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【一题多变】斐波那契数列
【2024届T8联考】一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则______．
A．1 B． C．2 D．
【解析】由题意得，
所以
，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故，
所以，
故选：A．
感悟反思：从本题的解答给了我们一条解决数列问题的方法：当我们一开始搞不清楚这是什么数列时，不妨先从特殊出发，计算一下前几项，然后再去寻找规律．从前几项的研究我们发现每一项（第三项开始）是前两项的和，故此数列是斐波那契数列，本题考查的是斐波那契数列的性质．
【变化角度】条件不变，问题改为：除以2的余数为多少？
【思路分析】根据题意得，罗列数列中前若干项除2看余数，找规律即可.
【详解】根据题意可知，则，
则各项除以2余数为，可知各项除以2的余数是以1，0，1三个数循环的数列，
所以除以2的余数为0.
故答案为：0
【举一反三】
1．五位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；
②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，
当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为
2．斐波那契数列，又称黄金分割数列，因意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用. 在数学上，斐波那契数列被以下递推的方法定义：数列满足：，．则 ；被4除的余数为 ．
【变换角度】条件不变，问题改为：则为的第几项？
【思路分析】根据题意得，利用该性质一一相加计算即可.
【详解】
由题意得，
所以，
即为的第2024项.
【举一反三】
3．数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8…，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”.若，则（ ）
A．175 B．176 C．177 D．178
4．十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，，记其前项和为，设(为常数)，则 ； .
【变换角度】添加条件：若，则为多少（用表示）？
【思路分析】添加1，利用转化化简即可.
【详解】
由题意得，
则问题式.
【举一反三】
5．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列. 并将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
6．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前n项和为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
7．斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用.斐波那契数列满足，.给出下列四个结论：
① 存在，使得，，成等差数列；
② 存在，使得，，成等比数列；
③ 存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列；
④ 存在正整数，且，使得.
其中所有正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．数学史上有很多著名的数列，在数学中有着重要的地位.世纪初意大利数学家斐波那契从兔子繁殖问题引出的一个数列：，，，，，，，……，称之为斐波那契数列，满足，，.19世纪法国数学家洛卡斯提出数列：，，，，，，，……，称之为洛卡斯数列，满足，，.那么下列说法正确的有（ ）
A． B．不是等比数列
C． D．
9．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶数 B．
C． D．
10．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为，，，边长为斐波那契数的正方形所对应扇形面积记为，则（ ）
A． B．
C． D．
11．斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：且中，则B中所有元素之和为奇数的概率为 ．
12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”．那么 是斐波那契数列中的第 项．
13．意大利数学家斐波那契年~年）以兔子繁殖数量为例，引人数列：，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设是不等式的正整数解，则的最小值为 ．
14．斐波那契，意大利数学家，其中斐波那契数列是其代表作之一，即数列满足，且，则称数列为斐波那契数列.已知数列为斐波那契数列，数列满足，若数列的前12项和为86，则 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．7
【详解】这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本，否则，费时费力.首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了.
这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有1、1、2、3、5、
8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环，周期是8.在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数，所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数，后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有7个，也就是说拍手的总次数为7次.
2． 5 3
【分析】空一：直接运用递推公式进行求解即可；
空二：根据递推公式，求出前13项的值，然后按题目要求分别被4除，根据余数的周期性进行求解即可.
【详解】空一：因为，，
所以；
空二：由，，可以求出该数列的前13项，分别为：
，它们分别被4除，余数分别为：
，可以看出余数的周期为6，因为，
所以被4除的余数为3，
故答案为：5；3
3．B
【分析】根据数列的特点，每个数等于它前面两个数的和，移项得： ，使用累加法求得，然后将中的倍展成和的形式（如）即可求解．
【详解】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，，
由，得 ，
所以，
，
，
，
将这个式子左右两边分别相加可得：
，
所以.
所以
.
故选：B．
4．
【解析】因为斐波那契数列满足，，通过归纳可以得出，,代入即可求解
【详解】因为斐波那契数列满足， ，，
∴；；； …；
所以，
因为
．
故答案为：，．
【点睛】本题考查斐波那契数列的理解和运用，考查化简和运算能力，属于中档题．
5．AB
【分析】由可得，可判断B、D选项；先计算数列前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列是以6为最小正周期的数列，可判断A、C选项.
【详解】对于A选项：
，，
所以数列是以6为最小正周期的数列，又，所以，故A选项正确；
对于C选项：，故C选项错误；
对于B选项：斐波那契数列总有：，
所以，，
所以，故B正确；
对于D选项：，，
，，
。
所以
，故D选项错误；
故选：AB.
