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专题2 复杂函数的有关零点不等关系问题
【2023年7月山东枣庄期末】已知函数有四个零点，则（ ）
A． B．
C． D．若，则
【方法名称】换元同构
【思路分析】利用换元将目标方程转化为，综合利用函数方程和同构等方法解决零点问题.
令，即
设在单调递增，单调递减
对于A：由题意可知存在2根为，
不妨，则
由图象可知：∵，∴．A不正确
对于B：
，B正确
对于C：，
，C正确
对于D：
由在单调递减，∴ D正确
【举一反三】
1．函数和有相同的最大值b，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点的横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知且，函数，则（ ）
A．若，则有且仅有1个零点
B．若，则在区间上单调递减
C．若有两个零点，则
D．若，则存在，使得当时，有
【方法名称】数形结合法
【思路分析】先根据条件构造函数，化简方程：，再根据函数图象确定参数取值范围、根据根的关系求等量关系，即可判断命题真假.
令
即当时单调递减且；当时单调递增
因此当有四个零点时，方程有两个大于零且小于e的不等实根，
设为，
由图可得，B正确
设
，A错，
因为，
C正确
当时
因为当时单调递减，所以，D正确
故选：BCD
【举一反三】
3．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数有两个不同的零点
B．存在实数，使得函数的图象与轴没有交点
C．函数的图象关于直线对称
D．若函数有四个不同的零点，则
4．已知函数，下列选项正确的是（ ）
A．当有三个零点时，的取值范围为
B．是偶函数
C．设的极大值为，极小值为，若，则
D．若过点可以作图象的三条切线，则的取值范围为
5．关于函数，，下列说法正确的是 （ ）
A．当时，在处的切线方程为；
B．当时，存在唯一极小值点，且；
C．对任意，在上均存在零点；
D．存在，在上有且只有两个零点．
6．已知函数的导函数为，则（ ）
A．函数的极小值为
B．
C．函数的单调递减区间为
D．若函数有两个不同的零点，则
7．已知函数有3个零点，，，则（ ）．
A．
B．
C．存在实数a，使得，，成等差数列
D．存在实数a，使得，，成等比数列
8．已知函数有三个不同的零点，，（其中），则（ ）
A．a的值可以为－4 B．
C． D．
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上单调递增
B．若的图象在处的切线与直线垂直，则实数
C．当时，不存在极值
D．当时，有且仅有两个零点，且
10．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增，在上单调递减
B．若方程有4个不等的实根，则
C．当时，
D．设，若对，，使得成立，则
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．ABD
【分析】利用导数的性质，根据最大值的定义，结合数形结合思想、指数与对数恒等式进行求解即可.
【详解】对于AB，，
当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；
当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，
由，
当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；
当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，
于是有，，因此选项AB正确，
对于CD，两个函数图像如下图所示：

由数形结合思想可知：当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，
不妨设，
且，
由，又，
又当时，单调递增，所以，
又，又，
又当时，单调递减，所以，
，
，于是有，即，
因为，所以选项C错误，D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，结合等式是解题的关键.
2．ABD
【分析】对于AC选项，构造函数，结合单调性和最值判断解的个数，对于B选项，结合零点存在性定理判断函数单调性，对于D选项，由对分析可知，存在，使得当时，不等式恒成立，即可判断.
【详解】对于A：时，.
则，即，
令时，，
在上，单调递增，在上，单调递减.
，所以此时有1个零点，所以A正确；
对于B：，
令为增函数，
，
因为，所以，则，所以，
所以在存在，使在上，在上，
所以在递减，在递增，且，
因为，所以，所以，
所以在上，所以在上递减，所以B正确；
对于C：时，有，
令时，，
在上，单调递增，在上，单调递减.
，
当时，，有两个零点，
当时，，有两个零点，
所以C项错误；
对于D：因为，由对分析可知，存在，
使得当时，不等式恒成立，即，
则对于恒成立，所以D项正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：（1）利用导数研究函数的单调性、零点等问题，往往要先构造函数，再利用导数研究函数的有关性质，例如本题涉及指数函数和幂函数常常构造形如形式的函数；（2）对于方程无法直接求根时，往往需要二次求导.
3．AD
【分析】对于选项A，当时，作出函数和的图象，利用数形结合进行判断即可；对于选项B，利用当时，即可得出判断；对于选项C，函数的定义域为，关于直线不对称，从而得出判断；对于选项D，利用函数与方程的关系，转化为当时，函数有两个不同的零点，构造函数，利用导数研究函数的极值进行求解即可.
【详解】函数的定义域为，定义域关于直线不对称，所以函数的图象不可能关于直线对称，故选项C错误；
当时，对任意实数都有，即函数的图象与轴有交点，故选项B错误；
对于选项A，由得.
设，当且时，；当时，，作出函数的图象如图所示.
设，当时，，作出函数的图象如图所示.
由图象知，函数的图象与函数的图象有且只有两个交点，即函数有两个不同的零点，故选项A正确；

