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专题23 电磁感应中的单导体棒运动模型
阻尼式单棒模型 1
电动式单棒模型 5
发电式单棒模型 9
含容单棒模型 14
阻尼式单棒模型
（多选）如图所示，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，固定在水平面上，右端接一个阻值为R的定值电阻，平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场，质量为m、电阻也为R的金属棒从高为h处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止。已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨接触良好，则金属棒穿过磁场区域的过程中，下列说法正确的是（重力加速度为g）（　　）
A．电阻R中的感应电流方向为Q流向N
B．流经金属棒的电荷量为
C．金属棒产生的电热为mg（h﹣μd）
D．金属棒在磁场中运动的时间为
【解答】解：A、根据右手定则可知，金属棒中感应电流方向由里向外，则电阻R中的感应电流方向为Q流向N，故A正确；
B、流经金属棒的电荷量为q t，故B正确；
C、设金属棒产生的电热为Q，则电阻R产生的电热也为Q，根据能量守恒定律得：2Q+μmgd＝mgh，解得：Qmg（h﹣μd），故C错误；
D、金属棒在弯曲轨道上下滑过程中，由机械能守恒定律得：mghmv2，则金属棒到达水平面时的速度大小：v
设金属棒在磁场中运动的时间为t。取向右为正方向，由动量定理得
﹣BL t﹣μmgt＝0﹣mv
其中 t＝q，联立解得：t，故D正确。
故选：ABD。
如图所示，足够长的平行光滑金属导轨ab、cd水平放置，间距为L，一端连接阻值为R的电阻。导轨所在空间存在竖直向下的、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、电阻为r的导体棒MN放在导轨上，其长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好。导轨的电阻可忽略不计。t＝0时金属棒以初速度v水平向右运动，经过一段时间停在导轨上。下列说法不正确的是（　　）
A．全过程中，金属棒克服安培力做功为
B．全过程中，电阻R上产生的焦耳热为
C．t＝0时刻，金属棒受到的安培力大小为
D．t＝0时刻，金属棒两端的电压UMN＝BLv
【解答】解：A、根据动能定理可知：W安＝0，解得安培力做的功为W安，所以全过程中，金属棒克服安培力做功为，故A正确；
B、根据功能关系可知全过程中回路中产生的焦耳热为：Q，根据焦耳定律可知电阻R上产生的焦耳热为：QR，故B正确；
C、t＝0时刻，金属棒受到的安培力大小为：FA＝BIL，故C正确；
D、t＝0时刻金属棒产生的感应电动势为：E＝BLv，金属棒两端的电压UMN，故D错误。
本题选错误的，故选：D。
光滑平行金属导轨由左侧弧形轨道与右侧水平轨道平滑连接而成，导轨间距均为L，如图所示。左侧轨道上端连接有阻值为R的电阻。水平轨道间有连续相邻、宽均为d的区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，区域边界与水平导轨垂直。I、Ⅲ区域有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B；Ⅱ区域有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为2B。金属棒从左侧轨道上某处由静止释放，金属棒最终停在Ⅲ区域右边界上，金属棒的质量为m、长度为L、电阻为R。不计金属导轨电阻，金属棒与导轨接触良好，重力加速度为g，则金属棒（　　）
A．穿过区域Ⅰ过程，通过R的电荷量为
B．刚进入区域Ⅲ时受到的安培力大小为
C．穿过区域Ⅰ与Ⅱ过程，R上产生的焦耳热之比为11：25
D．穿过区域Ⅰ与Ⅲ过程，克服安培力做功之比为11：1
【解答】解：A、穿过区域I过程，根据法拉第电磁感应定律有：
根据电流的定义式有：
解得：，故A错误；
B、穿过区域Ⅲ过程，根据：
其中：
解得：
设进入区域Ⅲ时的速度为v2，穿过区域Ⅲ过程，根据动量定理有：
解得：v2
刚进入区域Ⅲ时有：
根据安培力的计算公式有：F＝BIL
解得进入磁场Ⅲ区的安培力：F，故B错误；
D、设进入区域Ⅱ时的速度为v1，同理可得，穿过区域II过程：
同理，根据动量定理有：
解得：
设进入区域Ⅰ时的速度为v0，同理可得，穿过区域Ⅰ过程，根据动量定理有：
解得：
根据动能定理可知，穿过区域I与Ⅲ过程，克服安培力做功之比为：
代入数据解得：，故D正确；
C、根据能量守恒与转化定律，穿过区域I过程，R上产生的焦耳热：
根据能量守恒与转化定律，穿过区域II过程，R上产生的焦耳热：
所以解得：，故C错误。
故选：D。
