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2023年江苏省南京市中考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约3830000公顷．用科学记数法表示3830000是（　　）
A．3.83×106 B．0.383×106 C．3.83×107 D．0.383×107
2．（2分）整数a满足，则a的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2分）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
4．（2分）甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）与行驶速度v（单位：km/h）之间的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2分）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在△ABC中，AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，则△ABC的面积是（　　）
A．80平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里
6．（2分）如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（　　）
A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）计算：|﹣2|＝　 　；＝　 　．
8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　．
9．（2分）计算的结果是 　 　．
10．（2分）分解因式3a2﹣6a+3的结果是 　 　．
11．（2分）计算的结果是 　 　．
12．（2分）某校九年级有8个班级，人数分别为37，a，32，36，37，32，38，34．若这组数据的众数为32，则这组数据的中位数为 　 　．
13．（2分）甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y（单位：km）与行驶的时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．甲车出发20min后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过20min～30min追上甲车，则乙车的速度v（单位：km/min）的取值范围是 　 　．
14．（2分）在平面直角坐标系中，点O为原点，点A在第一象限，且OA＝3．若反比例函数的图象经过点A，则k的取值范围是 　 　．
15．（2分）如图，⊙O与正六边形ABCDEF的边CD，EF分别相切于点C，F．若AB＝2，则⊙O的半径长为 　 　．
16．（2分）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝　 　cm．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）计算．
18．（8分）解不等式组，并写出它的整数解．
19．（7分）如图，在 ABCD中，点M，N分别在边BC，AD上，且AM∥CN，对角线BD分别交AM，CN于点E，F．求证BE＝DF．
20．（8分）社会运转和日常生活离不开物流行业的发展，阅读以下统计图并回答问题．
（1）下列结论中，所有正确结论的序号是 　 　．
①2011～2022年社会物流总费用占GDP比重总体呈先下降后稳定的趋势；
②2011～2016年社会物流总费用的波动比2017～2022年社会物流总费用的波动大；
③2012～2022年社会物流总费用逐年增加，其中增加的幅度最大的一年是2021年．
（2）请结合上图提供的信息，从不同角度写出两个与我国GDP相关的结论．
21．（8分）某旅游团从甲、乙、丙、丁4个景点中随机选取景点游览．
（1）选取2个景点，求恰好是甲、乙的概率；
（2）选取3个景点，则甲、乙在其中的概率为 　 　．
22．（8分）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30℃，流速为20ml/s；开水的温度为100℃，流速为15ml/s．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280ml温度为60℃的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．
物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度＝温水的体积×温水升高的温度．
23．（8分）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B．无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为36°52′；无人机垂直上升5m悬停在D处，此时在B处测得D的仰角为63°26′．AB＝10m，点A，B，C，D在同一平面内，A，B两点在CD的同侧．求无人机在C处时离地面的高度．
（参考数据：tan36°52′≈0.75，tan63°26′≈2.00．）
