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专题4 数列中不等式能成立与恒成立的求参问题
（2023年浙南名校联盟第一次联考）
1.已知数列的首项为，且满足，其中为其前n项和，若恒有，则的取值范围为______.
将恒成立转化成S4是最大值问题.先利用构造法算出Sn表达式，利用数列的离散特征，可以通过比较S4相邻两项找出必要条件，再通过邻项比较法去研究数列Sn的单调性，进而证明S4是最大值解决问题.
∵，，∴，
∴为首项以4为公比的等比数列
依题意
解之得时，
令
当时为，，时，前4项大于等于0，从第5项开始小于等于0
也即且，且，成立
综上：
1．已知数列满足是正整数
(1)求数列的通项公式；
(2)设，如果对于任意正整数，都有，求实数的取值范围．
2．已知数列的前项和为，，是与的等差中项．
(1)求的通项公式；
(2)设，若数列是递增数列，求的取值范围．
(3)设，且数列的前项和为，求证：．
将恒成立转化成S4是最大值问题.先利用构造法算出an表达式而利用数列的离散特征，可以通过比较S4相邻两项找出必要条件，再利用邻项比较法通过去an的正负研究数列的Sn单调性，从而证明数列中S4是最大值解决问题.
，
设，∴，∴
∴，∴，∴
∵最大，∴必有：，下证：时最大时，
而成立时，
而
因此：，∴时成立
综上：a范围
利用数列的函数特征，可以连续化通过研究对应函数的单调性，由此再推出数列的单调性，从而可以求解出数列中的最值解决问题.
由（1），可得（2），
（2）－（1）得，即，所以，，所以，累乘得，，将代入得，解得，所以
对于函数，得，
由指数函数的单调性可得存在满足，同理时，所以要使恒成立，只需即可，
即解得.
故答案为：.
3．设数列的前项和为，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，数列的前项和为，都有，求的取值范围.
4．已知函数.
(1)若函数在点处的切线在两坐标轴上截距相等，求的值；
(2)（i）当时，恒成立，求正整数的最大值；
（ii）记，，且.试比较与的大小并说明理由.
5．已知正项数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，且，若恒成立，求实数的取值范围．
6．若为等差数列，为等比数列，．
(1)求和的通项公式；
(2)对任意的正整数，设求数列的前项和．
(3)记的前项和为，且满足对于恒成立，求实数的取值范围．
7．已知数列满足，，．
(1)证明：数列为等比数列，求的通项公式．
(2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围．
8．单调递增的等比数列满足，且是，等差中项.
(1)设，求数列的前n项和；
(2)若（1）中满足对于恒成立，求实数的取值范围.
9．函数满足，，且与直线相切.
(1)求实数，，的值；
(2)已知各项均为正数的数列的前项和为，且点在函数的图象上，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.
10．已知数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）利用的方法求得的递推关系式，得出等比数列，从而可得 通项公式；
（2）求出，利用作差法求得的最大值是，然后解不等式可得．
【详解】（1），
时，．
两式相减得，，
又，，从而，所以等比数列，公比为，
所以，；
（2）由（1）知，，，，，当时，，
，当时，，，即时，递减，
所以的最大值是，
对于任意正整数，都有，则，解得或，
所以的取值范围是．
2．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据等差中项定义、与关系可证得数列为等比数列，结合等比数列通项公式可推导得到；
（2）根据数列单调性可得，分别在为偶数和为奇数的情况下，采用分离变量的方式确定的取值范围；
（3）根据通项公式可推导得到，借此不等式进行放缩可得到，由此可得结论.
【详解】（1）是与的等差中项，；
当时，，又，；
当且时，，
，，
又，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
.
（2）由（1）得：，
数列为递增数列，
；
①当为偶数时，，
设，，
数列为递减数列，
当时，，；
②当为奇数时，，
由①知：数列为递减数列，则数列为递增数列，
当时，，；
综上所述：的取值范围为.
（3）由（1）得：，
，，
，
，
【点睛】关键点点睛：本题重点考查了数列单调性的应用、数列与不等式综合应用的相关知识；本题证明不等式的关键是根据数列通项公式的形式进行等比形式的放缩，进而利用构造出关于的不等关系.
3．(1)
(2)
【分析】（1）首先可以根据已知得到，其次注意到，结合等比数列的定义即可求解.
（2）由（1）可知，先将数列的通项公式裂项得，从而可求得其前项和为，若，都有，则只需，研究的单调性即可得到其最小值，从而解不等式即可求解.
【详解】（1）一方面：因为，所以，
所以，即；
另一方面：又时，有，即，且，
所以此时；
结合以上两方面以及等比数列的概念可知数列是首先为，公比为的等比数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可知，
又由题意，
数列的前项和为，
又，都有，故只需，
而关于单调递增，
所以关于单调递减，关于单调递增，
所以当时，有，
因此，即，解得，
综上所述：的取值范围为.
4．(1)或
(2)（i） （ii），证明理由见解析.
【分析】（1）求出切线，令切线过原点或切线斜率为即可；
（2）（i）利用导数，求出的最小值，令求解即可；
（ii）分别对和取对数，对进行放缩，再利用（i）的结论进行累加和裂项求和，证明即可.
【详解】（1）由已知，定义域为，
∵，
∴，∴切点即，
又∵，
∴由导数的几何意义，函数在点处的切线斜率为，
∴函数在点处的切线方程为，
整理得，.
