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专题5 等差数列前n项和的最值
【重庆市巴蜀中学校2024届高考适应性月考卷】已知等差数列的前n项和为,对任意的,均有成立,则的值的取值范围是( )
A. B. C. D.
由数列的单调性得出,公差d>0,讨论,得出的范围,进而由结合不等式的性质得出所求范围.
由题意知是等差数列的前n项和中的最小值,必有,公差d>0,
若,此时,是等差数列的前n项和中的最小值,
此时,即,则;
若,此时是等差数列的前n项和中的最小值,此时,
即,则,
综合可得:的取值范围是,故选B.
1.已知数列满足:对恒成立,且,其前n项和有最大值,则使得的最大的n的值是( )
A.10 B.12 C.15 D.17
2.已知等差数列,是数列的前项和,对任意的,均有成立,则的值不可能是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
由结合二次函数的性质得出,进而由得出所求范围.
,∵,
∴,即
∴,故选B.
3.等差数列的前项和为,已知,则( )
A. B.的前项和中最小
C.使时的最大值为9 D.的最大值为0
4.已知为等差数列,其前项和,若,,则( )
A.公差 B.
C. D.当且仅当时
由,,构造函数,利用,作出的图象,利用斜率得出,再由得出所求范围.
解:由恒成立,可得,又,构造函数,则,
作的图象为直线l,设,l与x轴交于C点,如图示:
由,,在中
∴.选B.
5.设是公差为的等差数列的前项和,则下列命题正确的是( )
A.若,则数列有最大项
B.若数列有最大项,则
C.若数列是递增数列,则对任意,均有
D.若对任意,均有,则数列是递增数列
6.已知等差数列的前n项和为Sn(n∈N*),公差d≠0,S6=90,a7是a3与a9的等比中项,则下列选项正确的是( )
A.a1=22 B.d=-2
C.当n=10或n=11时,Sn取得最大值 D.当Sn>0时,n的最大值为20
设,根据二次函数的性质得出,再由等差数列的性质得出,进而由得出所求范围.
设,∵,∴且得
∵,∴,∴
7.已知等差数列的前n项和为且则
A. B.当且仅当n= 7时,取得最大值
C. D.满足的n的最大值为12
8.设数列是等差数列,且,,则前项的和的最小值为 .
由等差数列的单调性得出,当,由得出,由,得出,由排除法得出答案.
为等差数列,前n项和为
由可知,为递增数列且
最小,所以分两种情况①②
若,则,故,排除A
由为递增数列,最小,∴,,故,排除C、D,故选B.
9.已知是等差数列{}的前n项和,若仅当时取到最小值,且,则满足的n的最小值为 .
10.已知等差数列的前n项和为,,若时,最小,则= .
11.设等差数列的前n项和为且,当取最大值时,的值为 .
12.等差数列的前n项和为,已知,,则的最小值为 .
13.已知为单调递减的等差数列的前n项和,若数列前n项和,则下列结论中正确的有 .(填写序号)
①;②;③;④.
14.在等差数列中,,与互为相反数,为的前n项和,,则的最小值是 .
15.已知等差数列的前项和为,若,,则公差 ;当 时,取到最大值.
16.已知数列的前项和为,其通项公式,则取 时,取最大值,最大值为 .
试卷第1页,共3页
试卷第1页,共3页
参考答案:
1.C
【分析】由等差中项性质可得数列为等差数列,再由,其前n项和有最大值可得,即可求得,即可知所求结果为.
【详解】由数列满足对恒成立可知,数列为等差数列;
设数列的首项为,公差为,则,
若前n项和有最大值,则可知,因此,
又,所以,可得,
所以,即
;
所以,使得的最大的n的值是.
故选:C
2.A
【分析】根据题意,由恒成立可得是等差数列的前项和中的最大值,结合等差数列前项和的性质,分3种情况讨论,综合求出的取值范围,分析选项可得答案.
【详解】根据题意,等差数列,对任意的,均有成立,即是等差数列的前项和中的最大值,
必有,公差,
分3种情况讨论:
①,此时,、是等差数列的前项和中的最大值,
此时,则有,
则,
②,此时,、是等差数列的前项和中的最大值,
此时,则有,
,
③,,是等差数列的前项和中的最大值,
此时,,则,变形可得:,
,
而,则有,
综合可得:.
故选:A.
3.BC
【分析】根据等差数列前和基本量的计算求出通项公式和前和公式,代入计算判断A,结合二次函数求解的最小值判断B,解不等式判断C,求出的通项公式,利用数列的单调性求解最值判断D.
【详解】设等差数列的首项为,公差为,因为,所以,
所以,.
对于A,,错误;
对于B,因为,所以当时,有最小值,正确;
对于C,若,则,又,所以的最大值为9,正确;
对于D,因为,所以数列为关于的单调递增数列,所以没有最大值,错误.
故选:BC.