24．（8分）如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD（不计折射），AB∥CD．
（1）在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变．
（2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度为60cm．在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大．
①画出此时AB所在位置的示意图；
②CD的长度的最大值为 　 　cm．
25．（8分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a为常数，a≠0）．
（1）若a＜0，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．
（2）若a＝﹣1，求证：当﹣1＜x＜0时，y＞0．
（3）若该函数的图象与x轴有两个公共点（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，则a的取值范围是 　 　．
26．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作AC的垂线，垂足为D，分别交直线BC，于点E，F，射线AF交直线BC于点G．
（1）求证AC＝CG．
（2）若点E在CB的延长线上，且EB＝CG，求∠BAC的度数．
（3）当BC＝6时，随着CG的长度的增大，EB的长度如何变化？请描述变化过程，并说明理由．
27．（9分）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A旋转一个角度θ（0°＜θ＜180°），再将旋转后的多边形以点A为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作T（A，顺θ，k）；若逆时针旋转，记作T（A，逆θ，k）．
例如：如图①，先将△ABC绕点B逆时针旋转50°，得到△A1BC1，再将△A1BC1以点B为位似中心缩小到原来的，得到△A2BC2，这个变换记作T（B，逆50°，）．
（1）如图②，△ABC经过T（C，顺60°，2）得到△A′B′C，用尺规作出△A′B′C．（保留作图痕迹）
（2）如图③，△ABC经过T（B，逆α，k1）得到△EBD，△ABC经过T（C，顺β，k2）得到△FDC，连接AE，AF．求证：四边形AFDE是平行四边形．
（3）如图④，在△ABC中，∠A＝150°，AB＝2，AC＝1．若△ABC经过（2）中的变换得到的四边形AFDE是正方形．
Ⅰ．用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
Ⅱ．直接写出AE的长．
2023年江苏省南京市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．【解答】解：3830000＝3.83×106．
故选：A．
2．【解答】解：∵，
即，
∴整数a＝5，
故选：C．
3．【解答】解：∵等腰三角形的腰长为3，
∴3﹣3＜等腰三角形的底长＜3+3，
即0＜等腰三角形的底长＜6，
∴6＜等腰三角形的周长＜12，
故选：B．
4．【解答】解：根据题意有：100＝v t，
所以t＝，
故v与t之间是反比例函数，其图象在第一象限．
故选：D．
5．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
设BD＝x里，则CD＝（14﹣x）里，
在Rt△ABD中，AD2+x2＝132，
在Rt△ADC中，AD2＝152﹣（14﹣x）2，
∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
132﹣x2＝152﹣196+28x﹣x2，
解得x＝5，
在Rt△ABD中，AD＝＝12（里），
∴△ABC的面积＝BC AD＝×14×12＝84（平方里），
故选：C．
6．【解答】解：如图：过点B作BC⊥AH，垂足为C，
∵OH⊥AC，BC⊥AC，
∴∠AHO＝∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝∠OAH，
∴△AOH∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
如图：过点A作AD⊥BH，垂足为D，
∵OH⊥BD，AD⊥BD，
∴∠OHB＝∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝∠OBH，
∴△ABD∽△OBH，
∴＝，
∴＝，
∴+＝+，
∴+＝，
∴+＝1，
解得：OH＝36，
∴跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是36cm，
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．【解答】解：|﹣2|＝2，，
故答案为：2，2．
8．【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴x﹣2≠0．
∴x≠2．
故答案为：x≠2．
9．【解答】解：
＝6﹣3
＝3，
故答案为：3．
10．【解答】解：3a2﹣6a+3
＝3（a2﹣2a+1）
＝3（a﹣1）2．
故答案为：3（a﹣1）2．
11．【解答】解：
＝
＝
＝
＝
＝．
故答案为：．
