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专题5 新背景下的三角形面积问题
将三角形的3个内角三等分，靠近某边的两条角三分线相交得到一个交点，则这样的3个交点的连线构成正三角形，该定理称为莫利定理，其中的正三角形称为该三角形的莫利三角形．如图，在中，，则的莫利三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
通过建立平面直角坐标系，将正三角形A1B1C1中的边长转化为点C1的坐标运算，通过联立直线与求得点C1坐标，从而求得目标三角形A1B1C1的边长，进一步借助正三角形的面积公式求得面积 ．
如图建立直角坐标系，
直线，，又
求直线与交点横坐标
则．选C．
1．在中，，为边上的中线，，则该三角形面积最大值为 ．
2．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦AB过焦点，为其阿基米德三角形，则的面积的最小值为 ．
由于三角形ABC等腰直角三角形具有对称性，利用莫力三角形的定义，结合几何性质不难得到AA1垂直平分BC， 利用这一特征可以构建有关目标三角形边长A1C1的方程，也可以利用角平分线性质将A1C1转化为DA1， 从而求得该正三角形的面积．
法一：作于D，交于点E，
设，在中：
在中，
在中，
而，∴，
∴，∴．选C．
法二：由题意知，∴
由对称性知
∵为正三角形，∴，∴，即
由角平分线的性质知到BC的距离与正边长相等
取BC中点D，连，由知
在中，，即正△边长为，
∴
3．如图，正方形被分成了面积相等的8个三角形，若，则正方形的面积 ．
解三角形
将目标三角形边长B1C1转化到三角形AB1C1中， 通过 等利用正余弦定理求得AC1 AB1．为三角形AB1C1创造可解的条件，从而求得B1C1，最后利用公式求得三角形面积
法一：由题意可得，在中，，
由正弦定理得，
同理可得，
所以，
所以的面积为，故选C．
法二：由题意知，∴
由对称性知
∵为正三角形，∴，∴，
即，∴
在中由正弦定理有，即，
解得，
∴
4．的内角A、B、C的对边分别为，b，c，已知，且，则的面积为 ．
5．的内角，，的对边分别为，，，，，边上的高为，则的面积是 .
6．在中，，，，则的面积为 .
7．记的内角的对边分别为，点为边三等分点（靠近C）.若，，则的面积为 .
8．英国数学家莫利提出：将三角形各内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交于一点，则这样的三个交点构成一个正三角形（如下图所示）.若△为等腰直角三角形，且，则△的面积是 .
9．某园区有一块三角形空地（如图），其中，，，现计划在该空地上选三块区域种上三种不同颜色的花卉，为了划分三种花卉所在的区域且浇灌方便和美观，需要在空地内建一个正三角形形状的水池，要求正三角形的三个顶点分别落在空地的三条边界上（如图），则水池面积的最小值为 ．
10．1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知中，其中，，为费马点，则的取值范围是 .
11．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是 ．

12．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为.若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为 ．
13．已知函数，设曲线在第一象限内的部分为E，过O点作斜率为1的直线交E于，过点作斜率为的直线交x轴于，再过点作斜率为1的直线交E于，过点作斜率为的直线交x轴于，…，依这样的规律继续下去，得到一系列等腰直角三角形，如图所示．给出下列四个结论：
①的长为；
②点的坐标为；
③与的面积之比是；
④在直线与y轴之间有6个三角形．
其中，正确结论的序号是 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．8
【分析】法一：已知，以为定点，建立直角坐标系，由，得动点的轨迹，由此可得面积最大值；
法二：引入变量与角，由余弦定理得到的等量关系，又面积为，消，再求函数最值即可.
【详解】法一：如图建立直角坐标系，

设，由得：，
即：，
所以点A的轨迹为以为圆心，半径为的圆，，
所以当A到x轴距离最大时，即为半径时，面积最大.
故．
法二：设，则，在中，
由余弦定理可知，，，
而，，
由图可知，为半圆上的点与连线的斜率，其最小值为直线的斜率，