【点睛】本题考查数列的新定义，关键在于运用数列的定义研究其性质用于判断选项，常常采用求前几项的值，运用归纳法找到规律，属于难度题.
6．ABD
【分析】根据斐波那契数列的特征得出数列为，，，，，，，再利用数列的周期性可得出选项A和C的正误，利用波那契数列的特征，可判断出选项B和D的正误.
【详解】根据斐波那契数列的特征可以看出，数列为依次连续两个奇数和一个偶数，
所以数列为，，，，，，，则数列为周期数列，且周期为，
选项项A，因为，故选项A正确；
选项B，因为，故选项B正确；
选项C，因为，，且，，，
所以或，故选项C错误；
选项D，因
，故选项D正确.
故选：ABD.
7．C
【分析】由递推公式得性质后判断，
【详解】对于①，由题意得，故成等差数列，故①正确，
对于②，由递推公式可知，，中有两个奇数，1个偶数，不可能成等比数列，故②错误，
对于③，，
故当时，对任意，，，成等差数列；故③正确，
对于④，依次写出数列中的项为，
可得，故④正确，
故选：C
8．AC
【分析】利用斐波那契数列和洛卡斯数列的性质与特点一一代入检验即可.
【详解】对于A，当时，，等式成立；
当时，，等式成立；假设当时，成立，
那么当时，，
又，，，等式成立；
综上所述：成立，A正确；
对于B，，，又，
是以为首项，为公比的等比数列，B错误；
对于C，，
，C正确；
对于D，取，则，，有，D错误.
故选：AC.
9．CD
【分析】推导出当或时，为奇数，可判断A选项的正误；利用累加法可判断B选项的正误；利用数学归纳法可判断C选项的正误；利用扇形的面积公式结合斐波那契数列的定义可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，，，，，，，，
以此类推可知，当或时，为奇数.
因为，所以，为奇数，A选项错误；
对于B选项，，，，，
上述不等式全加得
，
所以，，B选项错误；
对于C选项，，，
所以，、均满足.
假设当时，成立，
则，
当时，
，
所以，当时，等式也成立，
因此，对任意的，，C选项正确；
对于D选项，由已知条件可知，，
则，D选项正确.
故选：CD.
【点睛】方法点睛：与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略：
（1）与函数有关的证明：与已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明；
（2）与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑使用数学归纳法.
10．AD
【分析】根据数列的递推公式可判断选项A，再根据累加法计算判断选项B，根据扇形的面积公式判断选项C，再次应用累加法及递推公式判断选项D.
【详解】由递推公式，可得，，
所以，A选项正确；
又由递推公式可得，，，类似的有，
累加得，
故错误，B选项错误；
由题可知扇形面积，
故，
故错误，C选项错误；
由，
，
，
，
类似的有，
累加得，
又，所以，
所以正确，D选项正确；
故选：AD.
11．
【分析】
记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C的子集为E，集合D中含有奇数个元素的子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B可看成，然后可解.
【详解】由斐波那契数列规律可知，集合中的元素有674个偶数，1350个奇数，
记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C的子集为E，集合D中含有奇数个元素的子集为F，
则所有元素之和为奇数的集合B可看成，
显然集合E共有个，集合F共有个，
所以所有元素之和为奇数的集合B共有个，
又集合A的非空子集共有个，所以B中所有元素之和为奇数的概率为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将集合分拆成所有偶数组成的集合及所有奇数组成的集合，利用二项式系数的性质求出含有奇数个奇数组成的集合个数.
12．2016
【分析】根据已知条件可以得到，则,即依次类推即可解得.
【详解】斐波那契数列总有则
，即
，
，
……，
，
∴
故是斐波那契数列中的第2016项．
故答案为：2016
13．8
【分析】将不等式化为，即，再根据斐波那契数列为递增数列，且，可得答案.
【详解】由，得，
得，得，
得，，
所以，
令，则数列即为斐波那契数列，
，则，显然数列为递增数列且，所以数列亦为递增数列，
由，得，，，，
，，
因为，，
所以
使得成立的的最小值为8．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：根据斐波那契数列的通项公式，利用对数知识将不等式化为斐波那契数列进行求解是本题解题关键.
14．8
【分析】利用斐波那契数列定义可写出数列的项，再利用，代入n的值，可求得数列的项之间的关系，进而得解.
【详解】斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…….
由得：，，，
则，
同理：，，，，，
得：，，，，
则，，
则，
则
故答案为：8.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据递推关系求数列的项，解题的关键是理解斐波那契数列，写出对应的项，再利用数列的递推关系求出数列的项的关系，即可求解，考查学生的理解能力与运算求解能力，属于难题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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