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专题7 有关数列求通项、周期性求和的问题
【吉林地区普通高中2023-2024学年度高三年级第二次模拟考试】
已知数列，
（1）求的通项公式；
（2）设的前项和为，若，求.
（1）设
结合求出，进而由为等比数列得出通项公式；
（2）记，由，，，得出，进而由周期性得出.
（1）当时，得；当时，得
设
整理得又
，解得
又是以为首项，为公比的等比数列，
故的通项公式为
（2）记，则.
，
，
，其中
因此，
，是奇数，是奇数
由得或.
①当时，；
②当时，.
综上，，或4048.
（2019下·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）
1．小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有、、三个木桩，木桩上套有编号分别为、、、、、、的七个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到木桩上，则所需的最少次数为
A． B． C． D．
（2023上·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）
2．高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（ ）
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
由诱导公式得出，利用拼凑得出，从而由为等比数列得出通项.
∵，∴，
即，∴是以为首项，2为公比的等比数列
∴，即.
（2017·江西新余·校联考一模）
3．已知正项数列满足，若，则数列的前项和为 ．
（2021上·江苏南京·高二南京市中华中学校考期末）
4．已知数列满足，，则 .
由证明为常数列，从而得出通项.
解：由得
∴为常数列，∴，∴.
（2022·四川绵阳·统考三模）
5．已知数列的前n项和为，若，，则 ．
（2023下·广东佛山·高二南海中学校考期中）
6．高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：，.已知数列满足，，，若，为数列的前项和，则 .
（2021下·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）
7．学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有甲、乙两种菜可供选择.调查资料表明，凡是在这星期一选甲种菜的，下星期一会有改选乙种菜；而选乙种菜的，下星期一会有改选甲种菜.用，分别表示在第个星期一选甲的人数和选乙的人数，如果，则（ ）
A．200 B．300 C．380 D．400
（2023·河北衡水·模拟预测）
8．分形几何学是数学家伯努瓦-曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.记图2中第行黑圈的个数为，若，则（ ）
A．5 B．6 C． D．
（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）
9．若数列满足（且），则与的比值为（ ）
A． B． C．2 D．3
（2023上·四川成都·高三成都七中校考期中）
10．已知数列满足，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·重庆·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）
11．数列的前n项和为，且满足，，则（ ）
A．1011 B．1013 C．2022 D．2023
（2023·广东汕头·金山中学校考三模）
12．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.已知一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ）
A．464 B．465 C．466 D．467
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】假设桩上有个圆环，将个圆环从木桩全部套到木桩上，需要最少的次数为，根据题意求出数列的递推公式，利用递推公式求出数列的通项公式，从而得出的值，可得出结果.
【详解】假设桩上有个圆环，将个圆环从木桩全部套到木桩上，需要最少的次数为，可这样操作，先将个圆环从木桩全部套到木桩上，至少需要的次数为，然后将最大的圆环从木桩套在木桩上，需要次，在将木桩上个圆环从木桩套到木桩上，至少需要的次数为，所以，，易知.
设，得，对比得，
，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，因此，，故选B.
【点睛】本题考查数列递推公式的应用，同时也考查了利用待定系数法求数列的通项，解题的关键就是利用题意得出数列的递推公式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
2．B
【分析】根据递推公式证明数列为等比数列，然后由等比数列通项公式可得，利用累加法求，再对进行放缩求，最后由裂项相消法求出，根据高斯函数可得答案.
【详解】由得，
又，所以数列是以4为首项和公比的等比数列，
故，
由累加法得
，
所以，
∵，
又，∴，
令，，
，
∴，
代入得.
故选：B．
【点睛】本题难点在于考察知识点多，解答过程曲折不易思考，每个知识点的考察难度不算太大，这就要求学生对数列知识掌握全面，并且对问题掌握一定的分析方法.
3．
【分析】根据题意可得，从而可求得，再根据等比数列的定义及等比数列前项和公式即可得出答案.
【详解】解：因为正项数列满足，
所以，
令，则，解之得，
即，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以.
故答案为：．
4．241
【分析】利用递推关系式推出数列为等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解.
【详解】，，即
又，
是首项为3，公比为3的等比数列，
，故，.
故答案为：241
【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的方法：（1）由与的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）构造新数列法.
5．123
【分析】由已知，根据给的，通过，计算出，得到之间的关系，然后构造等比数列，得到数列的通项公式，然后求和即可.
【详解】由已知，，①，
当时，，
当时，②，
①②得：，整理得：，即，
所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，所以
，
所以，
所以.
故答案为：123.
6．
【分析】由题意可得，数列构成以2为首项，2为公比的等比数列，求得，利用累加法求得，进而得，利用裂项相消法可求得.
【详解】由，得.
又，所以数列构成以2为首项，2为公比的等比数列，
所以.
又，累加得，
即，
所以.
又因为满足上式，所以，所以.
因为，所以，
即，所以.
故.
所以.
故答案为：.
7．B
【分析】由题意可得数列递推公式为，，两式联立消去，得到的递推公式，由可求得，从而可知的值
【详解】解：由题意可得，
消去，得，
由，得，从而可得，
故选：B
8．C
【分析】根据条件，得出，代入初始值，利用递推，即可求得的值.
【详解】已知表示第行中的黑圈个数，设表示第行中的白圈个数，由于每个白圈产生下一行的1个白圈1个黑圈，一个黑圈产生下一行的1个白圈2个黑圈，
所以，
又，，，
，
，
，，
，
，所以.
故选:C.
9．D
【分析】由递推关系，求证数列为等比数列，公比为即可得.
【详解】，由，则，
在等式式两边同取倒数得，，
在两边同加得，，
又，则，
则有，则数列是公比为的等比数列.
则与的比值为.
故选：D.
10．A
【分析】根据已知的递推公式得出数列为等比数列，写出其通项公式，然后累加法求出数列的通项公式，从而求出的值即可.
【详解】因为，
所以，
即，
所以数列以首项为，公比为4的等比数列，
所以，
，
，
，
，
累加得：
，
所以，
所以，
故选：A.
11．B
【分析】利用数列的递推公式以及数列的周期性求解.
【详解】因为，，
所以
所以数列是以3为周期的周期数列，
且列，
所以，
故选:B.
12．B
【分析】根据已知可得出递推公式，进而根据累加法可求得，代入30即可得出答案.
【详解】设三角垛第层小球的个数为.
由题意可知，，，，，
所以，当时，有.
所以，
，
，
，
，
，
两边同时相加可得，，
所以，.
当时，，满足题意.
所以，.
所以，.
故选：B.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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