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专题 与隐零点有关的关系研究
【南充市高2024届高考适应性考试（零诊）】
1．函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三】
2．若x，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，且，则的取值范围是（ ）（注：选择项中的为自然对数的底数）
A． B．
C． D．
【举一反三】
4．已知函数有两个零点，，且，则（ ）
A． B．
C． D．的值随的增大而减小
5．已知函数，若方程有四个不等的实根，，，，且满足，则的取值范围为 ．
6．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数，为常数，若函数有两个零点、，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．曲线在点处的切线可能与直线垂直
C．
D．
9．已知函数有两个极值点，，则（ ）
A．a的取值范围为（－∞，1） B．
C． D．
10．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为
C．若有两个零点，则
D．若，且，则的最大值为
11．已知函数，，若函数有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则的取值范围是 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】由与互为反函数，可得，运用等量代换及基本不等式可分别判定各个选项.
【详解】由题意知，，，
令，则，
又因为与互为反函数，
所以、分别与的的交点关于对称，
所以，即：，
又因为，，
所以由零点存在性定理可知，，
又因为，即，
所以，
对于A项，因为，，
所以，故A项错误；
对于B项，因为，所以，
又因为，，
所以，故B项正确；
对于C项，因为，，所以，故C项错误；
对于D项，因为， ，，
所以，故D项错误.
故选：B.
2．C
【分析】利用可得，再利用同构可判断的大小关系，从而可得正确的选项.
【详解】设，则（不恒为零），
故在上为增函数，故，
所以，故在上恒成立，
所以，
但为上为增函数，故即，
所以C成立，D错误.
取，考虑的解，
若，则，矛盾，
故即，此时，故B错误.
取，考虑，
若，则，矛盾，
故，此时，此时，故A错误，
故选：C.
【点睛】思路点睛：多元方程隐含的不等式关系，往往需要把方程放缩为不等式，再根据函数的单调性来判断，注意利用同构来构建新函数.
3．B
【分析】利用换底公式可得，构建新函数，利用导数讨论其单调性后可判断的取值范围.
【详解】因为，故，故，
设，其中，则，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
但当时，，当时，，
而，故.
下证对于任意的，对在总有两个不同的零点，
由的单调性可知在上为减函数，在上为增函数，
而，，，
设，则，
故在上为减函数，故，
故在总有两个不同的零点，
综上，.
故选：B
【点睛】思路点睛：对于多变量的方程的问题，应该根据方程的特点合理构建新函数，利用导数讨论其单调性，在问题解决的过程中注意对范围充分性的说明.
4．BCD
【分析】由得，作出图象，然后作图象，由图即可判断四个选项是否正确，即可得到答案.
【详解】解：由，得，
即.
令，则，
∴当时，，当时，.
∴在上单调递增，在上单调递减.
∴当时，取最大值为.
又当时，，当时，.
作出函数的图象如图：
由图可知，，，的值随的增大而变小.
故选：BCD
【点睛】本题主要考查了函数与方程，函数的零点转化为对应方程的根，转化为两个函数图象的交点，考查数形结合的思想，属于中档题.
5．．
【分析】设，有四个不等实根，设为，，，，且，，，，，画出的图象，得出的范围和他们之间的关系，从而可得，然后换元求出其范围即可.
【详解】不妨设，
由题意，有四个不等实根，设为，，，，
且，，，，，
函数的图象如下：
由图可知，，
且，，，
∴，，
∴，
设，函数，
则，
∴函数在上为减函数，
∴，
即的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】函数的零点个数或者方程根的个数问题常用数形结合的思想来解决.
6．AD
【分析】A.先构造函数，通过函数的单调性确定的大致范围，再构造
，通过函数的单调性确定与的大小关系，进而得到A选项.
B.先构造函数，通过函数的单调性确定的大致范围，再构造
，通过函数的单调性确定与的大小关系，进而可知B选项错误.
C.通过，得到，进而可得与的大小关系, 进而可知C选项错误.
D.与C选项同样的方法即可判断.
【详解】A. 令
则 ，所以在单调递减，在上单调递增，
且，故.
令
则，
所以在上单调递减，且

即 故选项A正确
B. 令
则，所以在单调递增，在上单调递减，
且，故.
令
所以在上单调递减，且

即 故选项B错误
C.
又在单调递增
故选项C错误
D. 由C可知， 又在单调递减
故选项D正确
故选：AD
7．ACD
【分析】由已知得出，化简变形后可判断A选项的正误；取可判断B选项的正误；利用构造函数法证明CD选项中的不等式，可判断CD选项的正误.
【详解】由可得，可知直线与函数在上的图象有两个交点，
，当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，则，
且当时，，如下图所示：