12．【解答】解：∵一组数据37，a，32，36，37，32，38，34的众数为32，
∴a＝32，
把这组数据从小到大排列为32，32，32，34，36，37，37，38，排在中间的两个数分别为34，36，所以这组数据的中位数为＝35．
故答案为：35．
13．【解答】解：根据图象，得甲车的速度为18÷20＝（km/min），
设甲车出发t min后乙车追上甲车，根据题意，40≤t≤50．
则t＝v（t﹣20），得v＝＝＝，
∴v随t的增大而减小．
当t＝50时，v取最小值，v＝；
当t＝40时，v取最大值，v＝，
∴≤v≤，
故答案为：≤v≤．
14．【解答】解：由题意可知A为反比例函数的图象与直线y＝x的交点时，k的值最大
∵OA＝3，
∴A在直线y＝x上时，A（，），
∴此时k＝×＝，
∵点A在第一象限，
∴k＞0，
∴k的取值范围是0＜k≤，
故答案为：0＜k≤．
15．【解答】解：连接CF，OC，OF，过D作DG⊥CF于G，过E作EH⊥CF于H，
∴EH∥DG，
∵EF，CD是⊙O的切线，
∴∠OFE＝∠OCD＝90°，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FED＝∠CDE＝120°，
∴∠COF＝120°，
∵OC＝OF，
∴∠OCF＝∠OFC＝30°，
∴∠EFH＝∠DCG＝60°，
∵∠EHF＝∠DGC＝90°，CD＝EF，
∴△CDG≌△FEH（AAS），
∴FH＝CG，EH＝DG，
∴四边形EHGD是矩形，
∴HG＝DE＝2，
∵EF＝CD＝2，∠DCG＝∠EFH＝∠OFE﹣∠OFH＝60°，
∴FH＝CG＝EF＝1，
∴CF＝4，
过O作OM⊥CF于M，
∴CM＝CF＝2，
∴OC＝＝＝，
∴⊙O的半径长为，
故答案为：．
16．【解答】解：作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°，
∵CF＝4cm，FB′＝1cm，
∴B′C＝CF+FB′＝4+1＝5（cm），
由折叠得BC＝B′C＝5cm，∠BCE＝∠B′CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，
∵CB′⊥AD于点F，
∴∠BCB′＝∠CFD＝90°，
∴∠BCE＝∠B′CE＝∠BCB′＝×90°＝45°，DF＝＝＝3（cm），
∴∠HEC＝∠BCE＝45°，
∴CH＝EH，
∵＝sinB＝sinD＝＝，＝cosB＝cosD＝＝，
∴CH＝EH＝BE，BH＝BE，
∴BE+BE＝5，
∴BE＝cm，
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解答】解：
＝
＝
＝．
18．【解答】解：，
由①得：x＜，
由②得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x＜，
则原不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0．
19．【解答】证明：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝DO，
∵AM∥CN，
∴∠EAC＝∠FCA，
在△AEO与△CFO中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴BO﹣OE＝OD﹣OF，
∴BE＝DF．
20．【解答】解：（1）2011～2022年社会物流总费用占GDP比重总体呈先下降后稳定的趋势，故①正确；
2011～2016年社会物流总费用的波动范围为2.7，2017～2022年社会物流总费用的波动范围为5.7，
故2011～2016年社会物流总费用的波动比2017～2022年社会物流总费用的波动小，故②错误；
2012～2022年社会物流总费用逐年增加，其中增加的幅度最大的一年是2021年，故③正确．
故正确的结论序号为：①③．
故答案为：①③；
（2）根据统计图可得，从2011年到2022年我国的GDP逐年稳步增加；
GDP的循环规律是5到7年增长，2年持平或衰退．
21．【解答】解：（1）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好是甲、乙的结果有2种，
∴恰好是甲、乙的概率＝＝；
（2）画树状图如下：
共有24种等可能的结果，其中甲、乙在其中的结果有12种，
∴甲、乙在其中的概率为＝，
故答案为：．
22．【解答】解：设该学生接温水的时间为x s，
根据题意可得：20x×（60﹣30）＝（280﹣20x）×（100﹣60），
解得x＝8，
∴20×8＝160（ml），
∵280﹣160＝120（ml），
∴120÷15＝8（s），
∴该学生接温水的时间为8s，接开水的时间为8s．
23．【解答】解：延长DC交AB于点E，
由题意得：DE⊥AB，CD＝5m，
设BE＝x m，
∵AB＝10m，
∴AE＝AB+BE＝（10+x）m，
在Rt△ACE中，∠CAE＝36°52′，
∴CE＝AE tan36°52′≈0.75（10+x）m，
在Rt△BDE中，∠DBE＝63°26′，
∴DE＝BE tan63°26′≈2x（m），
∵DC+CE＝DE，
∴5+0.75（10+x）＝2x，
解得：x＝10，
∴CE＝0.75（10+x）＝15（m），
∴无人机在C处时离地面的高度约为15m．
24．【解答】解：（1）设AB平移到EF，EF在地面上形成的影子为MN．
∵AB∥CD，
∴△OAB～△OCD，
△OEF～△OMN，
△OEB～△OMD，
