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专题5 与公切线有关的最值问题
（湖南省郴州市2024届高三一模数学试题）
1．若存在，使得函数与的图象有公共点，且在公共点处的切线也相同，则的最大值为 .
2．若曲线：与曲线：（其中无理数…）存在公切线，则整数的最值情况为
A．最大值为2，没有最小值 B．最小值为2，没有最大值
C．既没有最大值也没有最小值 D．最小值为1，最大值为2
3．若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则k的最大值是（ ）
A． B． C．2e D．4e
6．关于的不等式在上恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
7．关于曲线和的公切线，下列说法正确的有（ ）
A．无论a取何值，两曲线都有公切线
B．若两曲线恰有两条公切线，则
C．若，则两曲线只有一条公切线
D．若，则两曲线有三条公切线
8．已知直线是曲线与的公切线，则 .
9．已知直线是曲线与抛物线的公切线，则 .
10．若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值范围是 ．
11．若函数与函数的图象存在公切线，则实数的取值范围为 ．
12．已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数m的最大值为 .
13．已知函数，若总存在两条不同的直线与函数图象均相切，则实数a的范围为 ．
14．已知函数，．
(1)若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围；
(2)当时，若，存在公切线，求的范围（表示不大于的最大的整数）．
15．已知，．
(1)若与的图象相交于点P，且与在点P处的切线重合，求a的值；
(2)若，求a的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】
设两函数图象的公共点横坐标为，求导后得到方程，求出，从而得到，即，构造函数，求导得到单调性，进而求出，求出答案.
【详解】的定义域为，的定义域为R，
设两函数图象的公共点横坐标为，则，
，，则，即，
解得或，
因为，所以（舍去），满足要求，
且，即，
故，，
令，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
故，所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：
(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；
(2) 己知斜率求切点即解方程；
(3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
2．C
【详解】分析：先根据公切线求出，再研究函数的最值得解.
详解：当a≠0时，显然不满足题意.
由得，由得.
因为曲线：与曲线：（其中无理数…）存在公切线，
设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，
则
将代入得，
由得，
设
当x＜2时，，f(x)单调递减，
当x＞2时，，f(x)单调递增.
或a<0.
故答案为C
点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是求出，再研究函数的最值得解.
3．A
【分析】设公切线与函数切于点，设公切线与函数切于点，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得，消去，得，再构造函数，然后利用导数可求得结果.
【详解】设公切线与函数切于点，
由，得，所以公切线的斜率为，
所以公切线方程为，化简得，
设公切线与函数切于点，
由，得，则公切线的斜率为，
所以公切线方程为，化简得，
所以，消去，得，
由，得，
令，则，
所以在上递减，
所以，
所以由题意得，
即实数的取值范围是，
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.
4．B
【分析】
设出两个函数图象的公共点坐标，利用导数的几何意义建立关系求解即得.
【详解】设函数与函数的图象公共点坐标为，
求导得，依题意，，于是，
令函数，显然函数在上单调递增，且，
则当时，，因此在中，，此时，经检验符合题意，
所以.
故选：B
5．B
【分析】设切点分别为和，则，根据题意转化为有解，设，求得，得出函数的单调性和极小值，结合，即可求解.
【详解】因为是和的公切线，
设切点分别为和，则，
由，可得，则
又由，可得，且，则，
所以，可得，
即，显然同号，不妨设，
设，（其中），
可得，令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
要使得有解，则需要，即
即，解得，所以，即的最大值为.
故选：B.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
6．BC
【分析】根据函数的单调性和最值综合分析即可求解.
【详解】由，可得．
记，，
令，，
则，令，
则恒成立，
所以在上单调递增且，
所以当时，，所以，
当且仅当时，等号成立．
又，．且，
所以直线为与的图象在处的公切线时
才能使原不等式恒成立，此时，，
故选:BC．
7．BCD
【分析】设曲线和的公切线分别与两曲线相切于，，根据导数的几何意义得到，化简可得，结合对数的定义可判断A选项；构造函数和，利用导数分析其单调性，进而分析方程解的情况，进而求解.
【详解】设曲线和的公切线分别与两曲线相切于，，
因为，，
所以，，
所以公切线的方程为，即，
也可以为，即，
所以，即化简得，
即，
若，，则上述式子无意义，此时两曲线没有公切线，故A错误；
①令，
则，
所以，
令，则；令，则，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以.
当，即时，有两解，
即方程在时有两解.
当，即时，只有一解，
即方程在时只有一解.
当，即时，无解，
即方程在时无解.
②令，
则，
所以，
所以函数在上单调递减，
而当时，，，则，
当时，，，则，
所以函数在上一定存在使得，
即方程在时只有一解.
