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专题9 数列的放缩求范围问题
【2024届合肥一中高三第二次质检第8题】．已知数列的前项和为，
且，若，则（ ）
A． B． C． D．
根据条件配方化简，开方得，结合累加法得通项，再由裂项相消计算即可.
根据题意易知：，显然由可得，
且
故
即，
故，
上述式子累加，
得，
故，
当时，满足上式，所以，
所以，
所以
，故，
因为，所以，
所以，故选A．
（注：的放缩结构不唯一，如也可放缩为）
感悟反思：求数列放缩问题可放缩为累加法求通项，可放缩为裂项求和
（2024·江苏·高二专题练习）
1．己知正项数列满足，则下列正确的是（ ）
A． B．数列是递减数列
C．数列是递增数列 D．
2．已知数列满足，，、、，若对任意的，都有，则（ ）
A． B． C． D．
根据条件构造，利用等比数列的求和公式放缩求和即可.
根据题意易知：，显然由可得，
因为
故，
故
故，
又，故，故，选A．
感悟反思：数列放缩问题可放缩为等比数列求通项和求和
总评
数列证明题中，有的迭代递推式可求通项，有的不可求通项.在遇到相关问题时，审递推式特征很重要，能帮助预测或把握解答方向．
本题属于不可求通项的类型，所以估计上下界时需要用到放缩的方法，这一类通项型数列放缩的问题：关键点有如下部分：①先判断出数列的单调性和大致的取值范围，方便后续放缩；②将用的形式表示（其中因式分解，取倒数，取对数、根号平方等次数变形，裂项等等是常用的变形技巧），再累加法求通项，但是显然求不了和，需要放缩为能求和的形式（特别的，放缩为常数时对应等差数列）．（：变换成这种形式同理，累乘放缩，特别的放缩为常数时对应等比数列）
（2023年11月重庆市一中高三上月考第12题）
3．已知数列的首项，且满足，以下正确的有（ ）
A．，数列一定单调递增
B．，使得数列单调递增
C．若，则
D．，数列的前项和
（江苏省南通市海安市2023年11月高三期中第12题）
4．已知数列满足，且，则（ ）
A．为递增数列
B．
C．
D．
（2024届华南师大附中高三综合测试（二）第12题）
5．已知数列满足，，则（ ）
A．为单调递减数列 B．
C． D．
（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）
6．已知数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
（2024·全国·高三专题练习）
7．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛应用，其定义为:时， .若数列 ，则下列结论:①的函数图像关于直线对称；②；③；④ ；⑤.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
（2024上·福建·高二期末）
8．记是各项均为正数的数列的前n项和，．数列满足，且则下列选项错误的是（ ）
A．
B．
C．数列的最大项为
D．
（2024·全国·高三专题练习）
9．已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·江西景德镇·统考一模）
10．数列前n项和为，且满足：，，，，下列说法错误的是（ ）
A．
B．数列有最大值，无最小值
C．，使得
D．，使得
（2023·全国·高三专题练习）
11．已知数列中，，，记，，则下列结正确的是（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】选项A、D，需要借助放缩法进行判断；选项B、C，判断数列的单调性，需要对数列的前后项作商并与比较大小；
【详解】因为，故，得，
对于选项A，由可得：，
两边同乘，可得：，，则选项A错误；
对于选项B，易知，，
因此，
则，选项B错误；
对于选项C，，，
因此，
又，同时，
得，即，选项C错误；
对于选项D，当时，，
则，
则有，则选项D正确．
故选：D.
2．C
【分析】将等式变形为，可知数列为等比数列，进而可求得该数列的通项公式，再利用累加法可求得，根据题意得出，进而可求得的值.
【详解】当且时，由可得，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，
，
对任意的，都有，，即，因此，.
故选：C.
【点睛】本题考查了数列递推关系、考查累加法求数列通项、极限性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
3．ABD
【分析】运用作差比较法、特殊值法，取对数法逐一判断即可.
【详解】对于A，根据条件可知数列每项均正，，所以数列单增，正确：
对于，取，由可知，当时，，由此类推可得正确；
对于，由条件数列每项均正，，又，所以，C错；
对于D，，
因此有，所以有，
即，
设，
当时，，所以此时函数单调递增，
故
所以，
因此有，
即，所以D对，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用取对数法、特殊法.
4．ABC
【分析】作差比较大小判断单调性判断A；推导得，计算判断B；利用裂项相消法求和判断C；借助基本不等式及等比数列前n项和公式计算判断D.
【详解】显然，而，则，，
又，即有与同号，而，则，
对于A，，即，为递增数列，A正确；
对于B，，则，
因此，B正确；
对于C，由，得，即，
因此，C正确；
对于D，，因此（当且仅当时取等号），
所以，D错误.
故选：ABC
【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.
5．ABD
【分析】根据，得，结合选项利用各项间关系，构造函数依次求解即可.
