资源简介

专题6 抽象函数背景的数列问题
【河南省信阳市2023-2024学年高三第一次教学质量检测】
已知定义在［0，4］上的连续函数满足：
①在［0，1］上是单调函数
②
③对x∈［－2，2］恒成立
④对x∈［0，2］恒成立
若，记与形成的封闭图形的面积为，则满足的最小的n的值为______．
将已知条件中有关抽象函数的运算性质转化为：当x∈［0，2］时，关于（1，0）对称
当x∈［0，4］时，关于直线对称.再利用这些性质得到相应数列的性质，从而进一步解决问题.
当x∈［0，2］时，关于（1，0）对称
当x∈［0，4］时，关于直线对称
由对称性可知，与围成图形面积为，即
由，即，∴，
类推：，，
1．设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 .
【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；
（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；
（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.
2．设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 ．
借助已有的知识储备，去构造一个符合所有运算性质的具体函数， ，逐条验证后，以此特例为抓手进一步去解决相应的数列问题.
构造，易验证它满足①②③④
，
∴
∴
又∵，∴
3．设函数满足下列条件：
（1）定义域为；
（2）在上的最大值为；
（3）在上不是增函数．
则的解析式可以是 ．
4．已知函数，数列为等比数列，，， ．
5．已知函数，设数列的通项公式为，则 .
6．已知函数的定义域为，且，则 ．
7．已知定义在上的函数的满足：，，若函数图象与函数图象的交点为，则 ．
8．定义在上的奇函数满足，，且当时，，则 .
9．给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列.已知为的牛顿数列，且，数列的前项和为.则 .
10．已知数列为等差数列，函数，，，若，则数列的前21项和为 .
11．数列满足，，，定义函数是数列的特征函数，则下列说法正确的是
①当时，数列单调递增
②当时，
③当时，
④当时，记数列的前项和为，则
12．若由函数构造的数列满足，，，则称为单位收敛函数.现有下列四个函数：①；②；③；④.其中所有单位收敛函数的编号是 .
13．已知三次函数，数列{}满足，给出下列两个条件：①函数是递减函数：②数列{}是递减数列.试写出一个满足条件②但不满足条件①的函数的解析式= .
14．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛应用，其定义为:时，.若数列，则下列结论:①的函数图象关于直线对称；②；③；④；⑤.其中正确的是 （填写序号）.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】
推导出函数是周期为的周期函数，根据题中条件求出的值，结合函数的周期性可求得的值.
【详解】因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，
则，，
所以，函数的图象关于直线对称，也关于点对称，
所以，，，
所以，，则，
所以，函数是周期为的周期函数，
当时，，则，，，
，，，
，，
所以，，
又因为，所以，.
故答案为：.
【点睛】
结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；
（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；
（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.
2．
【分析】根据奇函数的性质可得出的值，根据函数对称性可得出的值，推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，结合周期性可求得的值.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，
则对任意的，，，则，
所以，，
所以，函数是周期为的周期函数，且，
因此，.
故答案为：.
3．（答案不唯一）
【分析】根据题意写出满足的，再检验即可．
【详解】解：由已知写出满足的函数为，
由，解得，满足（1）；
由复合函数同增异减可知，在上递减，在上递增，
，满足（2）；
由上面的分析知在上不是增函数，满足（3）．
故答案为：（答案不唯一）．
4．
【分析】根据函数的对称性，再结合等比数列的等比中项，利用倒序相加法求和即可得答案.
【详解】因为，所以.
又因为数列为等比数列，，
所以，
所以
设①
则②
由①+②得：所以
故答案为：
5．36
【分析】根据函数的解析式求出函数的对称中心，再结合等差数列的性质，即可求解.
【详解】，
因为，所以是奇函数，对称中心为，
所以曲线的对称中心为，即，
因为，易知数列为等差数列，，
所以，
则，，
所以.
故答案为：36.
6．17
【分析】由已知分析得函数是关于对称，且周期为4的函数，所以.
【详解】由，可得，
即函数是关于对称，
又，所以，①
则，②
由①②知，，即函数是周期为4的函数，
由，令，有，
又，即，则，
令，有，即，则，
所以.
故答案为：17
7．4046
【分析】判断函数和的图象关于点成中心对称，由此利用函数的对称性即可求得答案.
【详解】由题意知定义在上的函数的满足：，
故函数的图象关于点成中心对称，
由可得，
故函数的图象关于点成中心对称，
又函数图象与函数图象的交点为，
则这些交点关于点对称，
故不妨设这些交点从左向右依次排列，
则，
故
，
故答案为：4046
8．
【分析】由奇函数的性质及求出函数的周期，由求出，从而求出，，，，最后根据周期性计算可得.
【详解】因为是奇函数，所以，又，
所以，即，所以，
所以是周期为4的周期函数.
因为是奇函数，所以，又当时，，所以，则，
所以当时，，所以，，，，
所以，
所以.
故答案为：
9．##
【分析】根据定义求得数列的递推公式，然后代入可得的递推公式，根据递推公式可知为等比数列，然后由等比数列求和公式可得.
【详解】由得，
则，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以.
故答案为：
10．
【分析】先化简，令，证得关于对称，利用等差数列可证得与关于对称，故，即可求得答案
【详解】因为，
所以
令，
所以，
所以，即关于对称，
因为，所以数列的前21项和
因为，
所以，
因为数列为等差数列，，
所以，
所以，所以与关于对称，
所以，同理可得，，
又，
所以
故答案为：
11．②③④
【分析】根据定义验证判断即可.
【详解】由已知，，故，故①错误
因为，所以，同理，
所以，故②正确
又因为为增函数，且 ，所以
即，故③正确
依题意，由易知对任意的，，则，所以，即数列为单调递减数列，则，由可得，则，
所以，
所以
综上，故④正确.
故答案为：②③④
12．②③
【分析】根据函数新定义，结合等比数列前n项求和公式、裂项相减求和法和对数的运算性质分别判断即可.
【详解】①：
，
易知的值逐渐递增，
当时，，
所以，故①不符合题意；
②：，
由，
得
，
即，故②符合题意；
③：
，
即，故③符合题意；
④：
，
当时，，故④不符合题意.
故答案为：②③.
13．(答案不唯一)
【分析】令，利用导数研究其在不单调递减情况下m的范围，且保证在上递减，即可写出一个函数解析式.
【详解】设，则，要满足题设条件则，即，
此时，上，递增；上，递减；
不妨令，则，由，当时递减.
综上，满足条件的一个函数有.
故答案为：(答案不唯一)
14．①④⑤
【分析】根据新函数定义，分类讨论确定函数的单调性判断①，取特例判断②，由的关系可判断③，构造函数，利用函数的单调性及不等式性质可得证④，根据裂项相消法判断⑤.
【详解】对于①：若 ，则 ， ，关于 对称，
若为无理数，则 也是无理数， ，也关于 对称，
若 ，并且是既约的真分数，则，并且是互质的 ，， 也是真分数，若 不是既约分数，则与必定存在公约数 ，不妨假设 ，则有，即存在大于1的公约数，与题设矛盾，故 也是既约分数， ，即关于 对称，故①正确；
对于②， 时， ，故②错误；
对于③，当 时，有 ，，，但当 时 ，故③错误；
对于④，， ，
构造函数 ， ，则 ， 单调递增，
，即当时 ， ，
，
当 时， ，， ，故④正确；
对于⑤，
，故⑤正确；
故答案为：①④⑤
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