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2.4 课时5 向量与距离
【学习目标】
1.向量的投影长和点到线、点到面的距离之间的关系.(数学抽象)
2.把空间距离问题转化为平面问题,把立体几何问题转化为空间向量问题.(逻辑推理、数学运算)
3.用向量法求空间距离——点线(线线)距离、点面(面面)距离.(直观想象、数学运算)
【自主预习】
1.平面α外一点A到平面α的距离,是点A与平面内一点B所成向量的长度吗
2.几何度量中最基本的距离是什么
3.归纳求点到面的距离的方法.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离. (　　 )
(2)若平面α∥β,则两平面α,β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离. (　　 )
2.已知直线l的方向向量为n=(1,0,2),点A(0,1,1)在直线l上,则点P(1,2,2)到直线l的距离为(　　 ).
A.2 B. C. D.
3.若平面α的一个法向量为n=(1,2,2),点A(3,0,2),B(5,1,3),A α,B∈α,则点A到平面α的距离为(　　 ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【合作探究】
探究1 点到直线的距离
如图,在空间中任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,回答下列问题.
问题1:向量a在向量b上的投影向量是什么
问题2:设与b方向相同的单位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量等于什么
问题3:在上图中,怎样求线段MM1的长度 长度的表达式是什么
新知生成
如图,直线l的方向向量为v,点P为直线l外一点,过点P作直线l的垂线交l于点D,则||即为点P到直线l的距离.
设A为直线l上任意一点,则是在l上的投影向量,所以投影长
||=||cos ∠PAD=||·=.
于是,点P到已知直线l的距离
d=||==.
新知运用
例1如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长均为4,N是CC1的中点.求点N到直线AB的距离.
方法指导　建立空间直角坐标系,利用空间向量求解点到直线的距离.
【方法总结】　　求空间一点P到直线l(P l)的距离的算法程序
若在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则点C1到直线AE的距离是　　　　.
探究2 点到平面的距离
点到平面的距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度.特殊地,当点在平面内时,该点到平面的距离为0.如图,平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,回答下列问题.
问题1:点P到平面α的距离是哪一个线段的长度
问题2:从向量投影的角度来看,点P到平面α的距离又是什么
问题3:根据向量投影的定义,你能得出点P到平面α的距离的表达式吗
新知生成
1.点到平面的距离
如图,在平面α内任取一点A,作向量,设n是平面α的法向量,则在法向量n上的投影长||=即为点P到平面α的距离d.
2.求空间一点P到平面α(P α)的距离的算法程序如图所示.
新知运用
例2　如图,正三棱柱ABC-A1B1C1(底面为正三角形,侧棱垂直于底面)中,侧棱长AA1=2,底面边长AB=1,N是CC1的中点.
(1)求证:平面ANB1⊥平面AA1B1B.
(2)求三棱锥B1-ANB的高.
方法指导　(1)建立空间直角坐标系,利用向量法证明平面ANB1⊥平面AA1B1B;(2)求出平面ABN的法向量,利用向量法求出三棱锥B1-ANB的高.
【方法总结】　　用向量法求点到平面的距离的步骤
(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标.
(3)求向量:求出相关向量的坐标(,平面α的法向量n).
(4)求距离:d=.
提醒:用向量法求线面距、面面距时一般要转化为点面距.
如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的,建立如图所示的空间直角坐标系,已知D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).若四边形AEC1F为平行四边形,则点C到平面AEC1F的距离为(　　).
A. B.4 C. D.
探究3 两平行线间的距离
问题:类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行直线之间的距离
新知生成
求两条平行线m,n间的距离的步骤:
(1)确定直线m的方向向量v;
(2)在直线m上任取一点A,直线n上任取一点P,并计算向量;
(3)计算向量在方向向量v上的投影长;
(4)点A到直线n的距离,即两平行线m,n之间的距离为.
新知运用
例3　如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=1,BC=2,AA'=3,M,N分别是AD,AB的中点,求直线MN到直线B'D'的距离.
如图,在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中,E为CC'上一点,且2CE=EC',在平面CDD'C'内作EF∥A'B交C'D'于点F,求直线EF与A'B之间的距离.
