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专题7 同构与反函数法解恒成立问题
【浙江省宁波市九校2023-2024学年高二上学期期末】．对任意，函数恒成立，求的取值范围______．
将不等式转化为，构造函数，利用导数判定其单调性，分段讨论计算即可.
由．
设，则恒成立．
易知在，
．
当时，，显然成立；
当时，由单调性可知．
令，则，
则．
所以，解得．
所以答案为．
（23-24高三下·四川雅安·开学考试）
1．当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高三上·河北·期末）
2．设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
原不等式化为，根据函数结构及反函数的对称性质，换元变形为求恒成立，再构造函数计算最值即可.
由
令，则．
而与互为反函数，
所以问题等价于．
由对称性，只需．所以．
构造，显然时，函数单调递减，时函数单调递增，
即．
（23-24高三上·陕西商洛·阶段练习）
3．已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若对任意，恒有，求实数的最小值.
5．已知函数，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围
6．对任意，不等式恒成立，求实数的最小值.
7．已知函数，若，求的取值范围.
（23-24高三上·河北·期末）
8．设实数，若对恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（23-24高三上·陕西渭南·期中）
9．设，对任意恒成立，则m最大值（ ）
A． B．e C． D．
（23-24高三上·四川德阳·阶段练习）
10．已知函数，若在恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2020·山东·高考真题）
11．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据题意，化简得到在上恒成立，令，求得，得到在上单调递增，转化为在上恒成立，令，利用求得函数的单调性和最大值，得到，即可求解.
【详解】由题意，当时，恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，可得，所以在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2．C
【分析】
将原不等式转化为恒成立，先判断得出恒成立，结合不等式的基本性质可得恒成立，进而求解即可.
【详解】
，即，
因为，所以，即恒成立，
令，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
因为，所以，
若时，不等式恒成立，则恒成立，
若时，，恒成立，则也成立，
所以当时，恒成立，所以得，即，
设
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，所以，即正实数的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：运用同构的基本思想将原不等式转化为恒成立，再运用不等式的性质，先得出恒成立，再运用导数讨论恒成立进而求出结果.
3．C
【分析】将问题转化为，令函数，则，再由的单调性将问题转化为恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值即可.
【详解】由题知恒成立，可得(否则时，不等式不成立)，
所以，
则.
令函数，则.
因为，
所以在上为增函数，
所以，即.
令函数，则，
当时，；当时，，
所以在单调递增，在上单调递减.
所以.
故的取值范围是.
故选：C
【点睛】关键点点睛：解题的关键是对已知化简变形，再构造函数，则转化为，再利用函数的单调性转化为，然后构造函数利用导数求函数的最值，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
4．.
【分析】将给定不等式恒等变形，使不等号左右两边结构相同，构造函数，利用函数的单调性化简
不等式，再变形并构造函数，借助导数求出最大值即可作答.
【详解】，，
令，则，令，有，
当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
，，因此，在单调递增，
则，
令，则，当时，，当时，，
于是得函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，，即得，
所以实数的最小值为.
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
5．
【分析】
将所求不等式变形为，构造函数，利用到导数分析函数的单调性，可得出，结合参变量分离法可得出，利用导数求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】
因为，且，
由可得，
即，即，
构造函数，则，所以函数为上的增函数．
则原不等式等价于，则，
所以，，其中，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，所以，，即得．
因此，实数的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将不等式变形为，通过构造函数，结合函数的单调性得出关于的不等式，结合参变量分离法求解.
6．.
【分析】若证，即证，构造函数，判断函数单调性，可得，即恒成立，设，即.
【详解】若证，
设，则，所以函数在上单调递增，
所以由，得，即恒成立.
令，则，
当时，，当时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减
所以，
所以实数的最小值为.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
7．.
【分析】将给定不等式等价变形并分离参数，借助不等式“，当且仅当时取等号”，推理计算作答.
【详解】，
，
令，求导得：，当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，当时，，即，，
因此，，当且仅当时取“=”，
令，显然在上单调递增，而，
即存在，使得成立，即有最小值1，则有，
所以实数的取值范围是.
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
8．B
【分析】
先将指对混合形式变形为同构形式，再构造函数，利用函数单调性求函数最值，得到参数范围.
【详解】由，则，，
当时，，恒成立，
即任意，对恒成立；
当时，，
即，其中，
构造函数，则.
，因为，所以，单调递增；
则有，则，
构造函数，
则，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则， 即当时，，
故要使恒成立，则，即的取值范围为.
故选：B.
【点睛】一般地，在等式或不等式中指对形同时出现，可能需要利用指对同构来解决问题.解决问题的关键在于指对分离，构造“指幂—幂对”形式，再构造函数求解.常见的同构式有：与，与等.
9．B
【分析】
先转化原不等式为，然后利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围，进而求得的最大值.
【详解】依题意，，对任意恒成立，
即对任意恒成立，
设，
所以在上单调递增，最小值为.
设，则.
令，
则，所以在上单调递增，
所以，所以，当时等号成立.
所以恒成立，
两边取以为底的对数得，
设，令，在上单调递增，
，所以，所以的最大值为.
故选：B
【点睛】方法点睛：求解含参数的不等式恒成立问题，可以考虑分离参数法来求解，也可以考虑直接构造函数法，还可以考虑转化为两个函数的方法来进行求解.本题不考虑分离参数法，主要原因是含参数的不等式不容易分离出来.
10．D
【分析】
将不等式变形为，构造函数，求导确定单调性，即可由最值求解.
【详解】由在恒成立，即，
令，所以单调递增，
故不等式转化为，故，进而
令，
当单调递减，当单调递增，
故，
故，即，
故选：D
【点睛】方法点睛：利用导数求解不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
11．（1）（2）
【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；
（2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.
【详解】（1），，.
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即,
切线与坐标轴交点坐标分别为,
∴所求三角形面积为．
（2）［方法一］：通性通法
,，且.
设,则
∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，
当时，,∴,∴成立.
当时， ，，,
∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
当时， ∴不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).
［方法二］【最优解】：同构
由得，即，而，所以．
令，则，所以在R上单调递增．
由，可知，所以，所以．
令，则．
所以当时，单调递增；
当时，单调递减．
所以，则，即．
所以a的取值范围为．
［方法三］：换元同构
由题意知，令，所以，所以．
于是．
由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有．
令，所以．
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以当时，取得最大值为．所以．
［方法四］：
因为定义域为，且，所以，即．
令，则，所以在区间内单调递增．
因为，所以时，有，即．
下面证明当时，恒成立．
令，只需证当时，恒成立．
因为，所以在区间内单调递增，则．
因此要证明时，恒成立，只需证明即可．
由，得．
上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立．
当时，因为，显然不满足恒成立．
所以a的取值范围为．
【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；
方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；
方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出；
方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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