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专题 6 根据极值情况求参数范围
【2024届河北省邯郸市高三上第二次调研第16题】已知函数（，且）存在极小值和极大值，则实数的取值范围是______．
分类讨论，借助导数得出函数单调性，再根据零点个数得出，从而得出实数的取值范围
因为定义域为，依题意可得有两个变号零点，
，
令，
若时，恒成立，故单调递增，最多一个零点，与提议矛盾。
若，则，显然单调递增，
当时，则在上单调递增，
当时，则在上单调递减，
所以只需，
则，所以，
所以实数的取值范围是．故答案为：
1．函数在区间存在极值点的一个充分不必要条件为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·山东·模拟预测）
2．已知函数在处取得极大值，则实数a的范围是 ．
法一：求导，进行参数分类，利用导数得出其单调性以及图像，结合图像得出实数的取值范围.
法二：求导，进行参数分类，构造常见函数，结合图像得出实数的取值范围.
法一：因为定义域为，依题意可得有两个变号零点，两个变号零点
有两个变号零点，
令时，，，且时，时，（如下图所示），
故有两个变号零点只需，所以，所以实数的取值范围是．故答案为：
法二：前面过程同上，只需有两个变号零点，
即有两个变号零点，
令，常见函数图像如图所示（求导易得），，
且时，时，，
故有两个变号零点只需，
所以，所以实数的取值范围是．故答案为：
（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）
3．若存在极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2023·陕西西安·二模）
4．若函数在和，两处取得极值，且，则实数a的取值范围是 ．
求导，根据题意得出与有两个变号交点，利用两者相切得出临界值，从而得出实数的取值范围.
因为定义域为，依题意可得有两个变号零点，
两个变号零点
有两个变号零点，
即与有两个变号交点，
又过定点，且如图所示：
两者相切时，故只需，所以，
所以实数的取值范围是．故答案为：
5．已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
一次求导得出，二次求导，得出，利用导数得出单调性，再由零点个数得出实数的取值范围.
因为定义域为，
，依题意可得有两个变号零点，
令，则，设，
所以有两个不同实数根，
又，
若，则，则函数单调递增，
所以至多有一个根，不符合题意，
若，则，显然单调递增，
当时，则在上单调递减，
当时，则在上单调递增，
所以，
又当时，当时，要使有两个不同正实数根，
则，
即，又所以，则，
所以，所以实数的取值范围是．故答案为：
6．已知函数.当时，不等式的解集是 ；若是的极值点，则 .
（2018·福建南平·二模）
7．若函数在区间有一个极大值和一个极小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（23-24高三上·安徽·开学考试）
9．已知函数既有极小值又有极大值，则实数a的取值范围是 .
（2024·四川德阳·模拟预测）
10．已知函数在处取得极大值，则的取值范围是 .
（23-24高二上·安徽·期末）
11．已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是 ．
12．函数f（x）＝+（1﹣2a）x﹣2lnx在区间内有极小值，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
13．设为实数，且，函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】在区间存在极值点，即在区间存在变号零点，
二次函数分，，讨论变号零点对参数的限制，可得，再结合充分不必要条件的定义，即得解
【详解】由题意，
在区间存在极值点，即在区间存在变号零点
由于二次函数对称轴为
（1）当即时，在区间单调递增，故，不成立；
（2）当即时，在区间单调递减，故，不成立；
（3）当即时，要保证在区间存在变号零点
或
故在区间存在极值点的等价条件为，若选项中的一个为其充分不必要条件，则所在的范围为的真子集
故选：D
2．
【分析】由题可得，又令，
可得，易得，不合题意.令，可得，后通过讨论与0的大小，利用导数研究的单调性与正负性，从而可得在处的极值情况.
【详解】，可得，
令，则．
①当时，在上单调递增.
又，则当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.
所以在处取得极小值，不合题意；
②当时，，令，
解得在上单调递增.
又，.
可得当时，，从而在上单调递减；
当时，，从而，在上单调递增，
所以在处取得极小值，不合题意；
③当时，，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，所以，从而，
所以在上单调递减，不合题意；
④当时，，令，
解得在上单调递减.
又,故当时，，
从而在上单调递增，
当时，，从而在上单调递减．
所以在处取得极大值，符合题意.
综上，实数a的范围为．
故答案为：.
【点睛】结论点睛：本题涉及函数极值点，难度较大，涉及相关结论如下：
若在处取极大值，则；
若在处取极小值，则.
3．A
【分析】由在有解，分离参数得，令，再由导数求出其值域后即可得．
【详解】由题意可知，，有解，
令，则，递增，，．∴，，
故选：A.
4．
【分析】根据题意可得原题意等价于与有两个不同的交点，再数形结合分析两根的关系运算求解.
【详解】因为，则，
令，且，整理得，
原题意等价于与有两个不同的交点，
构建，则，
令，解得；令，解得或；
则在上单调递增，在上单调递减，且，
由图可得：若与有两个不同的交点，可得：，
因为，则，
由图可知：当增大时，则减小，增大，可得减小，
取，令，则，
因为，解得，
所以，则，
即实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于函数的极值问题，需要根据题意参变分离，利用数形结合求解函数零点问题，即画出图像分析极值点之间的关系，并找到临界条件进行分析.
