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胜利第一初级中学2023—2024学年第二学期质量检测
九年级数学试题
一、选择题：本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1. 的绝对值是（ ）
A. 2024 B. C. D.
2. 下列运算正确是（　　　）.
A. B. C. （a+b）2 = a2 + b2 D. 2a2b - ba2 = a2b
3. 将一副三角板（，）按如图所示的方式摆放，使得点D在三角板的一边上，且，则等于（　　）
A. B. C. D.
4. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的全面积是（ ）
A. B. C. D.
6. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成一个正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为4，为直角三角形中的一个锐角，则的正弦值为（ ）
A. 2 B. C. D.
8. 如图，已知 AOBC顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　）
A. （﹣1，2） B. （，2）
C. （3﹣，2） D. （﹣2，2）
9. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿折线运动，过点作对角线的垂线，交折线于．设点运动的路程为，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，矩形中，E为的中点，，，连接并延长，交的延长线于点F，、相交于点O．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是（ ）
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分，只要求填写最后结果．
11. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用。经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201千克，将0.00000201用科学记数法表示为______．
12. 因式分解：______．
13. 若关于x的方程.无解，则m的值是_____．
14. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的中位数为________．
15. 如图，点A，B在反比例函数的图像上，延长交x轴于点C，若的面积为12，且，则_______．
16. 如图，在矩形中，，，点、分别为、边上点，且的长为2，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为___________．
17. 如图，在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接，．当为等腰三角形时，的长度为______．
18. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，…在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为_______．
三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中满足．
20. 我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类收集桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 ；
（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（3）若该校有1800名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
（4）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD＝3，DE＝，求⊙O的直径．
22. 图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图如下．经过测量，支架的立柱与地面垂直()．米，点A、C、M在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为E，该支架的边与的夹角，又测得米．(参考数据：，，，，，)
（1）求该支架边的长；
（2）求支架的边的顶端到地面的距离．(结果精确到1米)
23. 某商场经营某种新型电子产品，购进时的单价为100元/件，连续加价两次后，以240元/件为定价售出，已知第二次加价的增长率比第一次加价的增长率多．
（1）求第一次加价的增长率；
（2）该商场在试销中发现，如果以定价售出，则每天可售出200件，如果售价每降低1元，销售量就可以增加10件，那么当售价为多少元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？
24. 如图1，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，点P、Q为直线下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作轴，交于点M，过点Q作轴交于点N，求的最大值及此时点Q的坐标；
（3）如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，且为矩形一边，求出此时所有满足条件的点E的坐标．
25. （1）如图1，正方形和正方形（其中），连接交于点H，请直接写出线段与的数量关系　 　，位置关系　 　；
（2）如图2，矩形和矩形，，将矩形绕点D逆时针旋转，连接交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形和矩形，，将矩形绕点D逆时针旋转，直线交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段的长．胜利第一初级中学2023—2024学年第二学期质量检测
九年级数学试题
一、选择题：本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1. 的绝对值是（ ）
A. 2024 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果．
【详解】解：的绝对值是2024．
故选：A．
2. 下列运算正确是（　　　）.