如图所示，水平放置的光滑平行金属导轨MN、PQ处于竖直向下的足够大的匀强磁场中，导轨间距为L，导轨的右端接有阻值为R的电阻。一根质量为m，电阻为r的金属棒垂直导轨放置，并与导轨接触良好。现使金属棒以一定初速度向左运动，它先后通过位置a、b后，到达位置c处刚好静止。已知磁场的磁感应强度为B，金属棒通过a、b处的速度分别为va、vb，a、b间的距离等于b、c间的距离，导轨的电阻忽略不计。下列说法中正确的是（　　）
A．金属棒运动到a处时的加速度大小为
B．金属棒运动到b处时通过电阻的电流方向由N指向Q
C．金属棒在a处的速度va是其在b处速度vb的倍
D．金属棒在a→b过程与b→c过程中通过电阻的电荷量相等
【解答】解：A、金属棒运动到a处时，有 E＝BLva，I，F＝BIL，则得安培力：F，由牛顿第二定律得加速度：a，故A错误；
B、金属棒运动到b处时，由右手定则判断知，通过电阻的电流方向由Q到N，故B错误；
C、在b→c的过程中，对金属棒运用动量定理得：0﹣mvb，而∑v Δt＝lbc，解得 vb
同理，在a→c的过程中，对金属棒运用动量定理得：0﹣mva，而∑v Δt′＝lac，解得 va，因lac＝2lbc，因此va＝2vb，故C错误；
D、金属棒在a→b过程中，通过电阻的电荷量 q1t，同理，在b→c的过程中，通过电阻的电荷量：q2，由于ΔΦ1＝ΔΦ2，可得q1＝q2。故D正确。
故选：D。
电动式单棒模型
如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道左端MP间接一电动势为E、内阻为r的电源，并联电阻的阻值为R。不计轨道和导体棒的电阻，闭合开关S后导体棒从静止开始，经t秒以v匀速率运动，则下列判断正确的是（　　）
A．速率
B．从0～t秒电源消耗的电能
C．t秒后通过电阻R的电流为零
D．t秒末导体棒ab两端的电压为E
【解答】解：ACD、闭合开关S后导体棒从静止开始运动，经t秒以v匀速率运动，此时导体棒不受安培力作用，导体棒中的电流为0，则导体棒ab产生的感应电动势与电阻R两端电压相等，则有：U＝BLv
导体棒中的电流为0，相当于断路，此时通过电阻R的电流为：
且有：U＝IR
联立解得：，t秒末导体棒 ab两端的电压为：，故A正确，CD错误；
B、从0～t秒，根据能量守恒可知，电源消耗的电能转化为导体棒的动能、电阻R和内阻r的焦耳热，且通过电阻R的电流并不是一直为，因此电源消耗的电能，故B错误。
故选：A。
近年来电动汽车越来越普及，有的电动汽车动力来源于直流电机。直流电机工作原理可简化如图所示：在竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中，两光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，两轨间接一电动势恒为E、内阻恒为r的直流电源。质量为m的导体棒ab垂直导轨静置于导轨上，接入电路部分的有效电阻为R，电路其余部分电阻不计。一根不可伸长的轻绳两端分别连接在导体棒的中央，和水平地面上质量为M的物块上，绳与水平面平行且始终处于伸直状态。已知物块与水平面的动摩擦因数为μ，重力加速度为g﹒闭合开关S，物块即刻开始加速。
（1）求S刚闭合瞬间物块加速度的大小，设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力；
（2）求当导体棒向右运动的速度为v时，流经导体棒的电流；
（3）求物块运动中最大速度的大小。
【解答】解：（1）对导体棒ab和M整体进行分析，根据牛顿第二定律可得：
FA﹣μMg＝（M+m）a
根据安培力的计算公式可得：FA＝BIL
其中，根据欧姆定律可得：
联立解得：a
（2）当导体棒向右运动的速度为v时，可得：
E感＝BLv
解得：I1
（3）导体棒的速度最大时，则加速度为零，根据平衡条件可得：
BI′L﹣μMg＝0
E﹣E感＝I′（R+r）
E感＝BLvm
联立解得：vm
答：（1）S刚闭合瞬间物块加速度的大小为；
（2）当导体棒向右运动的速度为v时，流经导体棒的电流为；
（3）物块运动中最大速度的大小为。
电动机是第二次科技革命中的最重要的发明之一，在生产、生活中起着极为重要的作用。
（1）直流电动机的工作原理可以简化为图1所示的模型。在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L，电阻不计。质量为m、电阻为R的金属导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道左端接有直流电源，电源电动势为E、内阻不计。闭合开关S，导体棒从静止开始运动。在导体棒运动过程中，导体棒上的电流I与速度v的大小关系满足，导体棒始终受到大小为f的阻力作用。求：
a．闭合S瞬间，导体棒受到的安培力的大小F0；
b．导体棒速度为v时，导体棒加速度的大小a。