探究4 两平行平面间的距离
问题:类比点到平面的距离的求法,如何求两平行平面间的距离
新知生成
求两平行平面α,β间的距离的步骤:
(1)确定平面α,β的法向量n;
(2)在平面α上任取一点A,在平面β上任取一点B,并计算向量;
(3)计算向量在平面α,β的法向量n上的投影长,该投影长即两平行平面α与β间的距离.
新知运用
例4　在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DD1的中点,求平面ADE与平面B1C1F之间的距离.
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　).
A.a B.a C.a D.a
【随堂检测】
1.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为(　　).
A.10　　　　 B.3　　　　 C.　　　　 D.
2.已知A(2,1,0),B(1,0,1),C(3,2,3),则点A到直线BC的距离为(　　 ).
A. B. C. D.
3.在空间直角坐标系中,A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,0,0),D(-1,2,1),其中A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,已知平面α∥平面β,则平面α与平面β间的距离为(　　).
A. B. C. D.
4.如图所示,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',且AB=AD=1,BB'=2,M,N分别是A'D',D'C'的中点,则直线AC到直线MN的距离为　　　.
22.4 课时5 向量与距离
【学习目标】
1.向量的投影长和点到线、点到面的距离之间的关系.(数学抽象)
2.把空间距离问题转化为平面问题,把立体几何问题转化为空间向量问题.(逻辑推理、数学运算)
3.用向量法求空间距离——点线(线线)距离、点面(面面)距离.(直观想象、数学运算)
【自主预习】
1.平面α外一点A到平面α的距离,是点A与平面内一点B所成向量的长度吗
【答案】　不是, 平面α外一点A到平面α的距离是在平面α的法向量上投影的绝对值.
2.几何度量中最基本的距离是什么
【答案】　两点之间的距离是几何度量中最基本的距离,计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离.
3.归纳求点到面的距离的方法.
【答案】　求点到面的距离可以采用等积变换法或归结为解直角三角形或向量法求解.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离. (　　 )
(2)若平面α∥β,则两平面α,β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离. (　　 )
【答案】　(1)√　(2)√
2.已知直线l的方向向量为n=(1,0,2),点A(0,1,1)在直线l上,则点P(1,2,2)到直线l的距离为(　　 ).
A.2 B. C. D.
【答案】　D
【解析】　由已知得=(-1,-1,-1),因为直线l的方向向量为n=(1,0,2),所以点P(1,2,2)到直线l的距离为===.
3.若平面α的一个法向量为n=(1,2,2),点A(3,0,2),B(5,1,3),A α,B∈α,则点A到平面α的距离为(　　 ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】　B
【解析】　∵A(3,0,2),B(5,1,3),A α,B∈α,
∴AB为平面α的一条斜线,且=(2,1,1),
∴点A到平面α的距离d===2.
【合作探究】
探究1 点到直线的距离
如图,在空间中任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,回答下列问题.
问题1:向量a在向量b上的投影向量是什么
【答案】　.
问题2:设与b方向相同的单位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量等于什么
【答案】　投影向量=|a|cos·e=|a|·cos·e=(a·e)e.
问题3:在上图中,怎样求线段MM1的长度 长度的表达式是什么
【答案】　利用勾股定理,MM1===.
新知生成
如图,直线l的方向向量为v,点P为直线l外一点,过点P作直线l的垂线交l于点D,则||即为点P到直线l的距离.
设A为直线l上任意一点,则是在l上的投影向量,所以投影长
||=||cos ∠PAD=||·=.
于是,点P到已知直线l的距离
d=||==.
新知运用
例1如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长均为4,N是CC1的中点.求点N到直线AB的距离.
方法指导　建立空间直角坐标系,利用空间向量求解点到直线的距离.
【解析】　建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),C1(0,4,4),N(0,4,2),∴=(0,4,2),=(2,2,0),||=2,||=4.
设点N到直线AB的距离为d,则d===4.
【方法总结】　　求空间一点P到直线l(P l)的距离的算法程序
若在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则点C1到直线AE的距离是　　　　.
