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专题1 有关角度计算问题
【人教版A必修二P53 T12】如图，在中，已知，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，求的余弦值.
【方法名称】向量法
【思路分析】即为与的夹角，先用将与表示出来，求出以及，，代入公式即可．
【详解】∵M，N分别是BC，AC的中点，
.
与的夹角等于.
，
，
，
．
【举一反三】
1．如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则 .

2．如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．

【方法名称】解三角形法
【思路分析】将所求角转化为目标三角形中的内角进行求解
【详解】法一：连接，，，
在中由余弦定理：
，∵为重心，，
∵，平方后，
，∴
在中由余弦定理可得.
法二：
.
法三：补图，比例法，结合余弦定理
延长AM、BN，过C作AB的平行线与AM、BN交于Q、G
∵M、N分别为BC、AC中点，且
∴，，∴，
∵，∴，相似比为1：2
设，，则，
在△BAN中由余弦定理，，∴
在△ABC中，
在△ABM与△ABC中，，，∴
则，
在△APB中，
【举一反三】
3．如图，在中，点D在BC边上，BD的垂直平分线过点A，且满足，，则的大小为 ．

4．在中，，，，Q为内一点，.若，则 .
【方法名称】建系法
【思路分析】建系联立方程求P坐标，余弦定理∠MPN求余弦
【详解】法一：M、N为原点，AC为x轴，AC的垂直平分线为y轴
，则，
设AM：①，BN：②
联立①②得，即
∴在△ABP中，，
由余弦定理有
法二：
建立如图所示直角坐标系，则
【举一反三】
5．已知非零平面向量不平行，且满足，记，则当与的夹角最大时，的值为
6．已知矩形ABCD的边长为，点P满足，则sin∠DPA的值为 ．
【方法名称】和差角转化法
【思路分析】因为∠MPN为△APN的外角，设，，所以所求，
构造和，分别求出，的正弦值与余弦值，代入中即可
【详解】解：∵，∴
如图，分别作于点D，于点E，
设，，在△ABD中，，，
在中，，，∴，
在中，，，，∴，
∴
【举一反三】
7．最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面米的C处看此树，离此树的水平距离为 米时看A，B的视角最大.
8．如图，有一壁画，最高点处离地面6m，最低点处离地面3.5m.若从离地高2m的处观赏它，则离墙 m时，视角最大.
9．已知为的外心，且，则 .
10．如图，在边长为2的菱形中，，，分别是，的中点，则向量与的夹角的余弦值为 .
11．已知是的外心，且，则 ．
12．在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为 .
13．设的外心满足，则 ．
14．已知在中，，，，P为平面OAB上一点，且，当OP最小时，向量与的夹角为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】
先利用向量的线性运算表示，，然后数量积求解夹角余弦值即可.
【详解】设，，则，
，又，，
所以
.
故答案为：
2．
【分析】
用和表示和，根据以及，，，可求出结果.
【详解】因为是的中点，所以，
，
因为，，
，
所以，
所以.
故答案为：.
3．
【分析】根据题意可得，结合正弦定理与、三角形内角和定理与两角和差余弦公式即可求得，从而得的大小.
【详解】因为BD的垂直平分线过点A，所以，则，所以．
又因为在中，，，所以．
在中，由正弦定理，得，所以,
因为，所以为锐角，所以，
则，
又，所以．
故答案为：.
4．##
【分析】由余弦定理求得的长，确定，设，推得，表示出，在中由正弦定理可得，化简即可求得答案.
【详解】在中，，，,
由余弦定理得，
则,根据勾股定理逆定理得，
因为，，所以，
设，则，所以，
在中，，
在中，由正弦定理得：，即，
所以,即，
解得：，即，
故答案为：
5．
【分析】建立平面直角坐标系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量，进而通过运算求得的值.
【详解】建立如下图所示的平面直角坐标系，设，，设点、，
令，，则，得，
设，则，则点的坐标为，
则直线的斜率分别为，
由两直线的夹角公式可得：
，
当且仅当，即时取等号，此时，则，
所以.
故答案为：4.
6．
【详解】解：以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设，
则点A（0，0）、B（1，0），C（1，3）、D（0，3），
，则点P（1，），
∴，，
因此，，，．
，所以．
故答案为：.
7．
【分析】根据题意，，分别求得，表达式，即可求得表达式，结合基本不等式，即可得答案.
【详解】过C作，交AB于D，如图所示：
则，
设，
在中，，
在中，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以取最大值时，最大，
所以当离此树的水平距离为米时看A，B的视角最大.
故答案为：
8．
【分析】直接利用解直角三角形知识，利用差角的公式和基本不等式的应用求出结果．
【详解】解：如图所示，过点作于，
设，则，
当且仅当时，即当，视角最大，故答案为．
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力．属于基础题型．
9．##
【分析】根据向量共线以及余弦定理、诱导公式求得正确答案.
【详解】设圆为三角形的外接圆，半径为，
由于，
所以，.
设，则，
在三角形中，由余弦定理得.
故答案为：.
10．
【分析】由平面向量的基本定理把向量，用基底和表示出来，由向量的夹角公式可得答案.
【详解】由题意可得和的模长均为2，且夹角为.
，分别是，的中点.
，
，
，
同理可得，
向量与的夹角的余弦值为.
故答案为：
【点睛】本题考查两向量的夹角，利用平面向量基本定理来表示向量是解决问题的关键，属于中档题.
11．##
【分析】设外接圆半径为1，通过移项平方解得，，，再求出，，，再利用向量夹角公式即可求解.
【详解】，即，设，
两边同平方得，解得，
同理可得，，
，
，则，
，，
.
故答案为：.
12．
【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解.
【详解】由已知得即为向量与的夹角.
因为M、N分别是，边上的中点，所以，.
又因为，所以
,
,
,
所以.
故答案为：
13．
【分析】根据向量表示确定外心为重心，即得三角形为正三角形，即得结果.
【详解】设BC中点为M,所以,因此P为重心，而为的外心，所以为正三角形，.
【点睛】本题考查向量表示以及重心性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.
14．
【分析】由得，因此有，这样作出图形后易知OP最小时点位置，从而得向量夹角．
【详解】∵，∴，作，如图，则在上，易知最小时，，所以，所以向量与的夹角为．
故答案为：．
【点睛】本题考查平面向量的夹角，解题方法是几何法，通过向量线性运算的几何意义作出图形求解，减少了计算，结果一目了然．
答案第1页，共2页
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