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专题3 三角函数中的条件最值问题
【2023·江苏南京·高二南京师范大学附属中学 题16】已知均为锐角，且，则的最大值是 ．
【方法名称】数形结合法
【思路分析】利用三角恒等变换将目标函数转化为两点的连线斜率，再结合几何意义求解.
由已知得，
两边同除以，并整理得，
∵均为锐角，∴可以看成是单位圆的下半圆上的动与定点（3，0）连线的斜率，其最大斜率为.
【举一反三】
1．已知，则S的取值范围是 ．
2．已知，则的取值范围是 ．
【方法名称】和差化积
【思路分析】利用积化和差求出正弦函数的最值后，再利用同角三角函数关系可解正切的范围.
因为，所以，故，
故即，
所以，当等号成立，此时
故的最大值为.
【举一反三】
3．设，，则 ．
4．已知则的值为 .
【方法名称】反表示法
【思路分析】利用辅助角公式划归一角一函，再利用三角函数的有界性构建不等关系后求解.
法1：由已知得，
两边同除以，并整理得，
令，则，
故，故，
当时，即即，
设且，则，故当时，，
故的最大值为.
法2：由已知得，
两边同除以，并整理得，
又，其中且，
故当时取最大值3，故，
所以.
【举一反三】
5．函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的最大值和最小值分别是，则为( )
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【方法名称】基本不等式法
【思路分析】利用万能公式或两角差的正弦将目标函数转化为齐次三角分式，结合基本不等式求范围
，
，
，
，
，
，
因此，
当且仅当时取等号，即，
故答案为：.
法二：
，
当且仅当时取等号，即，
故答案为：
法3：因为，所以，
整理得到：，
若，则，这样为锐角矛盾，
故即，
所以，
当且仅当时等号成立，故的最大值为.
【举一反三】
7．在锐角中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为 ．
8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最小值为 ．
【方法名称】导数法
【思路分析】利用三角变换公式将目标函数表示出来，然后利用导数法求得最值
由已知得，
两边同除以，并整理得，
设，则，令，则，
因为为锐角，故在上有唯一解，记为，则，
当时，；当时，；
故在上为增函数，在上为减函数，故，
所以的最大值为.
【举一反三】
9．关于函数，下列说法中正确的有 ．
①的最小正周期是； ②是偶函数；
③在区间上恰有三个解； ④的最小值为．
10．已知，则当取得最大值时， ．
【方法名称】判别式法
【思路分析】利用三角变换公式将目标函数视为某一一元二次方程的参数，然后利用判别式法求得最值
因为
所以关于的一元二次方程有解，
则判别式即.
又因为为锐角，所以
故的最大值为.
【方法名称】构造法
【思路分析】通过构建几何图形，将题目中的条件放置在合适的几何图形求最值
法1：构建三角形利用三角换元求结合基本不等式
∵均为锐角，令，构造
则，∴
∵，∴
由正弦定理和余弦定理可得，设
∴
（当且仅当时，等号成立）
∴
∴，即的最大值为．
法2：构建圆结合柯西不等式求最值
在直径为1的圆M中，直径为AB，构造与，使，．如图，连结CD，
∵外接圆直径为1，
∴．
在中，
即：，又
∴
∴，∴
∵
而当且仅当时等号成立．
∴，∴，即．
∴的最大值为．
11．已知函数在区间上的图象如图所示，则（ ）
A． B． C．2 D．
12．函数是（ ）
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数；且最大值为 D．偶函数；且最大值为3
13．函数在区间上的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
14．若点在曲线（为参数，）上，则的最小值是 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】将转化为点与点的连线斜率，而点在上，点在上，利用图像可观察出S的取值范围.
【详解】解：等价于点与点的连线斜率，
点在上，点在上，
如图：
观察图像，当过点的直线和圆相切，且斜率存在时，斜率最小，无最大值，
设该直线为，即，
此时有，解得：
故S的取值范围，
故答案为：
【点睛】本题考查分式型式子的最值问题，利用数形结合转化为斜率问题，是中档题.
2．
【分析】化为，可得直线与圆有公共点，即，得到，转化为关于的不等式求解．
【详解】解：化为，
可得直线与圆有公共点，
，得到（当且仅当时，等号成立）．
故．
解得：．
的取值范围是，．
【点睛】本题考查了函数的几何意义的应用及基本不等式的应用，属于中档题．
3．
【分析】利用和差化积公式和正切的二倍角公式计算即可.
【详解】，
．
故答案为：.