对于选项D，由上述分析知，当时，函数的图象与函数的图象不可能有4个交点，故不满足函数有四个不同的零点.
当时，如图所示，当时，函数的图象与函数的图象没有交点，当时，函数的图象与函数的图象有且只有两个交点，故要使函数有四个不同的零点，只需要满足当时，函数有2个不同的零点.

当时，，得.
令，，则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减，故当时，函数取得极大值，极大值为；当趋向于时，趋向于；当趋向于2时，趋向于，故当时，与在上有两个不同的交点.
综上所述，要使函数有四个不同的零点，则，故选项D正确.
故选：AD.
【点睛】本题主要考查函数的零点个数，解决策略是利用函数与方程思想，将原函数转化为两个简单函数，通过考查两个简单函数的图象的交点个数问题进行解决.
4．ABD
【分析】由可得出，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断B选项；利用导数求出函数的极大值和极小值，结合求出的值，可判断C选项；设切点横坐标为，利用导数的几何意义可得出方程有三个不等的实根，可知，直线与函数的图象有三个交点，数形结合可判断D选项.
【详解】对于A选项，令可得，
令，则直线与函数的图象有三个交点，
，令，可得，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，A对；
对于B选项，，该函数的定义域为，
，
故函数是偶函数，B对；
对于C选项，，令，可得，列表如下：
减 极小值 增 极大值 减
所以，，，
所以，，解得，C错；
对于D选项，设切点坐标为，则，
所以，曲线在处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程得，整理可得，
令，其中，则，
令，可得或，列表如下：
减 极小值 增 极大值 减
若过点可以作图象的三条切线，
则直线与函数的图象有三个交点，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，合乎题意，D对.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
5．ABD
【分析】对于选项，可得继而，可求在处的切线方程；对于选项, 当时，可用隐零点的处理手段虚设零点，求得最值再整体代换即可；对于、选项，可用函数与方程的思想将函数的零点问题转化为两函数相交问题.
【详解】当时，，，，，
在处的切线方程为，即，故A正确；
当时，，，令，当时，，所以在上单调增，又所以存在唯一，使得，即，
且当，，单调递减，
当，，单调递增，
存在唯一极小值点，
且，，
，故B正确；
令，当时，
分离参数可得，
设，，
令，解得，，
作出的图像，

当时，取极小值，也是上的最小值为，
当时，取极大值，也是上的最大值为，
由图像可知当时，在上没有零点，故C错误，
当时，在上有两个零点，故D正确．
综上，正确的是ABD．
故选：ABD．
6．ABD
【分析】求出导函数，直接计算，由导数确定函数的单调性后可得极值，从而判断ABC选项，利用单调性确定函数值的变化趋势后，结合数形结合思想判断D．
【详解】由，得，当时，，B正确；
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
因此函数在处取得极小值，递减区间为，A正确，C错误；
函数在上单调递减，且恒有，在上单调递增，，，
而函数有两个不同的零点，即函数的图象与直线有两个公共点，
在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图，
观察图象知，当时，直线与函数的图象有两个公共点，
所以函数有两个不同的零点时，，D正确，
故选：ABD.