故面积的最大值为.
故答案为：8.
2．
【分析】设，设直线的方程为：，代入抛物线方程，由韦达定理可得，设过点的切线方程为，与抛物线方程联立，利用判别式得，则过点A的切线方程分别为：，同理可得过点的切线斜率为，过点B的切线方程为：，可得，可证得，则的面积，结合图形特征，可得面积的最小值．
【详解】设，直线，
联立，整理得，则．
设过点的切线方程为，
联立，整理得，
由，可得，
则过点A的切线方程分别为：，即，即，即，
同理可得过点的切线斜率为，过点B的切线方程为：，
因为两条切线的交点在准线上，所以，
两式相减得，
，，可得，
，又因为直线的斜率为，
（也成立），
如图，设准线与轴的交点为，
的面积，
当轴时，最短（最短为），也最短（最短为），
此时的面积取最小值．
故答案为：．
3．128
【详解】如图，过点作，取的中点，联结与交于点．
设正方形的边长为．
由，知·
由，得．
于是，为中点．
由，知为的重心．
则、分别为、的中点，且．
又为梯形的中位线，因此，
．
而，由勾股定理得
．
4．##
【分析】由正弦定理结合三角恒等变换可得，再根据余弦定理可得，进而可得的面积.
【详解】由，结合正弦定理可得，故，
故，因为，故，又，故.
由余弦定理，则，解得.
则.
故答案为：
5．
【分析】由已知利用正弦定理以及三角函数恒等变换可求，的值，利用两角和的正弦公式可求的值，由题意可求，的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】因为，，设边上的高为，
由正弦定理得，
化简得，又，解得或（舍去），
所以，
因为，解得，
，解得，
所以的面积．

故答案为：．
6．
【分析】求出的值，利用正弦定理求出的长，利用两角和的正弦公式求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的值.
【详解】因为，且，故为锐角，
所以，，
由正弦定理可得，则，
，
由三角形的面积公式可得.
故答案为：.
7．##
【分析】在中，由余弦定理求出的关系，再在和中，利用双余弦定理求出的关系，从而求出，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】在中，由余弦定理得，
即，
由点为边三等分点（靠近C），
得，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，所以，
即，所以，
所以，所以，
则，所以，
所以.
故答案为：.
8．
【分析】若是中点，连接，且，根据题设角的关系、三角形全等及相似可得、，设，结合已知可得，即可求x值，应用三角形面积公式求△的面积.
【详解】若是中点，连接，且，
由题设知：△△，则，又，，
所以，则△△△△，
所以，又△△，且，
设，则，故，
所以，又，则，可得，
则，故△的面积是.
故答案为：
9．
【分析】设，，则，在中由正弦定理得到，即可得到，再利用辅助角公式及面积公式计算可得；
【详解】解：如图，设，，因为，，
所以，，所以，
因为，
，
所以，在中，由正弦定理，，即，
所以，因为，所以，所以，所以，其中，所以，，所以面积的最小值为．
故答案为：
10．
【分析】设，进而得到，然后在中通过余弦定理得到，的关系式，在和中，通过正弦定理得到的关系式和的关系式，然后借助三角函数的性质和函数的性质求得答案.
【详解】如图，根据题意，设，则，
在中，由余弦定理有，也即 ①
在中，由正弦定理有，
在中，由正弦定理有，
故，则，由①， ②，
且，
所以，
设，则，
由题意，，所以，所以，
而，由对勾函数的性质可知，
所以，由②，
在上单调递减，
所以.
11．
【分析】根据弧长公式求出三角形边长，再根据扇形面积公式和三角形面积公式可得结果.
【详解】因为的长度为，所以，，
所以勒洛三角形的面积是.
故答案为：.
12．
【分析】根据正弦定理进行边角互换，再将数据代入“三斜求积”公式即可.
【详解】根据正弦定理可知，
，
代入“三斜求积”公式：
故答案为：.
13．②④
【分析】依次求出、、、、、、、、、、的坐标，然后可判断出每个的正误.
【详解】由可得，
由可得，，
所以，故①错误
由可得，，故②正确
由可得，
所以
，故③错误
同理可求
因为，所以共有6个三角形，故④正确
故答案为：②④
答案第1页，共2页
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