当时，直线与函数在上的图象有两个交点.
对于A选项，由已知可得，消去可得，A对；
对于B选项，设，取，则，所以，，故，B错；
对于C选项，设，因为，则，
所以，，，
则，
构造函数，其中，则，
所以，函数在上单调递增，故，C对；
对于D选项，，
构造函数，其中 ，则，
所以，函数在上单调递减，则 ，D对.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
8．ACD
【分析】根据函数有两个极值点，得到导函数有两个变号零点，从而可求参数的取值范围，即可判断A选项；
假设满足条件的切线存在，利用导数的几何意义求出切线的科率，得到的值，结合A项结果推出矛盾，可得B不正确；
由，利用整体替换思想得到，最后根据的范围和二次函数的性质得到，可得C正确；
由，利用整体替换思想可知若D正确，则只需，令，构造函数，利用导数可求得的单调性和最值，由此可证得结论，从而判断D选项．
【详解】对于A，，令，则，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，；
有两个极值点，有两个变号零点，，
即，，A正确；
对于B，曲线在点处的切线斜率，
若该切线与直线垂直，则，即，与矛盾，B错误；
对于C，由题意知：，即，
则，由A知：，
由二次函数性质知：，C正确；
对于D，由题意知：，即，又，
，即；
要证，只需证，即证，
即证，
设，则只需证，
令，则，
在上单调递增，，，
则，D正确.
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：对于D项，求解这类极值点偏移问题的关键：一是消参，把极值点转化为导函数零点之后，需要利用两个变量把参数表示出来，再巧妙地把两个极值点通过消参向求证的结论逐渐靠近；二是消“变”，即减少变量的个数，只有把不等式转化为只含有一个“变量”的式子后，才能建立与之相应的函数，转化为函数问题进行求解．
9．BCD
【分析】利用导数判断函数的单调性，根据零点的个数求出的取值范围，进而确定的取值范围，再利用不等式的性质、构造函数利用导数逐一判断即可.
【详解】由题设，且定义域为，则，
当时，则单调递增，不可能存在两个零点，即不可能存在两个极值点，A错误；
当时，即单调递增，当时，即单调递减，即，
当时，，所以至多有一个零点；
当时，，而，当趋向于0时趋于负无穷大，当趋向于正无穷时趋于负无穷大，
综上，，在内各有一个零点，且，
B：由且趋向于0时趋于负无穷大，所以，故，
令，
，
又，所以单调递减，
故当时，，
又，所以，
而，因此，故正确；
C：，
令，显然有，令，显然，
因此有：，
设，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
因为，所以，
令，即，
因为，所以单调递增，
因为，所以，
而，所以，
因为，所以，
当时，单调递减，因此有，即，正确；
D：由，则，故，正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：构造函数、、，利用导数研究单调性，根据单调性进行求解.
10．ABD
【分析】
A选项中，令，利用导数可求得单调性，根据复合函数单调性的基本原则可知A正确；B选项中，利用导数可求得在上单调递增，由此可将恒成立的不等式化为，令，利用导数可求得，由可知B正确；C选项中，利用导数可求得的单调性，由此确定，若，可等价转化为，令，利用导数可求得单调性，从而得到，知，可得C错误；D选项中，采用同构法将已知等式化为，从而可确定，结合单调性得到，由此化简得到，令，利用导数可求得最大值，知D正确.
【详解】对于A，当时，，令，则，，
，当时，恒成立，在上单调递增；
在上单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上为增函数，A正确；
对于B，当时，，又为正实数，，
，当时，恒成立，在上单调递增，
则由得：，即，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
，则正实数的最小值为，B正确；
对于C，，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；，则；
不妨设，则必有，
若，则，等价于，
又，则等价于；
令，则，
，，，，即，
在上单调递增，，即，
，可知不成立，C错误；
对于D，由，得：，即，
由C知：在上单调递减，在上单调递增；
，，则，，
，即，；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
即的最大值为，D正确.
故选：ABD.
【点睛】
方法点睛：本题C选项考查了导数中的极值点偏移问题；处理极值点偏移中的类似于（）的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导后可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.
11．
【分析】先根据题意，求出的解得或，然后求出f(x)的导函数，求其单调性以及最值，在根据题意求出函数有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，分情况讨论求出的取值范围.
【详解】解：令t=f（x），函数有3个不同的零点，
即+m=0有两个不同的解，解之得
即或
因为的导函数
，令，解得x>e，，解得0可得f（x）在（0，e）递增，在递减；
f(x)的最大值为 ，且
且f(1)=0；
要使函数有3个不同的零点，
（1）有两个不同的解，此时有一个解；
（2）有两个不同的解，此时有一个解
当有两个不同的解，此时有一个解，
此时 ，不符合题意；
或是不符合题意；
所以只能是 解得
，
此时=-m，
此时
有两个不同的解，此时有一个解
此时 ，不符合题意；
或是不符合题意；
所以只能是解得
，
此时=，
综上：的取值范围是
故答案为
【点睛】本题主要考查了函数与导函数的综合，考查到了函数的零点，导函数的应用，以及数形结合的思想、分类讨论的思想，属于综合性极强的题目，属于难题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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