4.ABC
【分析】根据题意,结合等差数列前项和的公式和性质,一一判断即可.
【详解】由,得,即.
因,所以,且,故选项AB正确;
因,且,故时,最大,即,故选项C正确;
由,得,即,故D错.
故选:ABC.
5.ABD
【分析】由题意,分、分别讨论对应的函数性质可判断A,B;若数列是递增数列,则,若数列是递减数列,则分析可判断C,D.
【详解】因为,
若,对应二次函数开口向下,由二次函数的性质可知,数列有最大项,正确;
若,二次函数开口向上,无最大项
故若数列有最大项,有,B正确;
若数列是递增数列,则,若,则,故不一定对任意,均有,C错误;
若数列是递减数列,则,一定存在实数,当时,之后所有项都为负数,不能保证对任意,均有
故若对任意,均有,有数列是递增数列,D正确.
故选:ABD
6.BCD
【解析】由等差数列的求和公式和通项公式,结合等比数列的中项性质,解方程可得首项和公差,求得等差数列的通项和,由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值,判断命题的真假.
【详解】等差数列的前项和为,公差,
由,可得,即,①
由是与的等比中项,可得,即,
化为,②
由①②解得,,
则,,
由,可得或11时,取得最大值110;
由,可得,即的最大值为20.
故选:BCD
【点睛】方法点睛:数列最值常用的方法有:(1)函数(单调性)法;(2)数形结合法;(3)基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.
7.ACD
【解析】由题可得,,,求出可判断A;利用二次函数的性质可判断B;求出可判断C;令,解出即可判断D.
【详解】设等差数列的公差为,则,解得,
,,且,
对于A,,故A正确;
对于B,的对称轴为,开口向下,故或7时,取得最大值,故B错误;
对于C,,,故,故C正确;
对于D,令,解得,故n的最大值为12,故D正确.
故选:ACD.
【点睛】方法点睛:由于等差数列是关于的二次函数,当与异号时,在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当与同号时,在取最值.
8.
【分析】根据,可求得与公差的值,从而利用等差数列前项和公式可得,再结合二次函数的性质与图像可知的最小值.
【详解】设等差数列的公差为,由,得,解得,
所以,
结合二次函数的性质与图像可知当或时,有最小值,
.
故答案为:.
9.11
【分析】由前n项和有最小值可知,得出,所以,再由即可求出n的最小值.
【详解】因为,当时取到最小值,
所以,所以,
因为,所以,即,所以.
,则,因为,
所以,解之得:,因为,所以n的最小值为11.
故答案为:11.
10.
【分析】解法一:根据等差数列的性质,求得的变号项,即可求解;
解法二:利用等差数列的前和公式得到,结合二次函数的图像与性质,即可求解.
【详解】解法一:因为,所以当,时,,
当,时,,
,
所以,最小,即.
解法二:因为,所以,,
又,所以时,最小,最小为.
故答案为:.
11.
【分析】根据题意,用首项表示公差,代入前项和公式,化简得到为关于开口向下的二次函数,进而求出其最大值时对应的的值.
【详解】因为,所以,即,化简后可得.
,由二次函数性质可知,当时,取得最大值.
故答案为:.
12.
【分析】由条件得到,再由求和公式得,从而得可求解.
【详解】由,,得,
解得:,
则.故.
由于,故当或4时,.
故答案为:
13.②
【分析】设等差数列的公差为,利用裂项相消法求得数列前n项和,结合已知求得首项和公差,从而可得数列通项及前项和,再逐一判断即可得解.
【详解】设等差数列的公差为,
则,
故
,
所以,
则,
解得或(舍去),
所以,
故,故①错误;
,故②正确;
,故③错误;
,,
则当或时,取得最大值,
所以,故④错误.
故答案为:②.
14.6
【分析】根据条件求出,,对进行分类讨论求出,求出的表达式,再构造函数利用导数研究函数的最值,即可得到答案;
【详解】,,
解得:,,
,
,,
当时,
,
当时,
,
当时,,
考察函数,,
当时,,在单调递增,
当时,为最小值;
当时,,
考察函数,,
当时,;函数在单调递增,
当时,为最小值;
综上所述:的最小值是;
故答案为:
15. 或
【分析】利用等差数列可得,即可求得和,则是关于的二次函数,进而求解即可,需注意.
【详解】由题,因为等差数列,所以,解得,
所以,
当时取得最大值,因为,
所以当或时,取得最大值,
故答案为:;或
【点睛】本题考查等差数列的基本量,考查等差数列的前项和的最大值的满足条件.
16. 5或6 30
【分析】由的通项公式判断其为等差数列,进而求出关于的解析式,利用配方法及的取整数可求得的最大值.
【详解】,
,
∴数列 是首项为10,公差为-2的等差数列,
,∴当或时,取得最大值.
故答案为:5或6;30.
答案第1页,共2页
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