（2）某兴趣小组根据直流电动机的工作原理设计了模型飞机的电磁弹射装置。如图2所示，用于弹射模型飞机的线圈位于导轨间的辐向磁场中，其所在处的磁感应强度大小均为B，线圈可沿导轨滑动。开关接通，电动势为E、内阻不计的电源与线圈连接，线圈推动飞机从静止开始加速，运动过程中线圈和飞机受到的总阻力恒为f。线圈总电阻为R，匝数为n，每匝周长为l。
a．若导轨足够长，求飞机能够获得的最大速度vm。
b．为了让线圈在模型飞机弹出后尽快停下来，该小组在图2的基础上改进了电路。如图3所示，单刀双掷开关接通1，线圈推动飞机加速；飞机弹出后，将单刀双掷开关接通2，让线圈减速。请说明这一设计的原理。
【解答】解：（1）a．闭合S瞬间，根据闭合电路欧姆定律有：I0
导体棒受到的安培力的大小为：F0＝BI0L
b．导体棒速度为v时，反电动势为：E′＝BLv
导体棒受到的安培力的大小：F＝BIL
由牛顿第二定律可得导体棒加速度的大小：a
（2）a．当飞机与线圈组成的系统受到的安培力与阻力大小相等时，飞机的速度达到最大，则有
I′
线圈受到的安培力为：F＝nBI′L
由F＝f可得：
vm
b．飞机弹出后，开关接通2，线圈和电阻组成闭合回路，线圈在磁场中做切割磁感线的运动，产生感应电流，受到与运动方向相反的安培力，安培力使线圈做减速运动。
答：（1）a．闭合S瞬间，导体棒受到的安培力的大小为；
b．导体棒速度为v时，导体棒加速度的大小为。
（2）a．若导轨足够长，飞机能够获得的最大速度为；
b．原理见解析。
发电式单棒模型
如图所示，两平行金属导轨（足够长）间接一阻值为R的定值电阻，导轨与金属棒间的动摩擦因数为0.5，金属棒的质量为m、电阻为，导轨的倾角为37°，导轨电阻忽略不计，金属棒始终与导轨平面垂直且接触良好。匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直导轨向上，导轨间距为L。在金属棒从静止开始释放至其速度最大的过程中，通过定值电阻的电荷量为q，重力加速度大小为g，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列说法正确的是（　　）
A．金属棒的最大速度为
B．此过程中，金属棒沿导轨运动的距离为
C．此过程中，金属棒运动的时间为
D．此过程中，定值电阻和金属棒产生的总热量为
【解答】解：A、金属棒速度最大时，对金属棒根据平衡条件有：μmgcos37°+F安＝mgsin37°
又因为安培力：F安＝BIL
根据欧姆定律：
联立解得：，故A 正确；
B、根据电荷量公式：q＝I Δt
而电流：
根据法拉第电磁感应定律有：
磁通量的变化为：ΔΦ＝BLx
联立解得：，故B错误；
C、对金属棒，由动量定理有：﹣μmgcos37°Δt﹣BILΔt+mgsin37°Δt＝mvm
结合q＝I Δt解得：，故C错误；
D、对金属棒，由能量守恒定律有：
代入数据解得：，故D错误。
故选：A。
如图所示，两条相距为d的平行金属导轨位于竖直面内，其上端接一阻值为R1的电阻，匀强磁场区域的磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。质量为m、电阻为R2的金属杆在外力作用下静止在导轨上，当磁场区域（虚线以下足够大的空间）以速度v0竖直向下匀速运动后，释放金属杆。导轨的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终在磁场中，并与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，重力加速度为g。求：
（1）释放金属杆瞬间，杆中感应电流的大小I；
（2）经过足够长的时间后，金属杆的速度大小v。
【解答】解：（1）释放金属杆瞬间，金属杆相对于磁场运动的速度大小为v0，产生的感应电动势大小为
E＝Bdv0
由闭合电路的欧姆定律得
解得：
（2）经过足够长的时间后，金属杆做匀速直线运动，则有
mg＝BI′d
感应电动势为
E′＝Bd（v﹣v0）
感应电流为
联立解得：
答：（1）释放金属杆瞬间，杆中感应电流的大小I为；
（2）经过足够长的时间后，金属杆的速度大小v为。
如图甲所示，两根间距为L＝0.5m、足够长的平行光滑金属导轨与水平面夹角为θ＝30°，导轨上端接有阻值为R＝1Ω的电阻。长为L、电阻为R＝1Ω、质量为m＝2kg的金属棒ab垂直放在导轨上并锁定，此时与导轨上端的距离为2L，空间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小随时间变化规律如图乙所示，当t＝1s时，解除锁定，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨的电阻，已知重力加速度g＝10m/s2，求：
（1）0～1s内，电阻R中流过的电流大小以及产生的焦耳热；
（2）金属棒最终的速度大小。
【解答】解：（1）0～1s内，根据法拉第电磁感应定律得
ES2L L＝2L2＝20.52V＝2V
电阻R中流过的电流大小为
IA＝1A
R中产生的焦耳热为
Q＝I2Rt＝12×1×1J＝1J
（2）设金属棒最终的速度大小为v。