若切线在两坐标轴上截距相等，则
①当切线过原点时，，解得，切线方程为，
②当切线不过原点时，斜线斜率，解得，切线方程为.
∴的值为或.
（2）（i）由（1）知，，令，解得，，
若为正整数，则，
∴当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
∴当时，的极小值，也是最小值为，
若当时，恒成立，则的最小值，
设，则，
当时，，在区间上单调递减，
∴当时，单调递减，
又∵，，
∴使的正整数的最大值为，
∴当时，使恒成立的正整数的最大值为.
（ii），理由证明如下：
∵当且时，
∴
（），
又∵，∴，
①当时，，
②当时，
由（i）知，，恒成立，，
∴当时，，，即恒成立，
∴，
∴
，
综上所述，当且时，，即有.
【点睛】易错点睛：本题用到了两次放缩，一次是对的放缩，一次是应用题中证明结论进行放缩后裂项求和，如果直接进行第二次放缩，再求和时会发现放缩过度，导致无法证明，因此对进行了分类讨论，当时，不进行第二次放缩，当时，再进行二次放缩裂项求和.
5．(1)
(2)
【分析】（1）利用累加法即可求得的通项公式；
（2）先利用错位相减法求得，从而将问题转化为恒成立问题，再利用对勾函数的单调性即可得解.
【详解】（1）因为，
所以当时，，
故，，……，，
上式相加得，，
又，所以,
当时，满足上式，所以，
又，所以．
（2）因为，
所以，①
，②
得，
，
所以，
所以可化简为，
因为恒成立，所以，
因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以当，即时，；
当，即时，，且；
所以，故．
6．(1),
(2)
(3)
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.，，
，分别利用“ ”法和“ ”法求解.
（2）由（1）知当n为奇数时，，
当n为偶数时，，然后分别利用裂项相消法和错位相减法求和，然后相加即可.
(3)把恒成立转化为求最大值问题,作差比较大小,应用单调求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
因为，，
所以，
解得d=1.
所以的通项公式为.
由，
又，得，
解得，
所以的通项公式为.
（2）当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
①
由①得 ②
由①②得，
，
，
所以.
所以.
所以数列的前2n项和为.
（3）因为,且,
而,故
即,可得,对于恒成立
令,
当时, ,即,所以,
当时, ,即
所以,所以
7．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可；
（2）根据等比数列的前项公式可得，参变分离可得，再根据的单调性求解最大值即可.
【详解】（1）由可得，且，
故是以2为首项，3为公比的等比数列，故，
所以，又，
故，即.
（2）由（1）为等比数列，故，
故即恒成立，求的最大值即可.
设，则，
令有，故当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.
又，故为的最大值，为，
所以，.
8．(1)；
(2).
【分析】（1）根据题意可得，，再利用错位相减即可求得；
（2）将问题转化为对于恒成立，判断出数列为递减数列，只需求出此数列的最大项即可得实数的取值范围.
【详解】（1）解：设等比数列的首项为，公比为．
依题意是，的等差中项，
有，
代入，
得，
所以，
．
，
解之得或，，
又单调递增，
，，
；
所以，
①
②
由①-②可得，
，
，
所以；
（2）解：因为对于恒成立，
即对于恒成立，
等价于对于恒成立，
即对于恒成立，
因为，
又因为，
所以，
所以数列为递减数列，
所以当时，的最大值为，
所以.
故实数的取值范围为.
9．(1)，，
(2)
【分析】（1）根据已知条件，可推得，又已知切线方程，设出切点，根据导函数即可解得的值；
（2）由已知可得，，进而可推得是等差数列，求出，.则原不等式可转化为，对是奇数以及偶数进行讨论，即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）因为，，
，
又，，
所以有，解得，所以，.
因为函数与直线相切，设切点为，
则，，
即，解得，所以，，，，
所以.
（2）由（1）知，，即.
当时，，解得或（舍去）；
当时，有，，
所以有，整理可得，
因为，所以，即.
所以，是以为首项，1为公差的等差数列.
所以，，.
则不等式对于任意恒成立，可转化为
，
即对于任意恒成立.
①当为偶数时，即有恒成立，
因为，
当且仅当，即时等号成立，此时有；
②当为奇数时，即有恒成立，
令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
又，，
所以当为奇数时，最小值为.
所以，，即有.
综上所述，.
【点睛】在求解数列不等式恒成立时，常采用分离参数转变为求最值的方法，然后结合不等式或者构造函数求导得到数列的单调性，进而得到最值.本题将分离后，转化为对于任意恒成立.考虑到的正负问题，对分为奇数和偶数讨论，然后结合基本不等式以及构造函数求导得到的单调性，进而得到最值，最终求得的取值范围.
10．(1)
(2)
【分析】（1）由得出的递推关系，结合得等比数列，从而得通项公式；
（2）利用裂项相消法求得和，不等式可变形为，令，利用作差法得出的单调性，得最大项，从而得的取值范围．
【详解】（1）因为数列的前n项和满足，
当时，，
两式相减得：，即，
当时，，解得：，
可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.
（2）由（1）可知：，
所以
，
对任意的，不等式都成立，即，
化简得：，
设，
因为，
所以单调递减，则，所以，
所以实数k的取值范围是．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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