定二面角的大小.
如图,该几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是的中点.
(1)设P是上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;
(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的平面角的大小.
【解析】　(1)因为AP⊥BE,AB⊥BE,AB,AP 平面ABP,AB∩AP=A,所以BE⊥平面ABP.
又BP 平面ABP,所以BE⊥BP.
又∠EBC=120°,所以∠CBP=30°.
(2)以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,,3),C(-1,,0),
故=(2,0,-3),=(1,,0),=(2,0,3).
设平面EAG的法向量为m=(x1,y1,z1),
由可得
取z1=2,可得平面EAG的一个法向量为m=(3,-,2).
设平面AGC的法向量为n=(x2,y2,z2),
由可得
取z2=-2,可得平面AGC的一个法向量为n=(3,-,-2).
所以cos==,
由图可知,二面角E-AG-C的平面角是锐角,
故二面角E-AG-C的平面角的大小为60°.
【随堂检测】
1.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　).
A. B.
C. D.
【答案】　D
【解析】　以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz(图略),设AB=1.
则B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2),∴=(0,1,-2),=(-1,0,2),故cos<,>===-,
∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(　　).
A. B. C. D.
【答案】　B
【解析】　设正方体的棱长为1,依题意,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1).
∴=(-1,0,1),=(-1,1,0).
设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),
∴令x=1,可得n=(1,1,1),
又∵=(0,0,1),
∴BB1与平面ACD1所成角的正弦值为=.
3.已知向量m,n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量,若cos=-,则l与α所成的角为　　　　.
【答案】　60°
【解析】　设l与α所成的角为θ,则sin θ=|cos|=,又θ为锐角,∴θ=60°.
4.如图,在几何体S-ABCD中,AD⊥平面SCD,BC⊥平面SCD,AD=DC=SD=2,BC=1,∠SDC=120°,求二面角B-AS-D的平面角的余弦值.
【解析】　过点D作DC的垂线,交SC于点E,以点D为坐标原点,DC,DE,DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
∵∠SDC=120°,
∴∠SDE=30°.
又∵SD=2,
∴点S到y轴的距离为1,到x轴的距离为,则D(0,0,0),S(-1,,0),A(0,0,2),B(2,0,1).
设平面SAD的法向量为m=(x,y,z),
∵=(0,0,-2),=(-1,,-2),
∴即
令x=,则y=1,z=0,
∴平面SAD的一个法向量为m=(,1,0).
设平面SAB的法向量为n=(a,b,c),
又∵=(2,0,-1),
∴即
令a=,则b=5,c=2,
∴平面SAB的一个法向量为n=(,5,2),
∴cos===.
由图可知二面角B-AS-D的平面角为锐角,
故二面角B-AS-D的平面角的余弦值是.
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