金属棒最终做匀速运动，根据重力的功率等于整个回路的电功率得
mgvsin30°
解得：v＝5m/s
答：（1）0～1s内，电阻R中流过的电流大小为1A，R中产生的焦耳热为1J；
（2）金属棒最终的速度大小为5m/s。
如图甲，MN与PQ为间距L＝1m的平行导轨，导轨的上部分水平长度l＝1.2m，下部分足够长且处于倾角θ＝37°的绝缘斜面上，水平导轨的左端接一阻值R＝0.8Ω的电阻，水平部分处于竖直向上的、磁感应强度B1随时间t按图乙所示规律变化的匀强磁场中，倾斜部分处于垂直导轨平面向上的、磁感应强度B＝1T的匀强磁场中。在t1＝0.1s时将一质量m＝0.4kg、电阻r＝0.2Ω的金属棒静止放在倾斜导轨部分的上端，金属棒恰好静止，已知金属棒与两导轨间的动摩擦因数处处相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。在t2＝0.25s时给金属棒一个沿斜面向下的拉力F使金属棒从静止开始匀加速度运动，拉力F的大小与金属棒运动的速度大小的关系式为F＝kv+0.8，其中k为定值，金属棒在运动过程中与两导轨接触良好且始终与导轨垂直，不计导轨的电阻，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：
（1）t1＝0.1s，电阻R中电流大小及方向；
（2）金属棒与导轨间的动摩擦因数μ；
（3）k的值为多大；
（4）t2＝0.25s到t3＝1.25s时间内流过电阻R截面的电量。
【解答】解：（1）t1＝0.1s时，设此时电阻R中的电流大小为I0，根据法拉第电磁感应定律有：E Ll
又根据闭合电路欧姆定律有：
代入数据解得：I0＝4.8A
由楞次定律可得，电阻R中电流方向由P指向N。
（2）t1＝0.1s时将金属棒放在倾斜导轨上端，金属棒恰能静止，设此时棒中电流大小为I0
根据题设条件计算可得：BI0L＞mgsinθ，所以静摩擦力到达最大，且沿斜面向下
由平衡条件有：BI0L＝mgsinθ+μmgcosθ
代入数据解得：μ＝0.75
（3）金属棒在倾斜导轨上做匀加速运动，金属棒在倾斜导轨上运动时受到的安培力大小：FA＝BIL
由动生电动势公式有：E＝BLv
由欧姆定律有：
根据牛顿第二定律得：F+mgsinθ﹣μmgcosθ﹣FA＝ma
代入题给数据有：
由于a不随v变化，故有：
代入数据可得：k＝1N s/m
（4）由以上分析知，金属棒运动的加速度大小：a＝2m/s2
t2＝0.25s到t3＝1.25s时间内金属棒在倾斜导轨上下滑的距离：xm＝1m
此段时间内通过金属棒的电荷量：q2C＝1C
答：（1）t1＝0.1s，电阻R中电流大小为4.8A，方向由P指向N；
（2）金属棒与导轨间的动摩擦因数μ为0.75；
（3）k的值为1N s/m
（4）t2＝0.25s到t3＝1.25s时间内流过电阻R截面的电量为1C。
含容单棒模型
（多选）如图所示，水平面内有两根间距为d的光滑平行导轨，右端接有电容为C的电容器。一质量为m的导体棒固定于导轨上某处，轻绳一端连接导体棒，另一端绕过定滑轮下挂一质量为M的物块。由静止释放导体棒，物块下落从而牵引着导体棒向左运动。空间中存在垂直导轨平面的匀强磁场，磁场磁感应强度大小为B，不计导体棒和导轨的电阻，忽略绳与定滑轮间的摩擦。若导体棒运动过程中电容器未被击穿，导体棒始终与导轨接触良好并保持垂直，重力加速度为g，则在物块由静止下落高度为h的过程中（　　）
A．物块做加速度逐渐减小的加速运动
B．物块与导体棒组成的系统减少的机械能等于导体棒克服安培力做的功
C．轻绳的拉力大小为
D．电容器增加的电荷量为
【解答】解：A、在很短时间Δt内，对物块和导体棒根据动量定理可得：MgΔt﹣Bd（M+m）Δv
其中：q＝CΔU＝CBdΔv
整理可得：MgΔt＝（B2d2C+m） Δv
根据加速度定义式可得：a，所以加速度为定值，物块和金属棒一起做匀加速直线运动，故A错误；
B、根据功能关系可知，物块与导体棒组成的系统减少的机械能等于导体棒克服安培力做的功，故B正确；
C、对物块根据牛顿第二定律可得：Mg﹣F＝Ma，代入a解得：F，故C正确；
D、下落h时导体棒的速度大小为：v，此时电容器两端电压等于导体棒两端电压，即U＝Bdv，所以电容器所带电荷量为：Q＝CU＝CBdv，故D正确。
故选：BCD。
电磁炮作为发展中的高技术兵器，被世界各国海军所重视，把它作为未来新式武器，其军事用途十分广泛。某电磁弹射技术原理可简化为如图所示的等效电路图，电阻不计且足够长的光滑平行金属导轨固定在距水平地面高度h＝5m的水平面内，导轨左侧连接有内阻不计、电动势E＝100V的直流电源和电容C＝9F的超级电容器，导轨间距L＝1m，范围足够大的匀强磁场方向竖直向上、磁感应强度大小B＝2T，质量m＝2kg的金属棒ab垂直导轨放置，并始终与两导轨接触良好。单刀双掷开关K先接“1”，电容器充满电后，开关K立即接“2”，金属棒ab射出导轨时已匀速运动。水平地面足够长，重力加速度g取10m/s2，忽略一切阻力，求：
