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专题 10 等比数列的单调性
【湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高三下学期2月收心考试数学试卷】.
已知数列是等比数列，则“存在正整数k，对于恒成立”是：“为递减数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
角度一、取与 ，利用等比数列的定义与性质分类讨论先判定充分性再判定必要性即可；角度二、先判定必要性，再取前两项，结合等比数列的定义与性质分类讨论的大小判定充分性即可.
角度一、
取两种特殊情况说明：时显然成立；
当时，理由如下：
因为是等比数列，设公比为，则，
当时，，即，
若，则，
注意到，当时，，与假设矛盾，舍去，
故，此时，则为递减数列；
若，则或，
注意到，当时，，与假设矛盾，舍去，
故，此时，则为递减数列；
综上，当时，为递减数列，即充分性成立；
当为递减数列时，，即成立，即必要性成立；
故选：C.
角度二、
（1）若为递减数列，则，取，则对，都有成立.
（2）若存在正整数k，对于恒成立，则，
（ⅰ）当时，与矛盾，
（ⅱ）当时，∵，∴，同理，∴，与矛盾，
（ⅲ）当时，∵，∴，同理，此时递减.
综上：选C.
分类讨论的正负来确定公比的范围判定充分性，再判定必要性即可.
由已知，一方面由“存在正整数k，对于恒成立”得
①当时，，此时，数列是递减数列
②当时，，此时，数列是递减数列
因此，由“存在正整数k，对于恒成立”可得数列是递减数列.
另一方面，由数列是递减数列得，此时存在正整数.
综上，选C.
（2023·全国·模拟预测）
1．已知是等比数列，则甲：数列为递增数列，乙：，恒成立，则甲是乙的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2023·上海徐汇·统考一模）
2．已知数列为无穷数列．若存在正整数，使得对任意的正整数，均有，则称数列为“阶弱减数列”．有以下两个命题：①数列为无穷数列且（为正整数），则数列是“阶弱减数列”的充要条件是；②数列为无穷数列且（为正整数），若存在，使得数列是“阶弱减数列”，则．那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．① ②都是真命题 D．① ②都是假命题
（2023·上海崇明·统考二模）
3．已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则（ ）
A．当时，数列单调递减 B．当时，数列单调递增
C．当时，数列单调递减 D．当时，数列单调递增
（2023上·上海普陀·高三曹杨二中校考期中）
4．已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的满足，则下列选项之中，不可能成立的为（ ）
A． B． C． D．
（2022·全国·高三专题练习）
5．已知定义在上的单调递增函数，对于任意的，都有，且恒成立，则 ．
（2024上·北京昌平·高三统考期末）
6．已知数列．给出下列四个结论：
①；
②；
③为递增数列；
④，使得．
其中所有正确结论的序号是 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】利用充分必要条件的定义，分别讨论甲乙的充分性与必要性，结合等比数列的通项公式分类讨论即可得解.
【详解】设等比数列的公比为，则．
当为递增数列时，，即，恒成立，故充分性成立；
当，恒成立时，，即，
若，则或，
当时，，与假设矛盾，舍去，
故，此时，则为递增数列；
若，则或，
当时，，与假设矛盾，舍去，
故，此时，则为递增数列．
综上所述，当，时，为递增数列，故必要性成立；
所以甲是乙的充要条件．
故选：C．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分类讨论解不等式，从而推得其必要性成立.
2．C
【分析】
对于①：根据“阶弱减数列”的定义结合充分必要条件分析判断；对于②：分析可得对一切正整数恒成立，分、和三种情况，分析求解.
【详解】对于①：因为，
若该数列为“弱减数列”，
因为，则，
可得，即，
同理可得，所以；
当时，，
所以该数列为“弱减数列”；
综上所述：数列是“阶弱减数列”的充要条件是，故①是真命题；
对于②：因为，显然，
若存在使得数列为“2阶弱减数列”，
则，即，整理得，
所以对一切正整数恒成立，
若，当时，当，则；
当为奇数，；
可知不合题意，所以，
则，
当时，
则，
可得，不合题意；
若，取，则，符合题意；
若，则，则，
取，则，符合题意；
综上所述：存在，使得数列是“阶弱减数列”，则．故②是真命题.
故选：C.
【点睛】方法点睛：对于新定义问题时，可以通过举例或转化法理解新定义，进而根据新定义分析求解.
3．D
【分析】根据数列的定义，求出通项，由通项讨论数列的单调性.
【详解】数列是各项为正数的等比数列，则公比为，
由题意，得，
时，，有，，数列单调递增，A选项错误；
时，，，若数列单调递增，则， 即，由，需要，故B选项错误；
时，，解得，
时，，由，若数列单调递减，则， 即，而 不能满足恒成立，C选项错误；
时，，解得或，由AB选项的解析可知，数列单调递增，D选项正确.
故选：D
【点睛】思路点睛：此题的入手点在于求数列的通项，根据的定义求得通项，再讨论单调性.
4．C
【分析】分类讨论，结合等比数列的通项和性质分析判断.
【详解】当时，则有：
①当，则为非零常数列，故符合题意，A可能成立；
②当，则为单调数列，故恒不成立，即且不合题意；
当时，可得，则有：
①当，若为偶数时，则；
若为奇数时，则；
故符合题意，B可能成立；
②当，若为偶数时，则，
且，即；
若为奇数时，则，且，
即；故符合题意，D可能成立；
③当，若，可得，
，则，可得，则，这与等比数列相矛盾，
故和均不合题意，C不可能成立.
故选：C.
5．9
【分析】令，根据函数的性质结合已知，求出的值，通过归纳的思想求出时，的表达式，最后代入求值即可.
【详解】令，则有，若，则有，显然矛盾；
若，则有，显然与已知矛盾，当大于3的整数时，与已知函数是单调递增相矛盾，故，所以有；
令时，；
令时，，根据函数的性质可知：；
令时，；
令时，；
令时，；
令时，；根据函数的性质可知：；
令时，；根据函数的性质可知：；
令时，；根据函数的性质可知：，
令时，；
令时，；
令时，；
令时，；
所以归纳得到当时，
所以
故答案为：9
6．①②④
【分析】利用指数函数的单调性可判定①②③，根据条件递推得，结合不等式性质可判定④.
【详解】根据题意可知，
因为，所以，即①正确；
则，
即，故③错误；
依次递推有，
，
，
，故②正确；
因为，所以，则，依次可知，
所以，故④正确.
故答案为：①②④
【点睛】难点点睛：利用指数函数的单调性一一列举得出，从而可判定②③，此外列举的过程中可得出，再根据不等式性质可判定④.
答案第1页，共2页
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