4．
【分析】应用三角函数的恒等变换公式对变形求得，再由求得，可得结论．
【详解】，
所以，
，
所以．
故答案为：．
5．D
【分析】首先对原式进行变形，然后再利用换元法求函数的最值.
【详解】由题知，
整理得，
令，易知，
所以知在时是单调递减函数，
因为，
整理得，
解得，代入中有的最大值为，
即的最大值为.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，结合考查了函数最值问题，属于难题.
6．A
【分析】设，结合三角恒等变换得到，平方整理后结合一元二次不等式、一元二次方程根与系数关系求得.
【详解】设，，
，
，所以，
两边平方并化简得（*），，
设关于的方程的两根是，
则
而不等式（*）的解为：，即分别是函数的最小值和最大值，
所以.
故选：A
【点睛】本题解题的关键是利用三角函数来构造关于函数值的不等关系式，从而结合一元二次不等式的解法来求得最值的关系式.
7．8
【分析】根据两角和的正切公式得到，最后再换元，利用基本不等式求最小值.
【详解】，
,
，
令，
由，
则，
当且仅当时，即时，取等号，此时，
所以的最小值是8.
故答案为：8.
【点睛】关键点睛：本题关键在于利用两角和的正切公式将转化为，换元，进而利用基本不等式求解即可.
8．##
【分析】利用和差公式和二倍角公式得到，确定，原式化简为，再利用均值不等式计算得到最值.
【详解】，
即，
即，，，
故，整理得到，
即，且，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查了三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，确定，转化为均值不等式是解题的关键.
9．②④
【分析】利用特殊值法可判断①；利用函数奇偶性的定义可判断②；利用导数分析函数在区间上的单调性，可判断③；利用函数的对称性、周期性以及单调性求出函数的最小值，可判断④.
【详解】对于①，因为，，
所以，，故函数的最小正周期不是，①错；
对于②，令，
函数的定义域为，
，
所以，函数为偶函数，即函数为偶函数，②对；
对于③，，
则，
令，其中，则且不恒为零，
所以，函数在上单调递增，
当时，，
若时，即当时，，即，
此时；
若时，即当时，，即，
此时.
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，方程在区间上至多两个解，③错；
对于④，因为函数的定义域为，
，
所以，函数为周期函数，且为函数的一个周期，
由①可知，函数为偶函数，即，
故函数的图象关于直线对称，
要求函数的最小值，只需求函数在上的最小值，
当时，，则，
即，所以，，
且不恒为零，所以，函数在上单调递减，
所以，，④对.
故答案为：②④.
【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：
（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
10．
【分析】设，利用二倍角的正切公式得到，再利用导数即可求出其最值时的值，再代入即可得到答案.
【详解】设，因为，则，则，
则．
设函数，
则．
当时，即，，此时单调递增；
当时，即，，此时单调递减，
所以当时，取得最大值，即取得最大值，
此时．
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用二倍角公式构造出关于的函数关系，再利用导数法求出最值即可.
11．B
【分析】法一：利用导函数研究出极值点，进而结合图象及极值求出的值；法二：设函数值为，使用辅助角公式及三角函数的有界性及极值列出方程，求出的值.
【详解】法一：当时，
设，其中，则，另外，所以，故，解得：，又因为，所以，
故选：B.
法二：由，，从而，由于，所以，解得：，又从图象可以看出，即，从而，解得：，由于，故.
故选：B.
12．C
【分析】先利用函数奇偶性定义得到为奇函数，排除BD，再得到是的一个周期，故只需考虑上，的最大值，求导，得到函数单调性，进而得到极值和最值情况，得到答案.
【详解】定义域为R，
且，
故为奇函数，排除BD；
由于，
所以是的一个周期，
要想求解的最大值，只需考虑的情况，
，
当时，，故在上单调递增，
当时，，故在上单调递减，
当时，，故在上单调递增，
故在处取得极大值，
，
又，
故的最大值为.
故选：C
13．B
【分析】求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，进而可得结果.
【详解】因为，则，
当时，则，可得；
当时，可得；
当时，则，可得；
综上所述：在上恒成立，则在上单调递增，
所以函数在区间上的最小值为.
故选：B.
14．##
【分析】由（为参数，）可得．因此可以看作与圆上的点的连线的直线的斜率的取值范围．利用点到直线的距离公式即可得出．
【详解】由（为参数，）可得：．因此可以看作与圆上的点的连线的直线的斜率的取值范围．
设过点的直线方程为：，化为，
解得 ．解得 ．∴的最小值是．
故答案为：．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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