A. B. C. （a+b）2 = a2 + b2 D. 2a2b - ba2 = a2b
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式、同底数幂的除法、完全平方公式、合并同类项的方法即可解答．
【详解】A.，故本选项错误；
B.，故本选项错误；
C.（a+b）2 = a2 +2ab+ b2，故本选项错误；
D.2a2b - ba2 = a2b，故本选项正确；
故选D．
【点睛】此题主要考查二次根式、同底数幂的除法、完全平方公式、合并同类项，解题的关键是熟知各知识的运算法则．
3. 将一副三角板（，）按如图所示的方式摆放，使得点D在三角板的一边上，且，则等于（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，，可得，再由，可求，最后利用三角形的内角和即可求出结果．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，熟练掌握三角形的性质是解题的关键．
4. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
5. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的全面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的有关计算，由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键．
首先判断该几何体的形状，然后根据其尺寸求得其侧面积和底面积，则全面积可求．
【详解】解：观察三视图发现该几何体为圆锥，
其底面直径为6cm，母线长为8cm，
所以其侧面积为：，
底面积为：，
全面积为：
故选：B
6. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得．
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
7. 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成一个正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为4，为直角三角形中的一个锐角，则的正弦值为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为，再接着利用勾股定理得到关于a的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的正弦值即可．
【详解】∵小正方形与每个直角三角形面积均为4，
∴大正方形的面积为20，
∴小正方形的边长为2，大正方形的边长为，
设直角三角形短的直角边长为a，则较长的直角边长为，其中，
∴，其中a>0，
解得： (不符合题意，舍去)，
∴，
故选：B．
8. 如图，已知 AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　）
A （﹣1，2） B. （，2）
C. （3﹣，2） D. （﹣2，2）
【答案】A
【解析】
【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO=，依据∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO=，进而得出HG=-1，可得G（-1，2）．
【详解】如图，过点A作AH⊥x轴于H，AG与y轴交于点M，
∵ AOBC的顶点O（0，0），A（-1，2），
∴AH=2，HO=1，
∴Rt△AOH中，AO=，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG=∠EOG，
又∵AG∥OE，
∴∠AGO=∠EOG，
∴∠AGO=∠AOG，
∴AG=AO=，
∴MG=-1，
∴G（-1，2），
故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
9. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿折线运动，过点作对角线的垂线，交折线于．设点运动的路程为，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分、、三段范围，根据证明分别表示出的面积，得到函数解析式，再判断其图象即可．
【详解】解：如图，当时，点在边上，点在边上，
，
，
，
，
，
，即，
，
,
图象是开口向上的抛物线，
如图，当时，点在边上，点在边上，
，
则中，边上的的高为2，
，
图象是一次函数，且随着的增大而增大，
时，图象是线段，
如图，当时，点在边上，点在边上，
，
在矩形中，，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
当时，图象是开口向下的抛物线，
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定和性质，二次函数的图象，解题的关键是根据动点运动的情况表示出的面积．
10. 如图，矩形中，E为的中点，，，连接并延长，交的延长线于点F，、相交于点O．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是（ ）
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的性质可得以及E为的中点，，可得，再证明，可得，从而得到，可判断①正确；在中，根据锐角三角函数可得，， 从而得到，再证明，可得，可判断②正确；再根据直角三角形的性质可得
，，可判断③正确；再由，，可得，可判断④错误，即可．
【详解】解：矩形中，，，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴平分，故①正确；
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故④错误．
故选：D
【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特殊角的正切值的运用，勾股定理的运用及直角三角形的性质的运用，解答时根据比例关系设出未知数表示出线段的长度是关键．
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分，只要求填写最后结果．
11. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用。经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201千克，将0.00000201用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示计算即可；
【详解】；
故答案为：．
【点睛】本地主要考查了科学记数法的表示，准确计算是解题的关键．
12. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的是综合提公因式与完全平方公式分解因式，掌握“因式分解的方法与步骤”是解本题的关键．
13. 若关于x的方程.无解，则m的值是_____．
【答案】1或
【解析】
【分析】根据分式方程的解法，方程无解的两种情况，分式方程有增根或x的系数为0，即可解得此题.
【详解】解：去分母得：3 2x+mx-2=3-x
∴-x+mx=2
∴(m-1)x=2
当m-1=0时，
此时方程无解，符合题意，
此时m=1，
当m-1≠0时，
由于方程无解，即x 3=0，x=3
将x=3代入x=，得，
∴解得：m=
故答案为1或
【点睛】本题考查了分式方程的解法，解本题的关键是掌握分式方程无解的两种情况.
14. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的中位数为________．
【答案】165
【解析】
【分析】根据中位数的定义，结合图表信息解答即可．
【详解】解：由题意可知一共有2+4+3+2+3+1=15名运动员，把15名运动员的成绩按照从低到高排列，第8名运动员的成绩是165cm，
∴中位数是165．
故答案为：．
【点睛】本题考查了中位数，确定中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数有时不一定是这组数据的数．
15. 如图，点A，B在反比例函数的图像上，延长交x轴于点C，若的面积为12，且，则_______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，勾股定理，过点A作于D，设，，由的面积为12，推出，再利用中点坐标公式表示B点坐标，利用B点在反比例图像上即可求解．
【详解】解：如图所示，过点A作于D，设，
，
的面积为12，
，
∵，
∴B点是中点，
B点坐标
B点在反比例图像上，
又∵，
∴，
，
，
故答案是：8．
16. 如图，在矩形中，，，点、分别为、边上的点，且的长为2，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】作点A关于的对称点H，连接，，，，，可知当H、P、G、D共线时，最小，求出、长即可．
【详解】解：作点A关于的对称点H，连接，，，，，，
∵，
∴当H、P、G、D共线时，最小，
∵，，
∴，，
∵的长为2，点为的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用轴对称求最短路径，解题关键利用轴对称和直角三角形的性质确定最短路径．
17. 如图，在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接，．当为等腰三角形时，的长度为______．
【答案】或
【解析】
【分析】由矩形的性质得，，，设与交于点，由翻折的性质得，，，，分两种情况讨论如下：①当时，过点作于，则，设，则，，由勾股定理得：，证，得，即，由此解出即可；②当时，则，则，由勾股定理求出，证，得，即，由此求出即可．
【详解】解：四边形为矩形，，，
，，，
设与交于点，
由翻折的性质得：，，，，
为等腰三角形，
有以下两种情况：
①当时，过点作于，则，如图：
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，，
，，
，
又，
，
，
即，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）；
②当时，则，如图：
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，，
，，
，
又，
，
，
即，
．
综上所述：的长为或．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，图形的翻折及性质，解一元二次方程，勾股定理等，熟练掌握矩形的性质，图形的翻折及性质是解答此题的关键，灵活运用勾股定理及三角形的面积构造方程，及分类讨论是解答此题的难点，漏解是易错点．
18. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，…在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与正方形综合，熟练掌握一次函数的图象和性质，正方形的性质，点坐标规律，是解题的关键．
根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点、的坐标，同理可得出、、、、…及、、、、…的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．
【详解】当时，，
解得：，
∴点．
∵四边形为正方形，
∴点．
同理，可得出：，，，，…，
∴，，，，…，
∴（n为正整数），
∴点．
故答案为：．
三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中满足．
【答案】（1）6；（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了实数运算，特殊角的三角函数值以及分式的混合运算，正确化简分式是解题关键．
（1）直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值，二次根式，负整数指数幂的性和零指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式，
，
或，
且，即且，
，
则原式．
20. 我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类收集桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 ；
（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（3）若该校有1800名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
（4）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
【答案】（1）100；
（2）见解析 （3）144名
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率：
（1）用蓝色的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，再用360度乘以灰色的人数占比即可求出灰色所在扇形的圆心角的度数；
（2）先求出绿色的人数，进而补全统计图即可；
（3）用1800乘以样本中红色的人数占比即可得到答案
（4）先画出树状图得到所有等可能性结果数，再找到抽中A、B两人的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：（名），
∴此次调查一共随机采访了100名学生，
∴在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为，
故答案为：100；；
【小问2详解】
解：绿色的人数为：（人），
补全统计图图如下：
【小问3详解】
解：（名），
∴估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数为144名；
【小问4详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中抽到A，B两人的结果数为2种，
∴抽到A，B两人的概率是．
21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD＝3，DE＝，求⊙O的直径．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC＝90°，E为BC的中点得到DE＝CE＝BE，则利用等腰三角形的性质得∠EDC＝∠ECD，∠ODC＝∠OCD，由于∠OCD＋∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠EDC＋∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切；
（2）根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解:（1）证明：连接DO，如图，
∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，
∴DE＝CE＝BE，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
而∠OCD＋∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC＋∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，
∴DE⊥OD，
∴DE与⊙O相切；
（2）由（1）得，∠CDB＝90°，
∵CE＝EB，
∴DE＝BC，
∴BC＝5，
∴BD＝＝＝4，
∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BDC，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝，
∴⊙O直径的长为．
【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质．
22. 图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图如下．经过测量，支架的立柱与地面垂直()．米，点A、C、M在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为E，该支架的边与的夹角，又测得米．(参考数据：，，，，，)
（1）求该支架的边的长；
（2）求支架边的顶端到地面的距离．(结果精确到1米)
【答案】（1）7米 （2）6米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）先解求出米，进而求出米，再解求出的长即可；
（2）如图所示，过点D作于H，过点B作于G，则四边形是矩形，即可证明米，，求出，即可解，求出米，则米，
【小问1详解】
解：在中，米，
∴米，
∵米，
∴米，
∵，
∴，
在中，米，
∴米，
∴该支架的边的长为7米；
【小问2详解】
解：如图所示，过点D作于H，过点B作于G，则四边形是矩形，
∴米，，
∴，
∴，
在中，米，
∴米，
∴支架的边的顶端D到地面的距离为6米．
23. 某商场经营某种新型电子产品，购进时的单价为100元/件，连续加价两次后，以240元/件为定价售出，已知第二次加价的增长率比第一次加价的增长率多．
（1）求第一次加价的增长率；
（2）该商场在试销中发现，如果以定价售出，则每天可售出200件，如果售价每降低1元，销售量就可以增加10件，那么当售价为多少元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）单价为180元利润最大，最大利润是64000元．
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的性质：
（1）设第一次加价的增长率为x，根据题意列方程求解即可；
（2）当销售单价为m元/个时，获得的利润为y元，根据题意求得y与m的关系，再根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，设第一次加价的增长率为，由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
第一次加价的增长率为．
【小问2详解】
解：由题意，设当销售单价为m元/件时，获得的利润为y元，由题意得：
，
，
当时，取得最大值为64000．
当销售单价为180元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是64000元．
24. 如图1，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P、Q为直线下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作轴，交于点M，过点Q作轴交于点N，求的最大值及此时点Q的坐标；
（3）如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，且为矩形一边，求出此时所有满足条件的点E的坐标．
【答案】（1）
（2），
（3）或
【解析】
【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；
（2）设，则，进而得到；再表示出，最后根据二次函数的性质即可解答；
（3）分两种情况：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作，当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可．
【小问1详解】
解：把和代入，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：抛物线（）与y轴交于点C，令，则，
∴C点的坐标为，设直线的解析式为，把B、C点的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
点P、Q为直线下方抛物线上的两点，设，则，
∴，，
∴，，
∴，
当时，，
∴；
【小问3详解】
解：由题意可得：，
∴的对称轴为，
∴抛物线与y轴交于点C．
∴，
∵，
∴，，
当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作，如图所示：
∵D在的对称轴为，
∴，
∴，，即点，
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到；
当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，如图所示：
设的对称轴为与x轴交于F，
∵D在的对称轴为，
∴，
∴，
∵，即，
∴，即点，
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点；
综上分析可知，点E的坐标为：或．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键．
25. （1）如图1，正方形和正方形（其中），连接交于点H，请直接写出线段与的数量关系　 　，位置关系　 　；
（2）如图2，矩形和矩形，，将矩形绕点D逆时针旋转，连接交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形和矩形，，将矩形绕点D逆时针旋转，直线交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）相等，垂直；（2）不成立，，，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）证明，可得，再通过角度的等量代换证明即可；
（2）证明，可得的线段比，即可解答；
（3）分类讨论，按①当点E在线段上时；②当点G在线段上时两种情况讨论，分别画出图形，依次解答即可．
详解】解：如图1，
在正方形和正方形中，，
，
即，
，
，
，
，
，
，
故答案为：相等，垂直；
（2）不成立，，理由如下：
如图2，由（1）知，，
，
∴，，
∴，
，
∴，即，
，
，
，
，
；
（3）①当点E在线段上时，如图3，
在中，，则，
过点D作于点P，
，，
，
∴，即，
，，
则，
则；
②当点G在线段上时，如图4，
过点D作于点P，
，，
同理得：， ，
由勾股定理得：，
则；
综上，AE的长为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，对不同情况分类讨论并且画出正确的图形辅助线是解题的关键．

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