（1）金属棒ab射出导轨时的速度大小；
（2）金属棒ab离开导轨后在空中运动的水平位移大小。
【解答】解：（1）开关S先接1，使电容器完全充电后，其电压等于电源电动势E。开关S接2后，电容器放电，有放电电流通过金属棒ab，金属棒在安培力作用下向右做加速运动，电容器因放电其电压U逐渐减小，金属棒的动生电动势逐渐增大，当金属棒的动生电动势等于电容器电压时，电路中电流为0，金属棒ab的速度达到最大，此后做匀速直线运动。
对金属棒分析，取向右为正方向，由动量定理得
BL t＝mvm﹣0
电容器放电的电量为
qt＝C（E﹣U）
又因为U＝BLvm
联立可得：vm
代入数据解得：vm
（2）金属棒ab离开导轨后做平抛运动，水平方向有x＝vmt
竖直方向有
联立解得：
答：（1）金属棒ab射出导轨时的速度大小为；
（2）金属棒ab离开导轨后在空中运动的水平位移大小为。
如图所示，在正交坐标系O﹣xyz空间中，Oz竖直向下，O'为y轴上的一点。相距0.5m的两平行抛物线状光滑轨道OP、O'P'通过长度不计的光滑绝缘材料在P、P'处与平行倾斜粗糙直轨道PQ、P'Q'平滑相接，其中抛物线状轨道OP的方程为，OO'间用导线连接R＝1Ω的定值电阻，倾斜轨道足够长，QQ'间用导线连接C＝1F的电容器。电容器最初不带电。抛物线状轨道区域存在方向竖直向下、磁感应强度B1＝4T的匀强磁场，倾斜直轨道区域存在与导轨垂直向上、磁感应强度B2＝2T的匀强磁场。一质量为0.5kg，长为0.5m的金属导体棒在恒定外力F作用下从y轴开始以初速度v0沿抛物线状轨道做加速度方向竖直向下、大小为10m/s2的加速运动，导体棒到达连接处PP'后立即撤去该外力F。已知金属导体棒与轨道始终接触良好，金属棒与倾斜直轨道间的动摩擦因数μ＝0.75，P点纵坐标，金属棒电阻为1Ω，其他电阻忽略不计，金属棒在运动过程中始终与y轴平行，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）金属棒初速度v0的大小；
（2）外力F的大小和金属棒在抛物线状光滑轨道运动过程中产生的焦耳热Q；
（3）电容器最终的电荷量q。
【解答】解：（1）由题意可知，金属棒在抛物线状轨道区域内做类平抛运动，加速度为a＝10m/s2，则有水平方向有x＝v0t
竖直方向有
解得：
对照轨迹方程，解得：v0＝2m/s
（2）由金属棒运动性质可知，金属棒在抛物线状轨道区域内有效切割速度不变，由法拉第电磁感应定律可得E＝B1lv0
由闭合电路欧姆定律可得
又F＝F安＝B1Il
联立解得：F＝4N
由解得金属棒在抛体状轨道上运动的时间为
由焦耳定律可得Q＝I2rt1
解得：Q＝0.6J
（3）金属棒运动到连接处时，金属棒的竖直分速度为vy＝at1＝10m/s＝1.5m/s
金属棒运动到连接处时的速度为vm/s＝2.5m/s
斜面倾角满足tanθ0.75
可得θ＝37°
金属棒滑上斜面后，取沿斜面向下为正方向，由动量定理可得
又
由电路特点和电容定义可得q＝CB2lv'
联立解得：
答：（1）金属棒初速度v0的大小为2m/s；
（2）外力F的大小为4N，金属棒在抛物线状光滑轨道运动过程中产生的焦耳热Q为0.6J；
（3）电容器最终的电荷量q为。
如图所示，间距L＝1m的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨右侧电路能够通过单刀双掷开关分别跟1、2相连，1连接阴极射线管电路，2连接电容器电路。MM′、NN′（MM′、NN′为两条垂直于导轨方向的平行线）之间分布着方向竖直向上、磁感应强度大小为B＝1T的匀强磁场，MM′、NN′间的距离为d＝1.5m，边界处有磁场。质量为m，长度跟导轨间距相等的导体棒垂直于导轨方向放置，跨过定滑轮的轻绳一端系在导体棒中点，另一端悬挂质量也为m的小物块，导体棒与定滑轮之间的轻绳平行于导轨。已知阴极射线管工作时，每秒钟有n＝6.25×1019个电子从阴极射到阳极，电容器电容为C＝0.1F，电子的电荷量为e＝1.6×10﹣19C，导体棒与导轨电阻均不计，导体棒与导轨始终垂直且接触良好，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。
（1）若开关S接1时，导体棒恰好静止在磁场的右边界MM′处，且导体棒与导轨间的摩擦力为零，求物块的质量m；
（2）将开关S迅速由1接到2，同时导体棒从磁场右边界MM′处由静止开始运动，若导体棒运动到磁场左边界NN′处时的速度为v＝3m/s，求导体棒与导轨间的动摩擦因数μ。
【解答】解：（1）开关S接1时，根据电流强度的定义可求回路中的电流为：I＝ne
利用左手定则可判断导体棒受到安培力F的方向水平向右，轻绳拉力等于物块的重力mg，摩擦力为零，根据平衡条件有：BIL＝mg
联立解得：mkg＝1kg
（2）设开关S接2时回路中的瞬时电流为i，小物块和导体棒的加速度为a，对小物块和导体棒组成的系统，根据牛顿第二定律有：mg﹣μmg﹣BiL＝2ma
对电容器，在极短时间Δt内，电荷量变化为Δq，有，Δq＝C ΔU＝CBLΔv