【详解】由题意可得，
对于A，令，则，所以在单调递增，在单调递减，所以，当且仅当时等号成立，
若，又，则得，则与题设矛盾，所以，
设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，即，当且仅当时等号成立，所以，
由可知当时，，则，，即，
同理可得，…，，所以当时，，所以，
所以数列为单调递减数列，选项A正确；
对于B，只需证明，
令，，令，，
则由均值不等式可知，
所以在上单调递增，所以，，选项B正确；
对于C，，设，，
设，，
则，所以在上单调递减，所以随着减小，增大，又因为随着的增大减小，所以，即，选项C错误；
对于D，由累乘法可知要证只需证明
，
令，，
则，所以恒成立，
所以，所以，
累乘得，，
所以，选项D正确；
故选：ABD
【点睛】本题考查了数列的综合应用，结合构造的模型函数进行求解.
6．A
【分析】解法一：直接利用关系式的变换和数列的递推关系式，进一步利用数列的求和的应用和裂项相消法的求和，放缩法的应用求出结果；解法二：由于数列单调递减，结合Stolz定理可得，由数学归纳法与放缩裂项求和即可求得结论.
【详解】解法一：由，且，
所以；
所以，
故，，
，
所以，即；
故，
所以；
所以；
故；
故，
由于，所以.
解法二：因为，则，所以，
所以单调递减，又，排除等比放缩，
尝试比较与趋于0的速度，由Stolz定理：
，
故当时我们有，事实上，结合及，
下面试证．
用归纳法证明：当时，有成立．
当时，，故成立；
假设时，有成立．
则当时， ，即，故时命题成立．
综合可知：当时，有成立，故，
，
又，所以.
故选：A．
7．D
【分析】根据黎曼函数的定义和性质逐项分析.
【详解】对于①：若 ，则 ， ，关于 对称，
若为无理数，则 也是无理数， ，也关于 对称，
若 ，并且 是既约的真分数，则，并且 是互质的 ， ，
也是真分数，若 不是既约分数，则 与 必定存在公约数 ，
不妨假设 ，则有 ，即 存在大于1的公约数，与题设矛盾，故 也是既约分数， ，即关于 对称，
故①正确；
对于②， 时， ，故②错误；
对于③，当 时，有 ， ，但当 时 ，故③错误；
对于④， ， ，
构造函数 ， ，则 ， 单调递增，
，即 当 时 ，
， ，
当 时， ， ， ，故④正确；
对于⑤，
，故⑤正确；
故选：D.
8．C
【分析】由已知条件结合与的关系，解出数列的通项公式，再求选项中数列求和和最值问题.
【详解】由 与 ，得 ，又，
所以 ，即
因为，所以，所以.
又 ，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列.
则，所以．
当时，， 也符合.
∴，A选项正确；
当时，
，
而时，也成立，故B选项正确；
设，，
当时，解得，
故数列的最大项为，C选项错误；
，D选项正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：题中数列不等式涉及放缩，通项放缩技巧证明数列不等式的关键在于观察通项特征和所证结论，适当调整放缩幅度，做到放缩得恰到好处，同时还要做到放缩求和两兼顾.
9．B
【分析】先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出．
【详解】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.

10．D
【分析】A选项，令求出，再令，求出；B选项，先得到，再求出，单调递减，故B正确；C选项，当时，，时，，证明出C正确；D选项，作差，并结合C选项中结论计算出，故D错误.
【详解】A选项，中，令得，
因为，解得，解得，
中，令得，
即，解得，负值舍去，A正确；
B选项，当时，，故，
，
故，
因为，故，，
故，则单调递减，
数列有最大值，无最小值，B正确；
C选项，当时，，此时等号成立，
当时，由于，
所以，
综上，，使得，C正确；
D选项，
，
由C选项可知，，，
故，
所以恒成立，
故不存在，使得，D错误.
故选：D
【点睛】数列不等式问题，常常需要进行放缩，放缩后变形为等差数列或等比数列，在结合公式进行证明，又或者放缩后可使用裂项相消法进行求和，常常使用作差法和数学归纳法，技巧性较强.
11．D
【分析】根据数列特征得到，且与同号，结合裂项相消法求得，与比较，发现不恒成立，判断出A选项；结合，可得，判断出B选项；利用可得：，构造新函数可得：，得到，而根据一次函数与对数函数的增长速度，可得不恒成立，故判断C选项；根据题干条件得到，，进而求出，结合数列的单调性可得：，故D选项正确.
【详解】由，，可得：，故，所以，因为，所以，故，所以与同号，因为，所以，综上：，又因为，可得：，所以，因为，所以，所以，从而，所以不恒成立，选项A不成立
因为，所以恒成立，选项B不成立；
因为，所以，若，则，其中设（），则，所以在上单调递减，其中，当时，，所以
，故有，结合函数的增长速度，显然不恒成立，故选项C错误；
，∴可视为数列的前项和，
∵单调递增，∴，故恒成立，选项D正确.
故选：D
【点睛】数列与不等式结合，常常要进行适当放缩，或利用函数单调性研究数列的单调性，进而求出数列的范围或求和的范围，这道题目中需要构造函数，通过研究其单调性，得到是解集问题的关键.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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