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专题1 向量背景的最值问题
已知向量，向量满足，则的最小值为__________．
【方法名称】向量恒等式+基本不等式
【思路分析】利用向量恒等式将对角线的平方和转化为邻边平方和的两倍，再借助基本不等式放缩得以求解.
解：由向量数量积公式可得：
，
由基本不等式可得：，当仅当时等号成立，
所以，即，
所以，所以的最小值为．
故答案为：
【举一反三】
1．已知边长为2的菱形中，是边所在直线上的一点，则的取值范围为 ．
2．在中，若，，则面积的最大值为 ．
【方法名称】轨迹法
【思路分析】建系，求出对应点轨迹，即可求最值
解：法一： 解：设，，则
表示以为焦点，的椭圆
∴，∴
法二：利用向量加法，减法的几何意义，构造的轨迹为椭圆，如图
设，，由得C点轨迹为，∴的最小值．
法三：如图（1），，作，MC与AB交点为P，
由，知
∴点P在以点M、A为焦点的椭圆上，
以M、A中点为坐标原点建立如图（2）直角坐标系，则椭圆方程为：
设，则
∵，∴，∴的最小值．
【举一反三】
3．已知非零向量，，满足，，，则对任意实数t，的最小值为 ．
4．已知平面向量满足，与的夹角为，记，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【方法名称】换元法＋消元转化函数思想
【思路分析】换元转化函数最值．
解：法一：设，，设，则，
∵，则，即①
又∵，即②
①②联立，解得，
∴
由基本不等式：，即
∴，即，“＝”成立当且仅当“”，∴
法二：令，，即
平方后：①，②
①+②得：，
又∵，
当时，取最小值，
【举一反三】
5．在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，为边上的动点，则的最小值为 ．
7．在直角梯形中，，，，，点P在所在的平面内，满足，若M是的中点，则的取值可能是（ ）
A．7 B．10 C．13 D．16
8．已知平面向量，，满足，，，则的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．
9．已知平面向量满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．若平面向量，，满足，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知向量满足，若对任意的实数，都有，则的最小值为 .
12．已知平面向量，，满足，，，且，则的最大值为 ．
13．已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】取的中点，连接，利用平面向量的运算可得，结合菱形的几何性质可得答案.
【详解】
取的中点，连接，则，
所以，
当且仅当时，有最小值，则有最小值，
此时菱形的面积，
最小值为，
因为是边所在直线上的一点，所以无最大值，无最大值，
的取值范围为，
故答案为：
2．2
【分析】作出辅助线，利用向量线性运算得到，利用三角形面积公式求出最值.
【详解】设点为线段的三等分点，
因为，，
所以，，
则，
当且仅当时，等号成立，
故面积的最大值为2.

故答案为：2
3．
【分析】根据给定条件，求出向量与的夹角，变形等式，作出几何图形，借助向量的几何意义求出最小值作答.
【详解】因为，，则，而，于是，
又，则，作，使，如图，

由，得，即，令，则，
因此的终点在以点为圆心，2为半径的圆上，显然对，的终点的轨迹是线段确定的直线，
于是是圆上的点与直线上的点的距离，过作线段于，交圆于，
所以.
所以的最小值为.
故答案为：
4．C
【分析】根据条件，t +(1-t)=1，可知：若起点相同，则其终点共线，采取数形结合法进行解决.
【详解】如图，，，则，则，因为，其中t +(1-t)=1，于是与共起点，且终点共线，即在直线AB上，于是时（即）最小，最小值为1，无最大值.
故选：C.
5．A
【分析】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，，求出点坐标可得，利用二次函数的单调性可得答案.
【详解】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，
所以，因为D为BC的中点，所以，
，设，所以，
所以，可得，，
所以，
因为，所以.
故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是以为坐标原点建立平面直角坐标系，转化为坐标的运算求数量积.
6．##-2.56
【分析】根据题意，建立直角坐标系，运用坐标表示向量，用数量积求解即可．
【详解】由于，所以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系如图所示：

则有：，
设点，且，
所以，
则，
当时，取得最小值．
故答案为：．
7．BC
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由，可确定点P在以D为圆心，1为半径的圆上，设，由三角恒等变换与平面向量模长坐标运算即可化简为正弦型三角函数，结合函数性质可得其取值范围，从而得答案.
【详解】以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，

则点P在以D为圆心，1为半径的圆上，可设，
由题意知，，则，
所以，
则
，其中，
所以.
故选：BC.
8．C
【分析】根据向量的坐标运算，结合几何图形的几何性质，即可求解最值.
【详解】设平面向量，的夹角为，
，，
，则
由于，所以．
不妨设，．
，，
化为．故在以为圆心，以为半径的圆上运动，
如图所示，表示原点到圆上一点的距离，故当经过圆心时，距离最大或者最小，
故．
故选：C．

9．D
【分析】建立如图所示直角坐标系，由向量的坐标运算得点C的轨迹，进而根据三角形相似将转为求线段和最短，即可将根据图形求解
【详解】建立如图所示直角坐标系，由题意可设，，
则，，
由得，故C在以为圆心，半径为1的圆上，
取，则在AD上，则，又，∴，∴，即，
∴.
故选：D
10．A
【分析】可根据题意，把重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.
【详解】由题意可得：
，
，
即
故选：A.
【点睛】本题主要考查根据已知向量的模，求未知向量的模的方法技巧，把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点，属于中档题.
11．##
【分析】
利用数量积与模的关系结合二次不等式恒成立计算得，再根据向量不等式计算即可.
【详解】因为，所以对任意的实数恒成立，
即，
所以，所以.
所以，
当且仅当与反向时等号成立，即的最小值为.
故答案为：.
12．##
【分析】设，由题意分析知，所求为的最大值，设，的中点，由可得，即点的轨迹方程为以为圆心，半径为的圆，求解即可.
【详解】设，因为，
所以，所求为的最大值，当在同一平面时，
有最大值，如图建系，
不妨设，的中点，
由条件可知，，，，
由可知，，
消参可得：，即点的轨迹方程为以为圆心，半径为的圆，
所以的最大值为，故的最大值为.
故答案为：.
13．
【分析】本题用向量减法的模的几何意义解决.
【详解】
作图，，则，，
因为，所以起点在原点，终点在以B为圆心，1为半径的圆上；
同理，，所以起点在原点，终点在以C为圆心，1为半径的圆上，
所以的最小值则为，
因为，，当，，三点共线时，，所以.
故答案为：.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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