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专题4 含参多变量不等式恒成立问题
【2024届四川绵阳期末】16．若对任意，当时，，则a的取值范围为______．
通过将问题等价变形，利用同构函数转化为单调性问题，再利用导数法解决
【解析】因为，所以，所以．因为，所以，所以．设，则满足在上单调递减，因为，所以在上单调递减，在内单调递增，所以，即a的取值范围为．
1．对任意，恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
2．若对任意的恒成立，则实数的最小值为 .
通过参变分离转化为最值问题，再利用导数的几何意义求得最值.
∵，∴
∵，∴
表示曲线上的点与点割线的斜率
∵在上递减，∴，∴．
3．对于实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，若，且，，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，当，对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为 .
8．不等式对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是 .
9．已知函数，当，对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为 .
10．已知对，不等式恒成立，则实数的最小值是 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】将恒成立的不等式化为，构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，分离变量可得；令，利用导数可求得最大值，由此可得的范围，从而确定可能的取值.
【详解】当时，由得：，
，
令，则，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
在上单调递增，
由得：，，即；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
当时，恒成立，则，
实数的可能取值为，ABC错误，D正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解恒成立问题，解题关键是能够对于恒成立的不等式进行同构变化，将其转化为同一函数的两个函数值之间的大小关系的问题，从而利用函数的单调性来进行求解.
2．##
【分析】构造函数，根据已知可得的单调性，进而将问题转化为恒成立问题，然后参变分离，利用导数求函数的最值可得.
【详解】因为，
可得，
构造函数，
，单调递减，
，，
则.
令，则，
因为，所以，
所以单调递减，
所以
则，故的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题关键点在于通过已知同构函数，再利用单调性将问题转化为恒成立问题，进而参变分离，利用导数求解.
3．C
【分析】构造同构函数，分析单调性，转化为恒成立，即，再求解的最小值即可.
【详解】已知，由知.故排除BD.
由得，，
构造函数，是上的增函数，
则由得，即，
令，
，由得，
当，则单调递减，
当，则单调递增，
，
则，又，则.
故选：C.
4．B
【分析】根据的单调性，将问题转化为在单调递增，求导，构造利用导数确定函数的单调性，即可求解.
【详解】由于 均为单调递增函数，所以为上的单调递增函数，由，且，则，
故，
故，
即，
令，
则由，且，则，故在单调递增，
对任意的恒成立，
令，
由于均为单调递增函数，所以为单调递增函数，又当趋向于1时，趋向于，而趋向于时趋向于，
故存在唯一的实数，使得，即，则
当故在单调递减，在单调递增，故当时，取极小值也是最小值，
由于对任意的恒成立，
所以，记，所以在上单调递减，又，
故当，当，
又，所以
又，所以，
由于在单调递增，所以，
故，又，故，
故选：B
【点睛】本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.
5．B
【分析】依题意可得在上恒成立，设，则在上恒成立，利用导数说明的单调性，再分和两种情况讨论，当时需在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出的最小值，即可求出参数的取值范围.
【详解】由在上恒成立，
可得在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则在上恒成立，
又，
所以当时，当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，当时，，
当时，由于，则，
此时，，满足在上恒成立；
当时，由于，则，
要使在上恒成立，
则需在上恒成立，即在上恒成立，
设，，则，
易知当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，则，又，所以
综上，实数的取值范围为．
故选：B．
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是将不等式同构成，再构造函数，结合函数的单调性说明.
6．B
【分析】将化简为，再构造函数，求导分析单调性可得在区间上恒成立，再参变分离构造函数求最值解决恒成立问题即可.
【详解】因为恒成立即，
可得，
令，则恒成立.
又，故当时，，
故在区间上为增函数.
又恒成立，则在区间上恒成立，即，.
构造，则，令有，
故当时，为增函数；当时，为减函数.
故，故，即.
故选：B
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
7．12
【分析】不妨设，由函数的单调性化简不等式为，引入函数，问题转化为恒成立，由此只要用导数确定的单调性，再由分离参数法转化为求函数的最值，得出结论．
【详解】因为，函数在上单调递增，不妨设，
则，可化为，
设，则，
所以为上的减函数，即在上恒成立，
等价于在上恒成立，设，所以，
因，所以，所以函数在上是增函数，
所以（当且仅当时等号成立）.
所以.
故答案为：12.
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题中含有两个自变量以及其它参数，解题方法有两种，
（1）不妨设，转化不等式后利用函数的单调性把问题转化为新函数的单调性：如，再解决新函数的单调性得出参数范围；
（2）不妨设，然后引入参数（，已知关系转化为关于的关系式，从而利用换元法变为关于的关系式（降元，即二元变一元），再由新函数的性质求得参数范围．
8．
【分析】设，则可得，而分别在曲线和直线上，将直线平移恰好与曲线相切时，可求出的最小值，从而可解关于的不等式可得答案.
【详解】由题意设，则，所以，
因为分别在曲线和直线上，
所以将直线平移恰好与曲线相切时，切点到直线的距离最小，此时最小，
设切线为，切点为，则，得，
所以，得，则，
所以的最小值为点到直线的距离，，
即的最小值为，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将问题转化为，，进一步转化为曲线上的点和直线的点的距离最小问题，考查数学转化思想，属于较难题.
9．12
【分析】不妨设，由函数的单调性化简不等式为，引入函数，问题转化为恒成立，由此只要用导数确定的单调性，再由分离参数法转化为求函数的最值，得出结论．
【详解】因为，函数在上单调递增，不妨设，
则，可化为，
设，则，
所以为上的减函数，即在上恒成立，
等价于在上恒成立，设，所以，
因，所以，所以函数在上是增函数，
所以（当且仅当时等号成立）.
所以.
故答案为：12.
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题中含有两个自变量以及其它参数，解题方法有两种，
（1）不妨设，转化不等式后利用函数的单调性把问题转化为新函数的单调性：如，再解决新函数的单调性得出参数范围；
（2）不妨设，然后引入参数（，已知关系转化为关于的关系式，从而利用换元法变为关于的关系式（降元，即二元变一元），再由新函数的性质求得参数范围．
10．##
【分析】，令，求导后判断在上单调递增，从而问题转化为，恒成立.而，令，求导得到，进而可求解.
【详解】
令，
则，恒成立.
对求导得，所以在上单调递增.
所以，恒成立.
而
令，则
令，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减.
所以.
故，即实数的最小值是.
故答案为：
【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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