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专题1公切线中的复杂计算
【2024届四川成都零模，T16】一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为______．
【方法名称】消元法
【思路分析】利用切点表示出切线方程，再由公切线定义得到切点坐标满足的方程组，通过消元得到两个切点横坐标满足的关系，带入目标式化简求的结果.
在处切线：
在处切线：
则
【举一反三】
1．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 .
2．已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数m的最大值为 .
【方法名称】整体带入法
【思路分析】利用切点表示出切线方程，再由公切线定义得到切点坐标满足的方程组，通过对目标式打开的结构观察，将超越式转化为代数式整体带入求得结果.
在处的切线：即 ①
在处的切线：即 ②
由公切线定义可知，①②重合，则
由③变形可得： ⑤
将⑤代入④得：⑥
∴
【举一反三】
3．设直线l是函数，和函数的公切线，则l的方程是 ．
4．已知曲线与的两条公切线的夹角余弦值为，则 ．
5．过点可以作函数两条互相垂直的切线，则实数的取值范围是 ．
6．，则b的最大值是 ．
7．若直线l与曲线、曲线都相切，则直线l的方程为 .
8．已知函数，（），若经过点存在一条直线l与的图象和的图象都相切，则实数a的值为 .
9．已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为 .
10．已知直线是函数与函数的公切线，若是直线与函数相切的切点，则 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】分别求得函数和在点和点处的切线方程，再由切线相同求解.
【详解】因为，所以，
则在点处的切线方程为：，即；
在点处的切线方程为：，即，
因为一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，
所以，则 ，解得，
所以.
故答案为：.
2．##0.5
【分析】
设出公切线和两个曲线相切的切点，，根据导数的几何意义找到的关系，然后化二元为一元，将用一个量表示，结合导数工具求解.
【详解】由题意可知：，
设公切线和相切于，和相切于，
因为就没有垂直于轴的切线，故公切线斜率存在，设公切线斜率为.
于是
由可得，；
由化简整理可得，.
根据可得，，
故，
设，则，
1.当时，显然；
2.当时，则，
令，则，
故在上递增，注意到，
①当时，，；
②当时，，；
综上所述：当时，；当时，；
则在上递增，在上递减，故，
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的突破口在于，通过导数的几何意义，找出参数和两个切点横坐标的关系，利用消元的思想，消去一个未知量，然后构造函数进行求解.
3．
【分析】
根据导数几何意义和斜率的比值定义式，以及导数确定函数的单调性即可求解.
【详解】设直线l与函数的切点为A，
直线l与函数的切点为B，
，所以，
，所以，
所以，
后面等式整理得，
代入前面等式整理得，
化简得，
令，
因为，
所以，
所以，
令，
所以，
容易知道，为减函数，
，
所以恒成立，
所以单调递增，
所以最多一个零点，
容易知道，
所以只有一个解，
故，
所以A点坐标为，
切线斜率为，
所以切线方程为，
即.
故答案为：.
【点睛】双切点联立方程，结合导数几何意义，构造函数是关键.
4．
【分析】根据已知条件作出图象，利用反函数的性质及二倍角的正切公式，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程，结合指数对数的运算性质即可求解.
【详解】曲线与互为反函数，图象关于对称，如图所示，
由题意可知，，
所以，
解得或，
因为为锐角，
所以
由对称性，不妨取直线进行研究，则直线的倾斜角为，
，
设切点的横坐标为，切点的横坐标为，则，，
，
所以，
所以直线的方程为即
，
所以，
所以直线的方程为即
所以即
所以即，
所以，即，于是有，
所以.
故答案为：.
【点睛】解决此题的关键是根据已知条件作出图象及两曲线互为反函数，利用反函数的性质解决曲线的公切线问题，充分利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解.
5．
【分析】先把函数转化为分段函数，由切线相互垂直转化为斜率之积为，得到两切点的范围，，且，根据在两切线上可用表示出，结合的范围可求的取值范围.
【详解】当时，
，，
当时，
，，且，
设两切点横坐标分别为，，且，
因切线相互垂直，故，故，
故两切点分别为，，
切线方程分别为：，，
即，，
由题意为两切线的交点，
故，，
所以，
得
由得，即，
故
因，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是设出切点横坐标为，再写出切线方程，再解出切线方程的交点横坐标，根据切线斜率乘积为得，化简得，再利用基本不等式即可得到的范围.
6．
【分析】将不等式变形为，等价于直线在与之间，通过图象发现当且仅当l为两函数的公切线时，b获得最值，故利用导数的几何意义可得到（其中为l与的切点的横坐标），故构造，研究其零点的范围即可
【详解】，变形得．
问题等价于直线在与之间，
如图所示．
当且仅当l为两函数的公切线时，b获得最值．
设l与的切点为，l与的切点为，
由公切线得，
得，
得
，
发现为的一个解．
令，
令，得，
所以当，当，
在上单调递减，在上单调递增，，
而，，
的两根居于两侧，
已知一根为，所以另一根大于，
因为在上单调递减，
所以当时，b取得最大值，该值为．
故答案为：
【点睛】关键点睛：这道题的关键一是能看出直线在与之间，通过数形结合的方法得到当且仅当l为两函数的公切线时b获得最值，关键二是构造借助导数的方法得到的两根居于两侧，然后根据二次函数的函数进行判断即可
7．或
【分析】设切点分别为，，分别求出两曲线的切线方程是和，解方程，且，即得解.
【详解】由得，设切点为，所以切线的斜率为，
则直线l的方程为：，即；
由得，设切点为，所以切线的斜率为，
则直线l的方程为：．
所以，且，
消去得，故或，
所以直线l的方程为：或．
故答案为：或.
8．3或
【分析】由导数的几何意义可知直线l的斜率为，又因为直线l过点，所以，同理可得，解方程即可得出答案.
【详解】根据题意，可设直线l既是函数的图象在处的切线，
也是函数的图象在处的切线，
因为，，
所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为：
又因为直线l过点，所以，
所以，同理可得，
即，
于是先根据②得到，进而代入①得，即，
再代入③得，
然后化简得到，解得或.
故答案为：3或.
9．2
【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案.
【详解】设是图像上的一点，，
所以在点处的切线方程为，①，
令，解得，
，所以，
，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去），
所以，此时①可化为，
所以.
故答案为：
10．
【分析】根据导数的几何意义列方程即可求出．
【详解】，
，
，是直线与函数相切的切点，
，，
，
，
即直线的方程为，
，
，
设与的切点坐标为，，
，
切线方程为，
即，
，，
解得，
，
．
故答案为：．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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