根据加速度的定义式有
联立解得：
可知加速度为恒量，即小物块和导体棒都做匀加速运动，根据运动学公式v2＝2ad
解得：am/s2＝3m/s2
所以动摩擦因数为：μ＝1
代入数据得到：μ＝0.37
答：（1）开关S接1时，导体棒恰好静止在磁场的右边界MM′处，且导体棒与导轨间的摩擦力为零，物块的质量m为1kg；
（2）导体棒运动到磁场左边界NN′处时的速度为v＝3m/s，求导体棒与导轨间的动摩擦因数μ为0.37。
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专题23 电磁感应中的单导体棒运动模型
阻尼式单棒模型 1
电动式单棒模型 3
发电式单棒模型 5
含容单棒模型 7
阻尼式单棒模型
（多选）如图所示，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，固定在水平面上，右端接一个阻值为R的定值电阻，平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场，质量为m、电阻也为R的金属棒从高为h处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止。已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨接触良好，则金属棒穿过磁场区域的过程中，下列说法正确的是（重力加速度为g）（　　）
A．电阻R中的感应电流方向为Q流向N
B．流经金属棒的电荷量为
C．金属棒产生的电热为mg（h﹣μd）
D．金属棒在磁场中运动的时间为
如图所示，足够长的平行光滑金属导轨ab、cd水平放置，间距为L，一端连接阻值为R的电阻。导轨所在空间存在竖直向下的、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、电阻为r的导体棒MN放在导轨上，其长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好。导轨的电阻可忽略不计。t＝0时金属棒以初速度v水平向右运动，经过一段时间停在导轨上。下列说法不正确的是（　　）
A．全过程中，金属棒克服安培力做功为
B．全过程中，电阻R上产生的焦耳热为
C．t＝0时刻，金属棒受到的安培力大小为
D．t＝0时刻，金属棒两端的电压UMN＝BLv
光滑平行金属导轨由左侧弧形轨道与右侧水平轨道平滑连接而成，导轨间距均为L，如图所示。左侧轨道上端连接有阻值为R的电阻。水平轨道间有连续相邻、宽均为d的区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，区域边界与水平导轨垂直。I、Ⅲ区域有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B；Ⅱ区域有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为2B。金属棒从左侧轨道上某处由静止释放，金属棒最终停在Ⅲ区域右边界上，金属棒的质量为m、长度为L、电阻为R。不计金属导轨电阻，金属棒与导轨接触良好，重力加速度为g，则金属棒（　　）
A．穿过区域Ⅰ过程，通过R的电荷量为
B．刚进入区域Ⅲ时受到的安培力大小为
C．穿过区域Ⅰ与Ⅱ过程，R上产生的焦耳热之比为11：25
D．穿过区域Ⅰ与Ⅲ过程，克服安培力做功之比为11：1
如图所示，水平放置的光滑平行金属导轨MN、PQ处于竖直向下的足够大的匀强磁场中，导轨间距为L，导轨的右端接有阻值为R的电阻。一根质量为m，电阻为r的金属棒垂直导轨放置，并与导轨接触良好。现使金属棒以一定初速度向左运动，它先后通过位置a、b后，到达位置c处刚好静止。已知磁场的磁感应强度为B，金属棒通过a、b处的速度分别为va、vb，a、b间的距离等于b、c间的距离，导轨的电阻忽略不计。下列说法中正确的是（　　）
A．金属棒运动到a处时的加速度大小为
B．金属棒运动到b处时通过电阻的电流方向由N指向Q
C．金属棒在a处的速度va是其在b处速度vb的倍
D．金属棒在a→b过程与b→c过程中通过电阻的电荷量相等
电动式单棒模型
如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道左端MP间接一电动势为E、内阻为r的电源，并联电阻的阻值为R。不计轨道和导体棒的电阻，闭合开关S后导体棒从静止开始，经t秒以v匀速率运动，则下列判断正确的是（　　）
A．速率
B．从0～t秒电源消耗的电能
C．t秒后通过电阻R的电流为零
D．t秒末导体棒ab两端的电压为E