5．D
【分析】通过特值法，对参数进行赋值，然后验证函数能否在处取得极大值，排除选项即可得到答案.
【详解】当时，，
由，得，由，得，
∴在上递减，在上递增，
∴在处有极小值，即不合题意，排除A，B；
当时，，
，得，
，得，
∴有最大值，
∴，∴在上递减，
在处无极值，排除.
故选：D.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及极值问题、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型：
（1）求值问题（可将选项逐个验证）；
（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；
（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；
（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.
6．
【分析】当时，利用导数求得的解集.由进行分析，结合函数的单调性求得的值.
【详解】当时，，
，在上递增，
由于，所以不等式的解集是.
的定义域时，.
，，
由于是的极值点，所以在两侧函数值符号相反，
，
若，，在，递减；在，递增.所以，在上递增.不符合题意.
若，令解得或，则在左侧递减，右侧递增，不符合题意.
若，令解得或，
当时，在两侧单调性相反，而，此时不是的极值点.
当，即时，，在上递减，而，所以在区间，递增；在区间递减，是的极大值点，符合题意.
所以.
故答案为：；
【点睛】在利用导数研究函数时，若一阶导数无法解决，可考虑采用二阶导数来进行求解.
7．A
【分析】求出函数的导数，利用导数探讨函数单调性，结合极值的意义列式求解即可.
【详解】函数，求导得：，
令,，当或时，，当时，
即有函数在上都单调递减，在上单调递增，
且，显然，
因函数在区间有一个极大值和一个极小值，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A
【点睛】结论点睛：可导函数y＝f(x)在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同．
8．D
【分析】将问题转化为方程在有两个不相等实根，即有两个不同的交点，令，利用数形结合法求解．
【详解】解：，则，
要使函数在其定义域内既有极大值也有极小值，
只需方程在有两个不相等实根．
即，令，则．
当，，
当，，
在递增，在递减，当，，
，
其图象如下：
，．
故选：D．
9．
【分析】函数既有极小值又有极大值，则有两个不相等的实数根，进而分离参数，通过分析函数的单调性及最值，即可求出的取值范围.
【详解】
函数既有极小值又有极大值，
则在上有两个不等的实数根，
即有两个不等的实数根，
所以有两个不等的实数根，
所以有两个不等的实数根，
令，，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
，当时，，
故，解得.
故答案为：
10．
【分析】由以及导数、极大值等知识对问题进行分析，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围.
【详解】的定义域是，
，
由于函数在处取得极大值，
所以，
且在上单调递增，
在上单调递减，
所以单调递减，
所以，
所以，构造函数，显然，
，所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
所以是的极大值也即是最大值，
所以，也即的取值范围是.
故答案为：
11．
【分析】由可得，令，则直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】因为函数在上有两个极值点，
所以在上有两个变号零点，
因为，令，即，可得，
令，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，作出函数在上图象，
当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
设两个交点的横坐标分别为、，且，由图可知，
当或时，，此时，
当时，，此时，
所以函数在上递增，在上递减，在上递增，
此时，函数有两个极值点，合乎题意.因此，实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：本题考查极值点问题.根据题意函数在上有两个极值点，转化为在上有两个变号零点，即，即有两个不同的根，即直线与函数在上的图象有两个交点，数形结合可判断求解.
12．D
【分析】求出函数的导数，然后令导数等于零，求出方程的两个根，通过讨论根的范围可得a的取值范围.
【详解】解：由，得
，
（1）当时，，
当时，，当时，，所以为函数的一个极小值点，
（2）当时，令，则或，
①当时，当时，，当时，，所以为函数的一个极小值点，
②当时，
i)若，即时，时，，当时，，所以为函数的一个极小值点，
ii)若，即时，当时，，函数无极值；
iii)若，即时，当时，，当时，，所以为上的极小值点，
综上a的取值范围是，
故选：D
【点睛】此题考查了函数的极值，考查了分类讨论思想，属于中档题.
13．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导得，再分和两种情况讨论求解即可；
（2）由题得有两个不同的根，进而曲线与直线有两个不同的交点.故先考虑曲线与直线相切的情况时得，进而令，构造函数，由函数的性质知得，进而问题转化为恒成立，最后结合已知，解不等式即可得答案.
【详解】（1）解：由题意得.
因为，所以，
所以当时，，
所以当时，函数在上单调递增.
当时，令，则，所以；
令，得，
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：因为函数有两个不同的零点，
所以有两个不同的根，即曲线与直线有两个不同的交点.
易知直线与轴交于点.
先考虑曲线与直线相切的情况.
设切点坐标为，则切线斜率为，
所以切线方程为，
则，
所以，
令，则，
令，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
由于时，，
所以，
所以要满足条件，则恒成立.
因为，只需即可，解得.
故的取值范围为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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