【答案】　
【解析】　如图所示,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),E0,0,,C1(0,1,1),所以=-1,0,,=(-1,1,1),
所以向量在方向上的投影向量的长度为==,
所以点C1到直线AE的距离
d===.
探究2 点到平面的距离
点到平面的距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度.特殊地,当点在平面内时,该点到平面的距离为0.如图,平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,回答下列问题.
问题1:点P到平面α的距离是哪一个线段的长度
【答案】　PQ.
问题2:从向量投影的角度来看,点P到平面α的距离又是什么
【答案】　在直线l上的投影向量的长度.
问题3:根据向量投影的定义,你能得出点P到平面α的距离的表达式吗
【答案】　||=.
新知生成
1.点到平面的距离
如图,在平面α内任取一点A,作向量,设n是平面α的法向量,则在法向量n上的投影长||=即为点P到平面α的距离d.
2.求空间一点P到平面α(P α)的距离的算法程序如图所示.
新知运用
例2　如图,正三棱柱ABC-A1B1C1(底面为正三角形,侧棱垂直于底面)中,侧棱长AA1=2,底面边长AB=1,N是CC1的中点.
(1)求证:平面ANB1⊥平面AA1B1B.
(2)求三棱锥B1-ANB的高.
方法指导　(1)建立空间直角坐标系,利用向量法证明平面ANB1⊥平面AA1B1B;(2)求出平面ABN的法向量,利用向量法求出三棱锥B1-ANB的高.
【解析】　(1)取AB的中点O,A1B1的中点M,连接OC,OM.
依据题意,以点O为原点,OA,OM,OC所在的直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A,0,0,N0,1,,B1-,2,0,
∴=-,1,,=(-1,2,0).
设平面ANB1的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则
取y1=1,得x1=2,z1=0,
∴平面ANB1的一个法向量n1=(2,1,0),
由题意可知平面AA1B1B的一个法向量为m=(0,0,1),
又n1·m=0,
∴平面ANB1⊥平面AA1B1B.
(2)由(1)知B-,0,0,所以=(-1,0,0),
设平面ABN的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则
取z2=2,得x2=0,y2=-,
∴平面ABN的一个法向量n2=(0,-,2),
∴点B1到平面ANB的距离d===,
∴三棱锥B1-ANB的高为.
【方法总结】　　用向量法求点到平面的距离的步骤
(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标.
(3)求向量:求出相关向量的坐标(,平面α的法向量n).
(4)求距离:d=.
提醒:用向量法求线面距、面面距时一般要转化为点面距.
如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的,建立如图所示的空间直角坐标系,已知D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).若四边形AEC1F为平行四边形,则点C到平面AEC1F的距离为(　　).
A. B.4 C. D.
【答案】　D
【解析】　∵四边形AEC1F为平行四边形,
∴F(0,0,2),∴=(-2,0,2),=(0,4,1),
设平面AEC1F的法向量为n=(x,y,z),
则
令z=1,则y=-,x=1,得平面AEC1F的一个法向量n=1,-,1,
又∵=(0,0,3),
∴点C到平面AEC1F的距离d===.
探究3 两平行线间的距离
问题:类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行直线之间的距离
【答案】　在其中一条直线上取定一点,则该点到另一条直线的距离即两条平行直线之间的距离.
新知生成
求两条平行线m,n间的距离的步骤:
(1)确定直线m的方向向量v;
(2)在直线m上任取一点A,直线n上任取一点P,并计算向量;
(3)计算向量在方向向量v上的投影长;
(4)点A到直线n的距离,即两平行线m,n之间的距离为.
新知运用
例3　如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=1,BC=2,AA'=3,M,N分别是AD,AB的中点,求直线MN到直线B'D'的距离.
【解析】　连接BD,D'M,因为点M,N分别是AD,AB的中点,
所以MN∥BD,又BD∥B'D',所以MN∥B'D',
所以点M到直线B'D'的距离即所求的距离.
以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD'所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则M(1,0,0),D'(0,0,3),B'(2,1,3),
故=(-1,0,3),=(2,1,0),
所以点M到直线B'D'的距离为
==.
故直线MN到直线B'D'的距离为.
如图,在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中,E为CC'上一点,且2CE=EC',在平面CDD'C'内作EF∥A'B交C'D'于点F,求直线EF与A'B之间的距离.