近年来电动汽车越来越普及，有的电动汽车动力来源于直流电机。直流电机工作原理可简化如图所示：在竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中，两光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，两轨间接一电动势恒为E、内阻恒为r的直流电源。质量为m的导体棒ab垂直导轨静置于导轨上，接入电路部分的有效电阻为R，电路其余部分电阻不计。一根不可伸长的轻绳两端分别连接在导体棒的中央，和水平地面上质量为M的物块上，绳与水平面平行且始终处于伸直状态。已知物块与水平面的动摩擦因数为μ，重力加速度为g﹒闭合开关S，物块即刻开始加速。
（1）求S刚闭合瞬间物块加速度的大小，设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力；
（2）求当导体棒向右运动的速度为v时，流经导体棒的电流；
（3）求物块运动中最大速度的大小。
电动机是第二次科技革命中的最重要的发明之一，在生产、生活中起着极为重要的作用。
（1）直流电动机的工作原理可以简化为图1所示的模型。在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L，电阻不计。质量为m、电阻为R的金属导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道左端接有直流电源，电源电动势为E、内阻不计。闭合开关S，导体棒从静止开始运动。在导体棒运动过程中，导体棒上的电流I与速度v的大小关系满足，导体棒始终受到大小为f的阻力作用。求：
a．闭合S瞬间，导体棒受到的安培力的大小F0；
b．导体棒速度为v时，导体棒加速度的大小a。
（2）某兴趣小组根据直流电动机的工作原理设计了模型飞机的电磁弹射装置。如图2所示，用于弹射模型飞机的线圈位于导轨间的辐向磁场中，其所在处的磁感应强度大小均为B，线圈可沿导轨滑动。开关接通，电动势为E、内阻不计的电源与线圈连接，线圈推动飞机从静止开始加速，运动过程中线圈和飞机受到的总阻力恒为f。线圈总电阻为R，匝数为n，每匝周长为l。
a．若导轨足够长，求飞机能够获得的最大速度vm。
b．为了让线圈在模型飞机弹出后尽快停下来，该小组在图2的基础上改进了电路。如图3所示，单刀双掷开关接通1，线圈推动飞机加速；飞机弹出后，将单刀双掷开关接通2，让线圈减速。请说明这一设计的原理。
发电式单棒模型
如图所示，两平行金属导轨（足够长）间接一阻值为R的定值电阻，导轨与金属棒间的动摩擦因数为0.5，金属棒的质量为m、电阻为，导轨的倾角为37°，导轨电阻忽略不计，金属棒始终与导轨平面垂直且接触良好。匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直导轨向上，导轨间距为L。在金属棒从静止开始释放至其速度最大的过程中，通过定值电阻的电荷量为q，重力加速度大小为g，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列说法正确的是（　　）
A．金属棒的最大速度为
B．此过程中，金属棒沿导轨运动的距离为
C．此过程中，金属棒运动的时间为
D．此过程中，定值电阻和金属棒产生的总热量为
如图所示，两条相距为d的平行金属导轨位于竖直面内，其上端接一阻值为R1的电阻，匀强磁场区域的磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。质量为m、电阻为R2的金属杆在外力作用下静止在导轨上，当磁场区域（虚线以下足够大的空间）以速度v0竖直向下匀速运动后，释放金属杆。导轨的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终在磁场中，并与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，重力加速度为g。求：
（1）释放金属杆瞬间，杆中感应电流的大小I；
（2）经过足够长的时间后，金属杆的速度大小v。
如图甲所示，两根间距为L＝0.5m、足够长的平行光滑金属导轨与水平面夹角为θ＝30°，导轨上端接有阻值为R＝1Ω的电阻。长为L、电阻为R＝1Ω、质量为m＝2kg的金属棒ab垂直放在导轨上并锁定，此时与导轨上端的距离为2L，空间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小随时间变化规律如图乙所示，当t＝1s时，解除锁定，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨的电阻，已知重力加速度g＝10m/s2，求：
（1）0～1s内，电阻R中流过的电流大小以及产生的焦耳热；
（2）金属棒最终的速度大小。