∴，，，
∴，
∵EF＝AB，
∴MN＝CD，
∴沿着AB方向平移时，CD长度不变．
（2）①以A为圆心，AB长为半径画圆，
当OQ与⊙A相切于H时，此时CD最大为CQ．
此时AB所在位置为AH．
②∵∠HGA＝∠PGO，∠AHG＝∠OPG＝90°，
∴△GHA～△GPO，
∴，
∴设GA＝x，则GO＝2x，
在Rt△OPG中，
OP2+PG2＝OG2，
∴362+（18+x）2＝（2x）2，
∴x2﹣12x﹣540＝0，
∴x1＝30，x2＝﹣18（舍去），
∴AG＝30，
由①，
∴，
∴CQ＝80，
即CD的长度的最大值为80cm．
25．【解答】证明：（1）因为（﹣2a）2﹣4×a×3＝4a2﹣12a，
又因为a＜0，
所以4a＜0，a﹣3＜0，
所以4a2﹣12a＝4a（a﹣3）＞0，
所以该函数的图象与x轴有两个公共点．
（2）将a＝﹣1代入函数解析式得，
y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向下．
则当﹣1＜x＜0时，
y随x的增大而增大，
又因为当x＝﹣1时，y＝0，
所以y＞0．
（3）因为抛物线的对称轴为直线x＝，且过定点（0，3），
又因为该函数的图象与x轴有两个公共点（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，
所以当a＞0时，
a﹣2a+3＜0，
解得a＞3，
故a＞3．
当a＜0时，
a+2a+3＜0，
解得a＜﹣1，
故a＜﹣1．
综上所述，a＞3或a＜﹣1．
故答案为：a＞3或a＜﹣1．
26．【解答】（1）证明：过A作直径AM，
∵AB＝AC，
∴AM⊥BC，
∴∠E+∠EOM＝90°，
∵AC⊥EF，
∴∠OAD+∠AOD＝90°，
∴∠E＝∠OAD，
∵OA＝OF，
∴∠OAD+∠DAF＝∠AFO＝∠E+∠G，
∴∠DAF＝∠G，
AC＝CG；
（2）解：BAG＝∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴∠BAM＝∠CAM，
设∠BAM＝∠CAM＝2α，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣2α，
∵AC＝CG，
∴∠CAG＝∠CGA＝45°﹣α，
∴∠BAG＝2α+2α+45°﹣α＝45°+3α，
如图：连AE，
∵EF⊥AC，又EF过圆心，
∴EF垂直平分AC，
∴EC＝AE，
∵BH＝HC，又EB＝CG，
∴HE＝HG，
∴AM垂直平分EG，
∴AE＝AG，
∴EC＝AG，
∵EB＝CG，
∴EB+BC＝BC+CG，
∴EC＝BG，
∴AG＝BG，
∴∠BAG＝∠ABG，
∴45°+3α＝90°﹣2α，
∴α＝9°，
∴∠BAC＝4α＝36°；
（3）答：当CG＝6，BE＝0；
当CG≥6时，BE随CG的增大而增大；
当3＜CG＜6时，BE随CG的增大而减小．
说明：①当BE＝0时，即点E与B重合，
在△BOH和△AOD中，
，
∴△BOH≌△AOD（AAS），
∴AD＝BH＝3，
∴AC＝2AD＝6，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CAG＝30°，∠CAG+∠G＝60°，
∴∠G＝30°＝∠CAG，
∴CA＝CG＝6；
②当CG≥6时，如图：
∵∠E＝∠CAH，∠EDC＝∠AHC＝90°，
∴△ACH～△ECD，
∴，
∴，
∴＝，
∴BE＝CG2﹣6，
∴BE随CG的增大而增大．
③当3＜CG＜6时，如图，
∵∠ACM＝∠DCE，∠EDC＝∠AMC＝90°，
∴△AMC～△EDC，
∴，
∴，
∴，
∴BE＝﹣CG2+6，
∴BE随CG的增大而减小．
综上所述：
当CG≥6时，BE随CG的增大而增大；
当3＜CG＜6时，BE随CG的增大而减小．
27．【解答】（1）解：如图1，
1．以B为圆心，BC为半径画弧，以C为圆心，BC为半径画弧，两弧在BC的上方交于点D，分别以A，C为圆心，以AC为半径画弧，两弧交于点E，
2．延长CD至B′，使DB′＝CD，延长CE至A′，使A′E＝CE，连接A′B′，
则△A′B′C就是求作的三角形；
（2）证明：∵△EBD和△ABC位似，△FDC与△ABC位似，
∴∠EBD＝∠ABC，，，
∴∠EBA＝∠DBC，
∴△EBA∽△DBC，
∴，
∴，
∴AE＝DF，
同理可得：DE＝AF，
∴四边形AFDE是平行四边形；
（3）解：如图2，
1．以BC为边在BC上方作等边三角形GBC，
2．作等边三角形BCG的外接圆O，作直径BD，连接CD，
3．作∠DBE＝∠ABC，∠BDE＝∠ACB，延长BA，交⊙O于F，连接CF，DF，
则四边形AFDE是正方形，
证明：由上知：△EBA∽△DBC，△FAC∽△DBC，
∴∠BAE＝∠DCB，∠FAC＝∠DBC，，，
∴∠BAE+∠FAC＝∠DCB+∠DBC，
要使 AFDE是正方形，应使∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴∠BAE+∠FAC+∠BAC＝270°，BD＝2CD，
∴∠BAE+∠FAC＝270°﹣∠BAC＝270°﹣150°＝120°，
∴∠DBC+∠DCB＝120°，
∴∠BDC＝60°，
∴作等边△BCG，保证∠BDC＝∠G＝60°，作直径BD，保证BD＝2CD，这样得出作法；
∵∠ABE＝∠DBC＝30°，∠EAB＝∠BCD＝90°，AB＝2，
∴AE＝AB＝．

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