【点睛】方法点睛：由函数零点（或方程根）的个数判断参数范围问题的解题方法，一般是把问题进行转化，转化为一条直线与一个函数图象的交点个数，然后确定函数的性质，如奇偶性、单调性（可以利用导数确定单调性，较难题一般也只能用导数确定单调性），得出函数的变化趋势，作出函数图象，再作出直线，最后由它们的交点个数情况得出参数范围．
7．ACD
【分析】由题意设，根据，求导分析的单调性，进而数形结合分析，根据可判断A，根据函数的极大值可判断B，根据三次函数的对称性可判断C，举例可判断D.
【详解】由，得，
设，则，
则的极小值为，极大值为．

对A，因为，
所以，当且仅当时，，所以，A正确．
对B，因为在上单调递减，且，
所以，所以未必成立，B错误．
对C，设，令有，则有，故图象存在对称中心，
所以存在实数，使得，，成等差数列，C正确．
对D，因为，所以存在实数，使得，，成等比数列，D正确．
故选：ACD
8．BCD
【分析】若函数有三个不同的零点，则方程有三个不同的实数根，令，则，设，求导分析单调性，极值，分析的零点，即可得出答案．
【详解】函数有三个不同的零点，，（其中），
即方程有三个不同的实数根，，（其中），
等价于方程有三个不同的实数根，，（其中），
令，其中，
令，则；，则，
即在上单调递增，在上单调递减，
其中，，且当时，恒成立，可得函数的大致图象，
由题知，方程有三个不同的实数根，
则需要有两个不同解，
所以，即或，A选项错误；
则有，，
当时，，，
又因为，即，所以与矛盾，
所以不符合题意，故舍去.
当时，，则，
则对应的关系有，且应满足，如图所示，

且，则，即，
令，则，
由对勾函数在上单调递减，则在上单调递增，
，所以，B选项正确；
，所以，
，
令，，
当时，，，，
所以在上，单调递增，所以，
所以，即，
又在上单调递减，所以，即，故C选项正确；
由且，则有
，D选项正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：
函数的零点转化为方程的根，通过构造函数，借助导数研究单调性，利用数形结合求出零点的范围，根据选项中的内容通过函数的性质判断结论是否正确.
9．ABD
【分析】对于A，利用导数即可判断；对于B，根据导数的几何意义可判断；对于C，取，根据导数判断此时函数的单调性，说明极值情况，即可判断；对于D，结合函数单调性，利用零点存在定理说明有且仅有两个零点，继而由可推出，即可证明结论，即可判断.
【详解】因为，定义域为且，
所以，
对于A，当时，，所以在和上单调递增，故A正确；
对于B，因为直线的斜率为，
又因为的图象在处的切线与直线垂直，
故令，解得，故B正确；
对于C，当时，不妨取，
则，
令，则有，解得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上分别单调递减；
所以此时函数有极值，故C错误；
对于D，由A可知，当时，在和上单调递增，
当时，，
，
所以在上有一个零点，
又因为当时， ，
，
所以在上有一个零点，
所以有两个零点，分别位于和内；
设，
令，则有，
则
，
所以的两根互为倒数，所以，故D正确．
故选：ABD
【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数知识的应用，综合性较，解答的难点在于选项D的判断，要结合函数的单调性，利用零点存在定理判断零点个数，难就难在计算量较大并且计算复杂，证明时，要注意推出，进而证明结论
10．BD
【分析】A选项，求导，研究单调性即可；B选项，结合A选项分析出的单调性，符号信息，作出图像，然后根据图像的变换得到的图像，将方程的根转化为图像的交点个数问题；C选项，结合A选项的单调性进行分析；D选项，由题干选项，只需比较值域的关系即可.
【详解】A选项，定义域为，，
则时，，单调递减，时，，单调递增，A选项错误；
B选项，时，，则单调递减，
结合A选项的分析可知，在上单调递减，在时单调递增，
由可得时，，时，，
结合已经分析的的信息，作出图像如下：

根据图像的变换，的图像为：

故，即时，有4个不等的实根，B选项正确；
C选项，根据单调性，时单调递减，
故当时，，则，
由于，不等式两边同时乘以，故，C选项错误；
D选项，由于时，，时，，
若对，，使得成立，
故，解得，D选项正确.
故选：BD.
【点睛】关键点睛：本题综合的考察了高中阶段常见模型之一：的相关性质，熟知图像性质，数形结合来处理是解题关键.
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