第四章三角函数与解三角形专题2多元函数最值 学案(含解析) 2024年高考数学复习 每日一题之一题多解

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第四章三角函数与解三角形专题2多元函数最值 学案(含解析) 2024年高考数学复习 每日一题之一题多解

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专题2 多变量函数的最值问题
【2024唐山9月模拟演练8】设,.当P取得最大值时,,满足( ).
A., B.,
C., D.,
【方法名称】柯西不等式+基本不等式
【思路分析】双变量函数通过柯西不等式放缩为单变量函数后,继续利用基本不等式方法求得最值
②等号成立,当且仅当,解得
①等号成立,当且仅当,解得
【举一反三】
1.若函数在其图象上存在不同的两点,,其坐标满足条件:的最大值为0,则称为“柯西函数”,
则下列函数:




其中为“柯西函数”的个数为  
A.1 B.2 C.3 D.4
2.设,,则的最小值为 .
【方法名称】“辅助角公式”+“基本不等式”
【思路分析】双变量函数通过辅助角公式放缩为单变量函数后,继续利用基本不等式方法求得最值
,令
∴,令,
∴,∴,∴
当时,,

当且仅当,即时,上式取“=”,此时
又,∴.
综上,,,选C.
【举一反三】
3.已知函数的图象的两相邻零点之间的距离小于,为函数的极大值点,且,则实数的最小值为 .
4.已知函数,当取得最大值时, .
【方法名称】导数法+二次函数法
【思路分析】双变量函数通过导数放缩为单变量函数后,继续利用二次函数求得最值
,,
↓,则在时,即时,取得最大值,
此时

当时,即时取得最大值.
同时,,即.
【举一反三】
5.在上的最小值为 .
6.函数的值域为 .
【方法名称】柯西不等式+二次函数法
【思路分析】双变量函数通过柯西不等式放缩为单变量函数后,继续利用二次函数求得最值
根据柯西不等式,得
当且仅当时,取“=”,
令,,
当时,,即,,
∴,
由,即,
故,.选C.
7.已知函数,若恒成立,则的最小值为 .
8.已知,,是正实数,且,则的最小值为 .
9.已知实数,,,,满足,,则实数的取值范围为 .
10.已知,,若存在,对任意,恒成立,则 .
11.在平面四边形中,,,,则的最大值为 .

12.已知函数是定义在上的单调递减的奇函数,且对,有恒成立,则的最大值为 .
试卷第1页,共3页
试卷第1页,共3页
参考答案:
1.C
【分析】问题转化为存在过原点的直线与的图象有两个不同的交点,利用方程思想与数形结合思想,逐一判断即可.
【详解】由柯西不等式得:对任意实数恒成立(当且仅当取等号),若函数在其图象上存在不同的两点,其坐标满足条件:的最大值为0,则函数在其图象上存在不同的两点,使得共线,即存在过原点的直线与的图象有两个不同的交点:
对于① ,方程,即,不可能有两个正根,故不存在;
对于②,,过原点的直线与函数的图象在点处相切,由图可知这样的直线存在;
对于③,由图可知存在;
对于④,由图可知存在,
所以“柯西函数”的个数为2,故选C.
【点睛】本题考查了新定义,以及转化思想与数形结合思想的应用,属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,函数图象是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质,为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.归纳起来,图象的应用常见的命题探究角度有:1、确定方程根的个数;2、求参数的取值范围;3、求不等式的解集;4、研究函数性质.
2.
【分析】根据题意,对拆分项或配凑因式:、、、,创设运用基本不等式的条件,且连续使用基本不等式,并使等号能够同时成立,最后求出其最小值.
【详解】;
当且仅当时取到最小值,解得,,,时等号成立,
故答案为:24.
【点睛】本题考查基本不等式的应用, 解此类题目的两个技巧: (1)创设运用基本不等式的条件,合理拆分项或配凑因式,其目的在于使等号能够成立.(2)既要记住基本不等式的原始形式,而且还要掌握它的变形形式及公式的逆用等,例如:,,.
3.13
【分析】利用辅助角公式化简的表达式,确定,结合求得以及的表达式,结合其平方和为1求得m的值,即可求得,从而可得的表达式,继而求得答案.
【详解】由题意得,(为辅助角),
由题意知,
为函数的极大值点,故,
即,故,
即,
因为,
故,即,
所以,
由于,故,
解得(),故,
则或,
即或,
则实数的最小值为13,
故答案为:13
【点睛】方法点睛:解答此类有关三角函数性质类的题目,要能综合应用三角函数性质,比如周期,最值以及对称性等,求得参数的通式,再结合其他性质即可求解答案.
4.
【分析】利用辅助角公式及正弦函数性质易得取得最大值有,进而求.
【详解】由且,
所以,此时,
所以,故.
故答案为:
5.
【分析】由导数得出单调性进而得出最值.
【详解】因为,,所以,令,
得或,所以当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
当时,,单调递增,
所以时,取极小值,且极小值为,
又,所以在上的最小值为.
故答案为:
6.
【分析】化简,设,易知是的周期,利用导数研究在上的单调性,求得值域.
【详解】,
设,
由,
易知是的周期,考虑在上的单调性.
求导得 ,
令,得或,
在上,可得或或或,
当或时,,则,所以为增函数;
当时,.则,所以为减函数,
又,
所以,而,
所以.
故答案为:.
7.
【分析】
利用柯西不等式求解即可.
【详解】因为,
所以,解得,
又,
当且仅当,即时,等号成立,则,
又恒成立,所以,故的最小值为.
故答案为:.
8.10
【分析】利用柯西不等式求解.
【详解】由柯西不等式可得,
所以,即,
当且仅当即也即时取得等号,
故答案为:
9.
【分析】先由柯西不等式得从而得到关于的不等关系,解之即的取值范围.
【详解】解:由柯西不等式得

解得
所以:的取值范围是
故答案为:.
10.
【分析】依题意,先确定函数,再由三角函数的性质确定最大最小值.
【详解】依题意,



对任意, 恒成立,
当时,,
当时,则,
当时,,
当 时,.
所以,得,
所以.
故答案为:.
【点睛】对于不等式恒成立问题,常转换为研究函数的最大、最小值满足不等式.
11.
【分析】设,利用三角函数函数得,再利用余弦定理结合三角恒等变换即可得到最值.
【详解】设,,则,代入数据得,
,,
在中运用余弦定理得,

,,
所以当,即时,的最大值为3,则的最大值为.
故答案为:.
【点睛】关键点睛:本题的关键在于引角,设,再利用三角函数和余弦定理得到,最后结合诱导公式和三角恒等变换即可求出最值.
12.
【分析】由函数的奇偶性与单调性转化不等式,结合辅助角公式与三角函数的有界性得出,再由均值不等式求解
【详解】由可得,
则根据函数在上单调递减可得,
则在上恒成立,化简得在上恒成立,
故,而,则的最大值为.
故答案为:
答案第1页,共2页
答案第1页,共2页

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