如图甲，MN与PQ为间距L＝1m的平行导轨，导轨的上部分水平长度l＝1.2m，下部分足够长且处于倾角θ＝37°的绝缘斜面上，水平导轨的左端接一阻值R＝0.8Ω的电阻，水平部分处于竖直向上的、磁感应强度B1随时间t按图乙所示规律变化的匀强磁场中，倾斜部分处于垂直导轨平面向上的、磁感应强度B＝1T的匀强磁场中。在t1＝0.1s时将一质量m＝0.4kg、电阻r＝0.2Ω的金属棒静止放在倾斜导轨部分的上端，金属棒恰好静止，已知金属棒与两导轨间的动摩擦因数处处相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。在t2＝0.25s时给金属棒一个沿斜面向下的拉力F使金属棒从静止开始匀加速度运动，拉力F的大小与金属棒运动的速度大小的关系式为F＝kv+0.8，其中k为定值，金属棒在运动过程中与两导轨接触良好且始终与导轨垂直，不计导轨的电阻，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：
（1）t1＝0.1s，电阻R中电流大小及方向；
（2）金属棒与导轨间的动摩擦因数μ；
（3）k的值为多大；
（4）t2＝0.25s到t3＝1.25s时间内流过电阻R截面的电量。
含容单棒模型
（多选）如图所示，水平面内有两根间距为d的光滑平行导轨，右端接有电容为C的电容器。一质量为m的导体棒固定于导轨上某处，轻绳一端连接导体棒，另一端绕过定滑轮下挂一质量为M的物块。由静止释放导体棒，物块下落从而牵引着导体棒向左运动。空间中存在垂直导轨平面的匀强磁场，磁场磁感应强度大小为B，不计导体棒和导轨的电阻，忽略绳与定滑轮间的摩擦。若导体棒运动过程中电容器未被击穿，导体棒始终与导轨接触良好并保持垂直，重力加速度为g，则在物块由静止下落高度为h的过程中（　　）
A．物块做加速度逐渐减小的加速运动
B．物块与导体棒组成的系统减少的机械能等于导体棒克服安培力做的功
C．轻绳的拉力大小为
D．电容器增加的电荷量为
电磁炮作为发展中的高技术兵器，被世界各国海军所重视，把它作为未来新式武器，其军事用途十分广泛。某电磁弹射技术原理可简化为如图所示的等效电路图，电阻不计且足够长的光滑平行金属导轨固定在距水平地面高度h＝5m的水平面内，导轨左侧连接有内阻不计、电动势E＝100V的直流电源和电容C＝9F的超级电容器，导轨间距L＝1m，范围足够大的匀强磁场方向竖直向上、磁感应强度大小B＝2T，质量m＝2kg的金属棒ab垂直导轨放置，并始终与两导轨接触良好。单刀双掷开关K先接“1”，电容器充满电后，开关K立即接“2”，金属棒ab射出导轨时已匀速运动。水平地面足够长，重力加速度g取10m/s2，忽略一切阻力，求：
（1）金属棒ab射出导轨时的速度大小；
（2）金属棒ab离开导轨后在空中运动的水平位移大小。
如图所示，在正交坐标系O﹣xyz空间中，Oz竖直向下，O'为y轴上的一点。相距0.5m的两平行抛物线状光滑轨道OP、O'P'通过长度不计的光滑绝缘材料在P、P'处与平行倾斜粗糙直轨道PQ、P'Q'平滑相接，其中抛物线状轨道OP的方程为，OO'间用导线连接R＝1Ω的定值电阻，倾斜轨道足够长，QQ'间用导线连接C＝1F的电容器。电容器最初不带电。抛物线状轨道区域存在方向竖直向下、磁感应强度B1＝4T的匀强磁场，倾斜直轨道区域存在与导轨垂直向上、磁感应强度B2＝2T的匀强磁场。一质量为0.5kg，长为0.5m的金属导体棒在恒定外力F作用下从y轴开始以初速度v0沿抛物线状轨道做加速度方向竖直向下、大小为10m/s2的加速运动，导体棒到达连接处PP'后立即撤去该外力F。已知金属导体棒与轨道始终接触良好，金属棒与倾斜直轨道间的动摩擦因数μ＝0.75，P点纵坐标，金属棒电阻为1Ω，其他电阻忽略不计，金属棒在运动过程中始终与y轴平行，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）金属棒初速度v0的大小；
（2）外力F的大小和金属棒在抛物线状光滑轨道运动过程中产生的焦耳热Q；
（3）电容器最终的电荷量q。
如图所示，间距L＝1m的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨右侧电路能够通过单刀双掷开关分别跟1、2相连，1连接阴极射线管电路，2连接电容器电路。MM′、NN′（MM′、NN′为两条垂直于导轨方向的平行线）之间分布着方向竖直向上、磁感应强度大小为B＝1T的匀强磁场，MM′、NN′间的距离为d＝1.5m，边界处有磁场。质量为m，长度跟导轨间距相等的导体棒垂直于导轨方向放置，跨过定滑轮的轻绳一端系在导体棒中点，另一端悬挂质量也为m的小物块，导体棒与定滑轮之间的轻绳平行于导轨。已知阴极射线管工作时，每秒钟有n＝6.25×1019个电子从阴极射到阳极，电容器电容为C＝0.1F，电子的电荷量为e＝1.6×10﹣19C，导体棒与导轨电阻均不计，导体棒与导轨始终垂直且接触良好，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。
（1）若开关S接1时，导体棒恰好静止在磁场的右边界MM′处，且导体棒与导轨间的摩擦力为零，求物块的质量m；
（2）将开关S迅速由1接到2，同时导体棒从磁场右边界MM′处由静止开始运动，若导体棒运动到磁场左边界NN′处时的速度为v＝3m/s，求导体棒与导轨间的动摩擦因数μ。
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