综上所述， 当时，有两条公切线，故B正确；
当时，有一条公切线，
而，所以时，只有一条公切线，故C正确；
当时，有三条公切线，
而，所以时，有三条公切线，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：求两曲线的公切线及其相关问题时，常常结合导数的几何意义表示出公切线方程，列出方程组分析求解.
8．##
【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案.
【详解】对于函数，则，
设是曲线上的一点，切线斜率，
所以在点处的切线方程为，即，
对于函数，则，
根据斜率关系可得：，解得，
可得，可知切点坐标为，
则切线方程为，即，
可得，整理得，解得或，
当时，切线方程为，此时，不符合题意，舍去；
当时，切线方程为，故，；
综上所述：.
故答案为：.
9．
【分析】先考虑与相切，利用导数的几何意义求出，再将切线与抛物线联立解出即可.
【详解】先考虑与相切，设切点的横坐标为，
由得，
由相切的性质可得①及②，
由②可得带入①可求出，从而有，
再考虑与相切，
联立，消去可得，
由解得或（舍去），
故答案为：
10．
【分析】
求出函数的导数，根据导数的几何意义推出公共切线斜率为，结合切点坐标满足函数解析式，可得，构造函数，利用导数求得其最大值，即可求得答案.
【详解】
由题可知，，，
设与曲线相切的切点为，与相切的切点为，
则有公共切线斜率为，则，，
又，，可得，
即有，即，
可得，，
设，，，
可得时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，,
可得处取得极大值，且为最大值，
则正实数a的取值范围，
故答案为：
11．
【分析】设切点为，求导计算得到切线方程，与二次函数联立，计算得到，构造，求导得到函数的单调区间，计算最值得到，解不等式得到范围.
【详解】，可得，
设切点为，则，
则公切线方程为，即，
，则，
所以，整理可得，
又由，可得，解得，
令，其中，可得，
令，可得，函数在上单调递增，
且，
当时，，即，此时函数单调递减，
当时，，即，此时函数单调递增，
所以，且当趋近于时，趋近正无穷，
所以函数的值域为，
所以且，解得，即实数的取值范围为．
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决公切线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将公切线问题根据转化为函数的最值问题是解题的关键，构造新函数是常用的方法，需要熟练掌握.
12．##0.5
【分析】
设出公切线和两个曲线相切的切点，，根据导数的几何意义找到的关系，然后化二元为一元，将用一个量表示，结合导数工具求解.
【详解】由题意可知：，
设公切线和相切于，和相切于，
因为就没有垂直于轴的切线，故公切线斜率存在，设公切线斜率为.
于是
由可得，；
由化简整理可得，.
根据可得，，
故，
设，则，
1.当时，显然；
2.当时，则，
令，则，
故在上递增，注意到，
①当时，，；
②当时，，；
综上所述：当时，；当时，；
则在上递增，在上递减，故，
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的突破口在于，通过导数的几何意义，找出参数和两个切点横坐标的关系，利用消元的思想，消去一个未知量，然后构造函数进行求解.
13．
【分析】将有两条公切线转化为与直线有两个不同交点，后利用导数研究函数单调性与极值情况画出大致图象，即可得答案.
【详解】设切线在上的切点分别为.
因.则切线方程可表示为：
，也可表示为：，其中.
则.则总存在两条不同的直线与函数图象均相切，
等价于与直线有两个不同交点.，则.
令在上单调递增，
在上单调递减，则.
注意到，，可得大致图象如下，则.
故答案为：
14．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可知在上恒成立，然后再根据分离参数法结合导数在函数单调性中的应用，即可求出结果；
（2）设公切线在上的切点为，在上的切点为，根据导数的几何意义，求出切线方程为，和，根据公切线的含义化简可得，又，可得，令，再利用导数在函数最值中的应用，即可求出结果.
【详解】（1）解：由题意，在上恒成立．
即在上恒成立．
令，则，
所以在上单调递增．
于是，所以．
（2）解：当时，设公切线在上的切点为，
则切线方程为：．
设公切线在上的切点为，
则切线方程为：，
，
又，．
令．．
又在上单调递减，而，，
满足，即，
在区间上单调递增，在区间上单调递减．
，
．
15．(1)
(2)
【分析】（1）设出切点的坐标，利用导数的几何意义求解得出结论；
（2）利用（1）的结论，证明即可求解．
【详解】（1）设切点，，
对两个函数分别求导有，，
因为与的图像相交于点P，且与在点P处的切线重合，
所以，又，
联立解得，.
（2）由（1）可知，当时，
与在点处的切线重合，此时，
又在处的切线方程为，
令，则，
易得,,，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，可得，
令，
当时，才有，
又对称轴，
当时最小值等于，解不等式得，即；
当时，与切线方程相交，则不成立；
由综上所述，．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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