【解析】　如图,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AA'所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A'(0,0,1),B(1,0,0),E1,1,,
因为EF∥A'B,所以直线EF与A'B之间的距离等于点E到直线A'B的距离.
连接BE,因为=(1,0,-1),=0,1,所以点E到直线A'B的距离为=,
所以直线EF与A'B之间的距离为.
探究4 两平行平面间的距离
问题:类比点到平面的距离的求法,如何求两平行平面间的距离
【答案】　在其中一个平面上任取一点,该点到另外一个平面的距离即两平行平面间的距离.
新知生成
求两平行平面α,β间的距离的步骤:
(1)确定平面α,β的法向量n;
(2)在平面α上任取一点A,在平面β上任取一点B,并计算向量;
(3)计算向量在平面α,β的法向量n上的投影长,该投影长即两平行平面α与β间的距离.
新知运用
例4　在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DD1的中点,求平面ADE与平面B1C1F之间的距离.
【解析】　以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),D(0,3,0),E3,0,,B1(3,0,3),C1(3,3,3),F0,3,,=(0,3,0),=(0,3,0),则=.
因为AD,B1C1不在同一条直线上,所以AD∥B1C1,
因为AD 平面B1C1F,又B1C1 平面B1C1F,所以AD∥平面B1C1F.
同理可证AE∥平面B1C1F,又AD∩AE=A,AD,AE 平面ADE,故平面ADE∥平面B1C1F.
设平面ADE的法向量为n=(x,y,z),=(0,3,0),=3,0,,
由取x=1,则y=0,z=-2,可得n=(1,0,-2),
又因为=(3,0,3),所以平面ADE与平面B1C1F之间的距离d===.
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　).
A.a B.a C.a D.a
【答案】　D
【解析】　由正方体的性质得,AB1∥DC1,D1B1∥DB,又AB1∩D1B1=B1,DC1∩DB=D,AB1,D1B1 平面AB1D1,DC1,DB 平面BDC1,
易得平面AB1D1∥平面BDC1,
则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离.
以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,连接A1C,如图,
则A(a,0,0),B(a,a,0),A1(a,0,a),C(0,a,0),B1(a,a,a),D1(0,0,a),
∴=(a,-a,a),=(0,-a,0),=(0,a,a),=(-a,-a,0).
∵·=(a,-a,a)·(0,a,a)=0,·=(a,-a,a)·(-a,-a,0)=0,∴CA1⊥AB1,CA1⊥B1D1,且AB1∩B1D1=B1,AB1,B1D1 平面AB1D1,可知A1C⊥平面AB1D1,得平面AB1D1的一个法向量为n=(1,-1,1),
则两平面间的距离d===a.
【随堂检测】
1.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为(　　).
A.10　　　　 B.3　　　　 C.　　　　 D.
【答案】　D
【解析】　∵A(-1,3,0),P(-2,1,4),∴=(-1,-2,4).
由题意知|n|=3,∴点P到平面α的距离为=.
2.已知A(2,1,0),B(1,0,1),C(3,2,3),则点A到直线BC的距离为(　　 ).
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　由A(2,1,0),B(1,0,1),C(3,2,3),可得=(1,1,-1),=(2,2,2),
则向量在方向上的投影向量的长度为==,
所以点A到直线BC的距离为=.
3.在空间直角坐标系中,A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,0,0),D(-1,2,1),其中A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,已知平面α∥平面β,则平面α与平面β间的距离为(　　).
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　由已知得=(1,1,1),=(-2,2,1),=(1,0,0),设向量n=(x,y,z)与向量,都垂直,则即取x=1,则y=3,z=-4,则n=(1,3,-4),
又平面α∥平面β,则平面α与平面β间的距离d===.
4.如图所示,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',且AB=AD=1,BB'=2,M,N分别是A'D',D'C'的中点,则直线AC到直线MN的距离为　　　.
【答案】　
【解析】　依据长方体的性质可知AC∥MN,故两直线间的距
离为点M到直线AC的距离.
由题意得=(-1,1,0),=0,,-2,所以点M到直线AC的距离d===.
2

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